Równania

Równanie liniowe ( ang. linear equation ) przyjmuje ogólnie postać:

Wyrazy a₁,...,a_n oraz b nazywamy współczynnikami równania ( ang. coefficients ). Mogą one przyjmować wartości rzeczywiste lub zespolone. Wyrazy x₁,...,x_n nazywamy zmiennymi równania ( ang. variables ) lub niewiadomymi x ( ang. unknown x ). Rozwiązaniem równania ( ang. equation solution ) są takie wartości zmiennych x₁,...,x_n, które po wstawieniu do równania powodują spełnienie równości.

Przez układ m  równań liniowych z n  niewiadomymi ( ang. system of linear equations ) będziemy rozumieli zbiór m równań liniowych z tymi samymi niewiadomymi x:

Zapiszmy współczynniki i zmienne w postaci macierzowej:

Cały układ równań możemy zapisać w postaci macierzowej:

Układ równań liniowych może:

• nie mieć żadnego rozwiązania
• mieć dokładnie jedno rozwiązanie
• mieć nieskończoną liczbę rozwiązań

W tym rozdziale zajmiemy się rozwiązywaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:

Wyrazy a, b, c, d, e, f są współczynnikami, x i y są poszukiwanymi niewiadomymi.

Mamy układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi:

Wyznaczymy wzory na niewiadome. Z równania 2 wyliczamy zmienną y:

Wyprowadzony wzór wykorzystujemy w równaniu 1 do zastąpienia zmiennej y i wyliczenia zmiennej x:

Otrzymaliśmy wzór na zmienną x. Obliczamy x, po czym wynik wstawiamy do wzoru:

i otrzymujemy wartość zmiennej y.

Aby układ równań miał rozwiązanie, musi spełnić dwa warunki:

Postąpimy w sposób następujący:

Jeśli współczynnik e jest równy 0, to wymieniamy ze sobą parami współczynniki: a z d, b z e, c z f. Jeśli współczynnik e wciąż jest zerowy, to kończymy z błędem, układ równań nie posiada jednoznacznego rozwiązania lub jest sprzeczny. Następnie obliczamy wartość a · e – b · d. Jeśli wynosi ona zero, to również kończymy z błędem. Jeśli nie, wartość x liczymy ze wzoru:

Wartość x wykorzystujemy do policzenia wartości y ze wzoru:

Poniższy program wykorzystuje ten algorytm do rozwiązania układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Dane do programu wczytywane są z okna konsoli w postaci 6 liczb, które odpowiadają kolejnym współczynnikom układu.

Układ równań:

// Układy równań liniowych
// (C)2019 mgr Jerzy Wałaszek
// Metody numeryczne
//---------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

using namespace std;

const double EPS = 0.000000001;

int main()
{

    setlocale(LC_ALL,"");

    cout << setprecision(4) << fixed;

    double a,b,c,d,e,f; // Współczynniki

    double x,y;         // Zmienne

    double dd;          // Dzielnik

    cout << "Rozwiązywanie układu 2 równań liniowych z 2 niewiadomymi\n"
            "--------------------------------------------------------\n\n"
            "Wprowadź współczynniki:\n";
    cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;

    cout << endl
         << setw(9) << a << " * x = " << setw(9) << b << " * y = " << setw(9) << c << endl
         << setw(9) << d << " * x = " << setw(9) << e << " * y = " << setw(9) << f << endl << endl;

    if(fabs(e) < EPS)
    {
        swap(a,d); swap(b,e); swap(c,f);
    }

    dd = a * e - b * d;

    if((fabs(e) < EPS) || (fabs(dd) < EPS)) cout << "BRAK ROZWIĄZANIA\n\n";
    else
    {
        x = (c * e - b * f) / dd;
        y = (f - d * x) / e;
        cout << "x = " << setw(9) << x << endl
             << "y = " << setw(9) << y << endl << endl;
    }
    return 0;
}