Równania

Wprowadźmy pojęcie jednomianu ( ang. monomial ). Najogólniej mówiąc jest to iloczyn zmiennej podniesionej do całkowitej i dodatniej potęgi oraz liczby rzeczywistej. Przykłady jednomianów są następujące:

Pojedyncza liczba również jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem przez zmienną x podniesioną do potęgi zerowej, co zawsze jest równe 1:

Liczba stojąca przy zmiennej nazywana jest współczynnikiem jednomianu. Potęga zmiennej nazywana jest stopniem wielomianu. Wielomian ( ang. polynomial ) jest sumą jednomianów. Przykłady wielomianów:

Ogólnie wielomian stopnia n-tego zapisujemy jako:

Matematycznie zapisujemy to jako sumę n jednomianów:

Funkcja liniowa ( ang. linear function ) jest wielomianem stopnia pierwszego, co możemy zapisać jako:

Równanie liniowe powstaje, jeśli przyrównamy funkcję liniową do 0:

Jeśli współczynnik a jest różny od zera, to równanie posiada rozwiązanie:

Jeśli a jest równe zero, to przy b różnym od zera równanie jest sprzeczne ( żadna wartość x nie spełnia równania ), a przy b równym zero, równanie jest nieoznaczone ( każda wartość x spełnia równanie ).

Algorytm rozwiązywania równania liniowego

Dane wejściowe:

ε	–	dokładność przyrównania do zera
a,b	–	współczynniki

Dane wyjściowe

x

–

pierwiastek równania

Lista kroków

K01:	Jeśli | a | > ε, to idź do kroku K04	Sprawdzamy, czy a jest różne od zera
K02:	Jeśli |b| > ε, to pisz "Równanie nieoznaczone" inaczej pisz "Równanie sprzeczne"	Jeśli nie, to mamy błąd
K03:	Zakończ z błędem
K04:		Obliczamy wynik
K05:	Zakończ

Poniższy program znajduje rozwiązanie równania:

// Równanie liniowe
// (C)2019 mgr Jerzy Wałaszek
// Metody numeryczne
//---------------------------

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>

using namespace std;

// Tutaj definiujemy dane wejściowe
//----------------------------------
double eps = 1e-7;  // Dokładność porównania z zerem
double a = 6;       // Współczynniki
double b = -12;

// Program główny
//---------------

int main()
{
    // Zmienne

    double x;

    setlocale(LC_ALL,"");

    cout << fixed;
    cout << "Równanie liniowe" << endl
         << "----------------" << endl << endl;
    cout << a << " * x + " << b << " = 0" << endl << endl;

    // Sprawdzamy, czy a jest równe zero

    if(fabs(a) <= eps)
    {
        cout << "Równanie ";
        if(fabs(b) <= eps) cout << " nieoznaczone";
        else               cout << " sprzeczne";
    }
    else
    {
        x = - b / a;
        cout << "Wynik x = " << x;
    }

    cout << endl << endl;

    return 0;
}

Sprawdź rozwiązanie równań: