Równania

Wprowadźmy pojęcie jednomianu (ang. monomial). Najogólniej mówiąc jest to iloczyn zmiennej podniesionej do całkowitej i dodatniej potęgi oraz liczby rzeczywistej. Przykłady jednomianów są następujące:

Pojedyncza liczba również jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem przez zmienną \(x\) podniesioną do potęgi zerowej, co zawsze jest równe 1:

Liczba stojąca przy zmiennej (lub liczba pojedyncza) nazywana jest współczynnikiem jednomianu. Potęga zmiennej nazywana jest stopniem wielomianu. Wielomian (ang. polynomial) jest sumą jednomianów. Przykłady wielomianów:

Ogólnie wielomian stopnia n-tego zapisujemy jako:

Matematycznie zapisujemy to jako sumę n jednomianów:

Funkcja liniowa (ang. linear function) jest wielomianem stopnia pierwszego, co możemy zapisać jako:

Równanie liniowe powstaje, jeśli przyrównamy funkcję liniową do 0:

Jeśli współczynnik \(a\) jest różny od zera, to równanie posiada rozwiązanie:

Jeśli \(a\) jest równe zero, to przy \(b\) różnym od zera równanie jest sprzeczne (żadna wartość x nie spełnia równania) , a przy \(b\) równym zero, równanie jest nieoznaczone (każda wartość x spełnia równanie).

Algorytm rozwiązywania równania liniowego

Dane wejściowe:

Dane wyjściowe

Lista kroków

Poniższy program znajduje rozwiązanie równania:

// Równanie liniowe
// (C)2019 mgr Jerzy Wałaszek
// Metody numeryczne 0040
//---------------------------

#include <iostream>
#include <windows.h>
#include <cmath>
#include <iomanip>

using namespace std;

// Tutaj definiujemy
// dane wejściowe
//------------------

// Dokładność porównania
// z zerem
double EPS = 1e-7;
// Współczynniki
double a = 6;
double b = -12;

// Program główny
//---------------
int main()
{
  // Zmienne

  double x;
  char op = '+';

  SetConsoleOutputCP(CP_UTF8);
  SetConsoleCP(CP_UTF8);

  cout << setprecision(3)
       << fixed;

  if(b < 0) op = '-';
  cout << "Równanie liniowe\n"
          "----------------\n\n"
       << a << " * x "
       << op << " "
       << fabs(b) << " = 0\n\n";

  // Sprawdzamy, czy a
  // jest równe zero
  if(fabs(a)<= EPS)
  {
    cout << "Równanie ";
    if(fabs(b) <= EPS)
      cout << "nieoznaczone";
    else
      cout << "sprzeczne";
  }
  else
  {
    x = - b / a;
    cout << "x = " << x;
  }

  cout << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

Równanie liniowe
----------------

6.0000 * x - 12.0000 = 0

x = 2.0000

# Równanie liniowe
# (C)2026 mgr Jerzy Wałaszek
# Metody numeryczne 0040
#---------------------------

import math

# Tutaj definiujemy
# dane wejściowe
#------------------

# Dokładność porównania
# z zerem
EPS = 1e-7
# Współczynniki
a = 6
b = -12

# Program główny
#---------------
op = '+'

print("Równanie liniowe\n"
      "----------------\n")

if b < 0:
    op = '-'

print(f"{a:.4f} * x {op} "
      f"{abs(b):.3f} = 0\n")

# Sprawdzamy, czy a
# jest równe zero
if abs(a) <= EPS:
    print("Równanie ", end="")
    if abs(b) <= EPS:
        print("nieoznaczone")
    else:
        print("sprzeczne")
else:
    x = - b / a
    print(f"x = {x:.3f}")

print()
input("Naciśnij Enter...")

Sprawdź rozwiązanie równań: