Interpolacja

Podstawową wadą interpolacji wielomianowej jest zjawisko Rungego, które powoduje duże oscylacje wielomianu interpolacyjnego o wysokim stopniu na krańcach przedziału interpolacji. Metoda interpolacji Chebyszewa eliminuje tę wadę. Osiąga to poprzez nierównomierne rozmieszczenie węzłów w przedziale interpolacji - węzły są rozmieszczane gęściej na krańcach przedziału, co stabilizuje wielomian interpolacyjny i zmniejsza błędy interpolacji.

Na rozwiązanie problemu interpolacji wpadł genialny matematyk rosyjski Pafnutij Chebyszew (Пафнутий Львович Чебышёв – ur. 4 maja?/16 maja 1821 w Okatowie w guberni  kałuskiej, zm. 26 listopada?/8 grudnia 1894 w Sankt Petersburgu), który wymyślił prosty sposób: zamiast węzłów równoodległych, należy zagęścić je na krańcach przedziału interpolacyjnego.

Algorytm interpolacji Chebyszewa składa się z kilku kroków:

Chcemy interpolować wartości pewnej funkcji \({y = f(x)}\) w przedziale \([XS;XE]\).

1. Określamy liczbę węzłów NN.

2. Wyznaczamy węzły Chebyszewa w przedziale bazowym \([-1;1]\).

Nad przedziałem \([-1;1]\) tworzymy półokrąg jednostkowy (o promieniu równym 1):

Na obwodzie półokręgu rozmieszczamy równomiernie NN węzłów \(h_0, h_1,...,h_{NN-1}\) w kolejności od prawej do lewej:

Węzły rzutujemy prostopadle na oś \(OX\). W tym celu wystarczy wyliczyć ich współrzędne \(x_k, \; k = 0,1, \dots NN - 1\):

Pierwszy węzeł wypada w pobliżu 1:

Ostatni węzeł wypada w pobliżu -1:

xxx