Pierwiastki funkcji

Funkcja jest odwzorowaniem, które przyporządkowuje elementy ze zbioru Y elementom ze zbioru X:

Funkcję zapisuje się zwykle za pomocą wzoru, który definiuje to przyporządkowanie.

Na przykład funkcja f(x) = 3x przyporządkowuje każdej liczbie x liczbę y o wartości y  = 3x. Jeśli x  = 5, to zostaje mu przyporządkowana liczba y  = 15 ze zbioru Y, ponieważ 15 = 3 · 5. Element x nazywamy argumentem funkcji. Zbiór wszystkich argumentów funkcji nazywamy jej dziedziną. Element y, który jest przyporządkowany argumentowi funkcji nazywamy wartością funkcji.  Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji. Wszystko to powinieneś znać z lekcji matematyki, tutaj podajemy to dla przypomnienia.

Bardzo ważnym pojęciem są w tym artykule wykresy funkcji ( ang. function graphs ). Wielokrotnie zadawałem uczniom pytanie "co to jest wykres funkcji?" i przyznaję, że nigdy nie otrzymałem poprawnej, logicznej odpowiedzi. Jest to w pewnym sensie porażka edukacji polskiej. Uczy się uczniów definicji, a nie rozumienia pojęć matematycznych. Bez dokładnego rozumienia pojęć nie można mówić o znajomości danej dyscypliny wiedzy. Wyjaśnijmy zatem dokładnie pojęcie wykresu funkcji.

Wykres ( ang. graph ) jest tworem geometrycznym, który powstaje z punktów płaszczyzny ( wykres 2-wymiarowy ) lub przestrzeni ( wykres 3-wymiarowy ). Zajmiemy się tylko wykresami na płaszczyźnie. Płaszczyzna ( ang. plane) jest nieskończonym zbiorem punktów. Aby punkty te można było przetwarzać algebraicznie ( tzn. za pomocą wzorów i operacji arytmetycznych ), musimy wprowadzić układ współrzędnych ( ang. coordinate system ). W tym celu na płaszczyźnie umieszczamy dwie prostopadłe osie liczbowe ( proste z podziałką liczbową ).

Powstaje układ współrzędnych, który rozpowszechnił w matematyce uczony francuski René Descartes, dlatego układ ten nazywamy układem współrzędnych kartezjańskich. Oś poziomą nazywamy osią OX lub osią odciętych. Oś pionową nazywamy osią OY lub osią rzędnych. Punkt przecięcia tych osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. Układ kartezjański pozwala jednoznacznie odwzorować każdy punkt płaszczyzny w parę dwóch liczb rzeczywistych (x,y), które nazwiemy współrzędnymi kartezjańskimi punktu płaszczyzny.

W matematyce każde pojęcie posiada bardzo dokładną definicję. Odwzorowanie jednoznaczne, zwane bijekcją, oznacza, że dla każdego punktu płaszczyzny istnieje dokładnie jedna para współrzędnych oraz dla każdej pary współrzędnych istnieje dokładnie jeden punkt na płaszczyźnie. Oznacza to, iż różne punkty mają różne pary współrzędnych. Współrzędne punktu płaszczyzny wyznaczamy za pomocą rzutów prostopadłych tego punktu na osie liczbowe:

Punkty A, B i C mają współrzędne:

Wykres funkcji jest zbiorem punktów płaszczyzny z układem współrzędnych, których współrzędne spełniają warunek:

Czyli dla danego x wartość y jest wartością funkcji z argumentem x. Dla przykładu narysujmy wykres funkcji f(x) = x - 1:

Wykresem jest prosta. Każdy punkt tej prostej spełnia równanie funkcji:

Punkt nie leżący na tej prostej nie spełnia równania funkcji:

Funkcję nazywamy określoną w pewnym przedziale, jeśli dla każdego argumentu x z tego przedziału istnieje wartość tej funkcji.

Na przykład funkcja f(x) = 2x jest określony w całym przedziale liczb rzeczywistych, ponieważ dla każdej z nich możemy znaleźć wartość tej funkcji.

Funkcja:

jest określona w całym przedziale liczb rzeczywistych z wyjątkiem argumentu x = 0, ponieważ dla takiego argumentu nie potrafimy znaleźć wartości funkcji ( mamy dzielenie przez zero ).

---

Kolejnym ważnym pojęciem jest ciągłość funkcji. Definicja matematyczna ciągłości jest dosyć skomplikowana, lecz na nasze potrzeby wystarczy stwierdzenie, iż funkcja jest ciągła w danym przedziale, jeśli jest w nim określona oraz wartości funkcji nie wykonują nagłych skoków. Innymi słowy wykres funkcji jest linią ciągłą:

Wartości funkcji ciągłej przechodzą w siebie w sposób ciągły, bez nagłych skoków i przerw. Jeśli funkcja nie jest ciągła, to jej wykres nie jest linią ciągłą:

Jeśli funkcja jest ciągła w danym przedziale, to dla każdych dwóch wartości argumentów x₁ i x₂ z tego przedziału funkcja przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości pośrednie pomiędzy f(x₁) a f(x₂):

Pierwiastkiem funkcji ( zwanym również miejscem zerowym funkcji ) jest taka wartość jej argumentu, dla której funkcja ma wartość zero. Pierwiastek będziemy oznaczali symbolem x₀:

Funkcja może:

• nie mieć wcale pierwiastków, tzn. dla każdego argumentu z dziedziny funkcji wartość funkcji jest różna od zera. Np. funkcja f(x) = x² + 1 nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego.
• mieć dokładnie jeden pierwiastek, tzn. istnieje tylko jedno takie x₀, dla którego funkcja ma wartość 0. Np. funkcja f(x) = x + 1 posiada dokładnie jeden pierwiastek x₀ = -1.
• może mieć kilka pierwiastków. Np funkcja f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 posiada 3 różne pierwiastki x₀ = 1, 2 i 3.
• może mieć nieskończenie wiele pierwiastków. Np. funkcja f(x) = sin(x) posiada pierwiastki x₀ = 0, ±π, ±2π, ±3π ...

Pierwiastki funkcji mogą być znalezione na dwa sposoby:

• Dokładnie – wymaga znajomości metod analitycznych i zwykle jest trudne do przeprowadzenia, jeśli mamy do czynienia ze skomplikowaną funkcją. Zaletą jest to, iż otrzymujemy dokładny pierwiastek funkcji. Zastosowanie w matematyce oraz dziedzinach teoretycznych.
• Przybliżone – wymaga przeprowadzenia wielu obliczeń, które dają coraz lepsze przybliżenie pierwiastka funkcji. Pierwiastek otrzymujemy z zadaną dokładnością. Zastosowanie w technice oraz w dziedzinach praktycznych, gdzie interesują nas konkretne wartości liczbowe.

Metody znajdowania pierwiastków funkcji pozwalają rozwiązywać równania funkcyjne. Na przykład mamy równanie:

Tworzymy nową funkcję:

Znajdujemy dla tej funkcji pierwiastek x₀. Pierwiastek ten jest rozwiązaniem wyjściowego równania funkcyjnego:

W tym rozdziale zajmiemy się przybliżonymi metodami znajdowania pierwiastków funkcji:

• Metoda Bisekcji
• Metoda Regula Falsi
• Metoda Siecznych
• Metoda Mullera
• Metoda Newtona
• Metoda Steffensena
• Metoda Steffensena/Aitkena