Równania

Równanie (ang. equation) jest tworem matematycznym, który wymaga równości dwóch wyrażeń:

Wyrażenia te mogą zawierać zmienne, np:

Rozwiązaniem równania są takie wartości zawartych w nim zmiennych, które powodują, iż równość jest spełniona:

Równanie może być:

• Sprzeczne, jeśli żadna wartość zmiennej nie sprawia, iż równość zostaje zachowana:

  \[x = x - 1\]

• Tożsamościowe, jeśli każda wartość zmiennej zachowuje równość:

  \[x + 1 = \frac{{2x + 2}}{2}\]

• Równanie oznaczone o nieskończonej liczbie rozwiązań:

  \[
  \begin{array}{l}
  \sin x = 0 \\
  x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots
  \end{array}
  \]

• Równanie nieoznaczone o nieskończonej liczbie rozwiązań:

  \[
  \begin{array}{l}
  x - y = 0 \\
  x = y
  \end{array}
  \]

Podział ze względu na rodzaj wyrażeń w równaniu:

• Równanie nieliniowe:

  \[f(x) = g(x)\]

• Równanie liniowe:

  \[ax + b = c\]

• Równanie kwadratowe:

  \[a{x^2} + bx + c = 0\]

• Równanie sześcienne:

  \[a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\]

• Równanie wielomianowe stopnia n:

  \[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0\]

Oprócz powyższych podziałów równanie może być:

• pojedyncze z jedną niewiadomą:

  \[5\sin \left( x^{\frac{1}{2 + \cos x}} \right) = \ln(x^3) + 2\]

• układ równań z wieloma niewiadomymi:

  \[
  \left\{
  \begin{array}{l}
  x^3 + 5y^2 - 6x = 7z^2 \\
  x^2 + 3y - 6z = y^3 \\
  z^2 - 2xy + 5 = y^2
  \end{array}
  \right.
  \]

Powyższy podział nie wyczerpuje wszystkich możliwych typów równań, których jest bardzo wiele. Tutaj zajmiemy się opisem metod rozwiązywania wybranych rodzajów równań, z którymi często spotykamy się w naukach technicznych.

• Równania nieliniowe
• Równanie liniowe
• Równanie kwadratowe
• Równanie sześcienne
• Równanie czwartego stopnia
• Macierze
• Wyznacznik macierzy
• Rozkład LU
• Układ 2 równań liniowych
• Metoda Cramera
• Eliminacja Gaussa
• Eliminacja Gaussa-Crouta
• Rozkład LU i układ równań liniowych