Całkowanie

Całka (ang. integral) jest ważnym pojęciem matematycznym, wykorzystywanym do obliczania ciągłych sum, uogólnionych pól i objętości. Wykorzystuje się ją we wszelkich naukach technicznych. Można wręcz powiedzieć, że bez całki i różniczki nie istniałaby rozwinięta cywilizacja. Całka nie powstała nagle, jej idea rozwijała się już od czasów starożytnych. Przyjrzyjmy się, jak ewoluowało pojęcie całki.

Starożytność – Metoda wyczerpywania (Eudoksos i Archimedes)

• Działanie: Eudoksos z Knidos oraz rozwijający jego myśl Archimedes wprowadzili metodę wyczerpywania. Wpisywali w figury krzywoliniowe wielokąty o coraz większej liczbie boków, „wyczerpując” w ten sposób wolną przestrzeń.
• Związek z algorytmami: To bezpośredni przodek metody trapezów i prostokątów, które stosujemy do obliczania przybliżonych wartości całek oznaczonych. Archimedes robił ręcznie to, co dzisiaj komputer wykonuje w pętli for.

Przełom XVII wieku: Narodziny symbolu i pojęcia (Newton i Leibniz)

• Wielki spór: Przez wieki całka (oznaczona – jako pole powierzchni) i pochodna (jako styczna) były traktowane jako dwa zupełnie odrębne problemy geometryczne.
• Odkrycie: Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz niezależnie od siebie odkryli Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego. Udowodnili, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania, co scaliło matematykę w analizę wyższą.
• Pochodzenie symbolu \(\int \): Wprowadził go Leibniz w 1675 roku. Jest to stylizowana, wydłużona litera S, która pochodzi od łacińskiego słowa summa (suma). Leibniz traktował całkę jako sumę nieskończenie wielu, nieskończenie cienkich prostokątów.

XIX i XX wiek: Rygorystyczne definicje (Riemann, Darboux i Lebesgue)

• Problem z nieskończonością: Intuicyjne podejście Leibniza (mnożenie przez „nieskończenie małe” dx) przestało wystarczać, gdy funkcje stały się bardziej skomplikowane i poszarpane.
• Definicja Riemanna (1854): Bernhard Riemann sformalizował całkę za pomocą tzw. sum Riemanna. Podzielił przedział na skończoną liczbę małych odcinków i wprowadził pojęcie granicy tych sum przy szerokości przedziału dążącej do zera. To na definicji Riemanna opierają się szkolne algorytmy numeryczne.
• Rozszerzenie Lebesgue'a (1902): Henri Lebesgue zrewolucjonizował temat, dzieląc nie oś odciętych (x), ale oś rzędnych (y). Pozwoliło to całkować funkcje niezwykle patologiczne (np. funkcję Dirichleta).

Rozróżniamy dwa podstawowe rodzaje całek:

• Całka nieoznaczona (ang. indefinite integral): jeśli mamy pewną funkcję \(f(x)\), to jej całką nieoznaczoną jest każda funkcja postaci \({F(x) + C}\), której pochodną jest funkcja \(f(x)\). Litera \(C\) to tzw. stała całkowania (dowolna liczba). Musimy ją dopisać, ponieważ pochodna z dowolnej stałej liczby wynosi \(0\); na przykład pochodna zarówno z \({x^2 + 0,01}\), jak i z \({x^2 + 10^{100}}\) to po prostu \(2x\).
  Funkcję \(F(x)\) nazywamy funkcją pierwotną lub całką nieoznaczoną (ang. antiderivative, primitive function, primitive integral, indefinite integral) danej funkcji \(f(x)\). Funkcja pierwotna może być znaleziona z dokładnością do stałej, ponieważ stała znika w trakcie wyznaczania pochodnej. Funkcje pierwotne danej funkcji \(f(x)\) tworzą klasę funkcji różniących się stałymi: \({F(x) + C}\)

Problem obliczania całek nieoznaczonych sprowadza się do znajdowania postaci funkcji pierwotnej. Jest to dosyć skomplikowane i nie stanowi celu naszego opracowania. W całkowaniu numerycznym głównie zajmujemy się całkami oznaczonymi.

• Całka oznaczona (ang. definite integral): jeśli mamy pewną funkcję \(f(x)\) oraz przedział \({[a;b]}\) to jej całką oznaczoną w przedziale \({[a;b]}\) jest liczba, która określa pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji \(f(x)\), osią OX oraz pionowymi prostymi \({x = a}\) i \({x = b}\).

Jeśli wykres funkcji znajduje się nad osią OX, pole jest dodatnie. Jeśli wykres wpada pod oś OX, pole pod osią jest traktowane przez całkę jako ujemne.

Wielkie odkrycie

Przed Newtonem i Leibnizem całkę oznaczoną (pole powierzchni) i pochodną (styczna do krzywej) traktowano jako dwa całkowicie niezależne problemy. Geniusz obu uczonych polegał na powiązaniu tych pojęć ze sobą. Odkryli oni tzw. Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego, zwane dziś wzorem Newtona-Leibniza:

Pokazali, że aby obliczyć skomplikowane pole pod krzywą, wystarczy znaleźć funkcję pierwotną \(F(x)\) i odjąć jej wartości na krańcach przedziału. To niesamowicie uprościło matematykę.

Największy skandal w nauce

Newton i Leibniz doszli niezależnie od siebie do odkrycia Podstawowego Twierdzenia Rachunku Całkowego, lecz ich podejścia były zupełnie inne:

• Isaac Newton opracował swoją „metodę fluksji” (czyli rachunek różniczkowy i całkowy) jako pierwszy, już około roku 1666. Używał go do obliczeń fizycznych (ruch planet, grawitacja). Posiadał jednakże obsesyjny lęk przed krytyką i... nie opublikował swoich prac przez ponad 20 lat, dzieląc się nimi tylko w listach z przyjaciółmi.
• Gottfried Wilhelm Leibniz wpadł na ten sam pomysł niezależnie, około 1675 roku. W przeciwieństwie do Newtona, Leibniz podszedł do tematu od strony filozofii i geometrii. Co kluczowe – opublikował swój artykuł w 1684 roku, stając się pierwszym, który oficjalnie przedstawił światu rachunek całkowy.

Kiedy Newton zorientował się, że Leibniz zbiera laury za odkrycie, które on trzymał zamknięte w szufladzie, wybuchła wieloletnia, brutalna wojna dyplomatyczna i naukowa między Anglią (popierającą Newtona) a kontynentalną Europą (popierającą Leibniza). Doszło nawet do oskarżeń o plagiat.

Kto wygrał ten spór?

• W sensie prawnym i historycznym: Obaj uczeni są dziś uznawani za niezależnych twórców tego rachunku.
• W sensie praktycznym: Wojnę wygrał Leibniz. Stworzył on genialne, intuicyjne oznaczenia matematyczne – jak symbol całki \(\int \) czy zapis różniczki \(dx\)), których używamy do dzisiaj. Notacja Newtona (stawianie kropek nad literami) okazała się nieczytelna i została porzucona.

Z punktu widzenia obliczeń komputerowych sposób obliczania całki oznaczonej jako \({\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}\) nie jest najlepszy. Wymaga on bowiem wcześniejszego wyznaczenia funkcji pierwotnej \(F(x)\) w postaci symbolicznej (analitycznej). Jest to zadanie numerycznie i algorytmicznie niezwykle skomplikowane – algorytmy potrafiące decydować, czy dana funkcja ma elementarną całkę i jak ją zapisać (np. algorytm Rischa), rozwijane są od końca lat 60. XX wieku i wciąż stanowią trudne wyzwanie inżynieryjne. Z metod symbolicznego wyznaczania wzorów całek korzystają wyłącznie zaawansowane pakiety matematyczne w stylu MathCAD, Mathematica czy Maple.

W obliczeniach numerycznych zastosowanie ma  definicja Riemanna, w której całka oznaczona jest interpretowana jako suma pól obszarów, ograniczonych wykresem funkcji \(f(x)\) oraz osią OX. Obszary leżące pod osią są interpretowane jako ujemne.

Przedział całkowania \({[x_p ; x_k]}\) dzielimy na \(n\) rozłącznych segmentów wyznaczając \({n + 1}\) węzłów:

Węzły muszą być tak dobrane, aby przy wzroście \(n\) do nieskończoności maksymalna odległość między sąsiednimi węzłami malała do zera, czyli:

Pomiędzy parami sąsiednich węzłów \({x_{i-1}}\) i \(x_i\) wybieramy dowolne punkty \(t_i\) spełniające nierówność:

Całka oznaczona Riemanna jest wtedy granicą sum \(n\) prostokątów o podstawie równej \({(x_i - x_{i-1})}\) i wysokości \(f(t_i)\), czyli

Jeśli \(f(t_i)\) jest mniejsze od zera, to pole tego prostokąta zostanie zsumowane ze znakiem minus. Gdy odległości pomiędzy punktami podziałowymi zbliżają się do zera, suma pól prostokątów dąży do pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji.

Różnicę pomiędzy wartością pola pod wykresem funkcji a polem otrzymanym jako suma skończonej ilości prostokątów nazywamy błędem całkowania (ang. integration error). Wraz ze wzrostem liczby prostokątów w całce Riemanna błąd całkowania dąży do zera