Serwis Edukacyjny
w I-LO w Tarnowie
obrazek

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Wstecz       Dalej  

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek

©2020 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

Reprezentacja grafów w komputerze

SPIS TREŚCI
Tematy pomocnicze
Podrozdziały
Do reprezentacji grafów w pamięci komputera wymyślono kilka różnych struktur danych. Każda z nich posiada swoje zalety, lecz również wady. Dlatego należy je rozsądnie dobierać do zadań, w których używamy grafów. Źle dobrana reprezentacja może znacząco wydłużyć czas obliczeń lub rozmiar zajmowanej pamięci. Graf zwykle nie jest strukturą hierarchiczną, jak np. opisane wcześniej drzewa. Jego węzły nie muszą się ze sobą łączyć w określony sposób. Mogą również istnieć grupy węzłów, które nie są w żaden sposób połączone z innymi. Dlatego sposoby reprezentacji drzew niezbyt nadają się do reprezentacji grafów, która powinna zapewniać dostęp do wszystkich wierzchołków bez względu na ich wzajemne połączenia krawędziami. Takie cechy posiadają tablice i macierze. W rozdziale tym omawiamy trzy najczęściej spotykane sposoby przedstawiania grafów: macierz sąsiedztwa ( ang. adjacency matrix ), macierz incydencji ( ang. incidence matrix ) oraz listy sąsiedztwa ( ang. adjacency lists ). Cechą charakterystyczną tych implementacji jest wykorzystanie tablic do przechowywania danych na temat wierzchołków lub łączących je krawędzi. Wykorzystuje się również struktury mieszane, np. tablicę, której elementami są listy.

Wprowadzanie grafu do pamięci komputera

Chcąc realizować algorytmy grafowe, będziemy zmuszeni wprowadzać różne grafy do pamięci komputera. Istnieje bardzo prosty sposób realizacji tego zadania i jest on następujący:

Na początku podajemy dwie liczby n  – ilość wierzchołków oraz m  – ilość krawędzi. Następnie wprowadzamy m par liczb a  i b, które definiują kolejne krawędzie grafu, gdzie a  to wierzchołek startowy, a b  wierzchołek końcowy ( dla grafu nieskierowanego kolejność tych wierzchołków nie ma znaczenia ). Umówmy się dodatkowo, że wierzchołki w grafie posiadają numery od 0 do n - 1. Kolejność numeracji wierzchołków nie ma znaczenia. Dla porządku krawędzie również będą numerowane od 0 do m - 1. Dzięki tej umowie uprości się tworzenie struktur danych w języku C++, gdzie, jak pamiętamy, indeksy tablic rozpoczynają się od 0.

Przykład:

obrazek 5 6  
0 1  
1 2  
2 3  
3 0  
1 4  
3 4  
 – 5 wierzchołków i 6 krawędzi  
 – krawędź e0
 – krawędź e1
 – krawędź e2
 – krawędź e3
 – krawędź e4
 – krawędź e5

Jeśli krawędzie będą posiadały wagi, to wartości tych wag podamy jako trzecią liczbę w definicji krawędzi.

Przykład:

obrazek 5 6  
0 1 5  
1 2 -3  
2 3 0  
3 0 -1  
1 4 2  
3 4 4  
 – 5 wierzchołków i 6 krawędzi  
 – krawędź e0
 – krawędź e1
 – krawędź e2
 – krawędź e3
 – krawędź e4
 – krawędź e5

Jeśli z wierzchołkami grafu zechcemy skojarzyć dane, to po podaniu dwóch pierwszych liczb n  i m  najpierw przekazujemy do programu n  danych dla wierzchołków, a następnie m  par ( lub trójek ) dla poszczególnych krawędzi.

Przykład:

obrazek 5 6  
5  
3  
1  
6  
8  
0 1  
1 2  
2 3  
3 0  
1 4  
3 4  
 – 5 wierzchołków i 6 krawędzi  
 – dane dla v0
 – dane dla v1
 – dane dla v2
 – dane dla v3
 – dane dla v4

 – krawędź e0
 – krawędź e1
 – krawędź e2
 – krawędź e3
 – krawędź e4
 – krawędź e5
Na początek:  podrozdziału   strony 

Macierz sąsiedztwa

Graf reprezentujemy za pomocą macierzy kwadratowej A o stopniu n, gdzie n  oznacza liczbę wierzchołków w grafie. Macierz tą nazywamy macierzą sąsiedztwa ( ang. adjacency matrix ). Odwzorowuje ona połączenia wierzchołków krawędziami. Wiersze macierzy sąsiedztwa odwzorowują zawsze wierzchołki startowe krawędzi, a kolumny odwzorowują wierzchołki końcowe krawędzi. Komórka A [ i, j  ], która znajduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie odwzorowuje krawędź łączącą wierzchołek startowy v i  z wierzchołkiem końcowym v j. Jeśli A [ i, j  ] ma wartość 1, to dana krawędź istnieje. Jeśli A [ i, j  ] ma wartość 0, to wierzchołek v i  nie łączy się krawędzią z wierzchołkiem v j.

obrazek          obrazek

Przykład:

obrazek     
  0 1 2 3 4
0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
2 0 0 0 1 0
3 1 0 0 0 1
4 0 1 0 0 0

Dla grafu nieskierowanego macierz sąsiedztwa A  jest symetryczna względem głównej przekątnej, ponieważ jeśli istnieje krawędź od v i  do v j ( A [ i, j  ] = 1 ), to również musi istnieć krawędź w kierunku odwrotnym, od v j  do v i  ( A [ j, i  ] = 1 ).

Przykład:

obrazek     
  0 1 2 3 4
0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1
2 0 1 0 1 0
3 1 0 1 0 1
4 0 1 0 1 0

Interpretacja zawartości macierzy sąsiedztwa jest bardzo prosta. Poszczególne wiersze traktujemy jako wierzchołki grafu. Zatem wiersz 0 odpowiada wierzchołkowi v 0, wiersz 1 odpowiada wierzchołkowi v 1, itd. Weźmy dla przykładu wiersz nr 3, który odpowiada wierzchołkowi v 3:

  0 1 2 3 4
3 1 0 1 0 1

W kolumnach o numerach 0, 2 i 4 mamy wartości 1. Oznacza to, że wierzchołek v 3  jest połączony krawędziami kolejno z wierzchołkami v 0, v 2 i v 4. Wierzchołek v 3  jest początkiem tych krawędzi, a wierzchołki  v 0, v 2 i v 4 są ich końcami. Z wierzchołka v 3  nie wychodzą żadne krawędzie do wierzchołków v 1 i v 3. Porównaj to z rysunkiem grafu umieszczonym powyżej.

Podobnie jest dla kolumn. Weźmy na przykład kolumnę nr 1, która odpowiada wierzchołkowi v 1:

  1
0 1
1 0
2 1
3 0
4 1

W kolumnie mamy wartość 1 w wierszach o numerach 0, 2 i 4. Znaczy to, że wierzchołek v 1  jest końcem krawędzi wychodzących z wierzchołków v 0, v 2 i v 4. Do wierzchołka v 1  nie dochodzą krawędzie z wierzchołków v 1 i v 3.

Aby sprawdzić, czy w grafie dane dwa wierzchołki v i  i v j  są połączone krawędzią, sprawdzamy, czy komórka A [ i, j  ] zawiera wartość 1. Jeśli tak, to dana krawędź istnieje. Zwróć uwagę, że operację tę można wykonać w czasie stałym, zatem dla macierzy sąsiedztwa sprawdzenie połączenia wierzchołków krawędzią ma klasę złożoności obliczeniowej równą O ( 1 ). Wadą jest klasa zajętość pamięci równa O ( n 2 ), gdzie n  oznacza liczbę wierzchołków w grafie. Z drugiej strony komórki macierzy mogą być pojedynczymi bitami.

Z macierzy sąsiedztwa można odczytać wiele pożytecznych informacje. Oto niektóre z nich:


Przykładowe programy

Uwaga:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

Program odczytuje definicję grafu skierowanego, tworzy macierz sąsiedztwa i wypisuje ją w czytelnej formie.
Dane przykładowe ( przekopiuj do schowka i wklej do okna konsoli ):
obrazek            6 8
0 1
1 2
2 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3
Pascal
// Macierz sąsiedztwa
// Data: 14.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

program adj_matrix;

// Typy dla dynamicznej macierzy
type
  nptr = array of byte;  // Wiersz
  mptr = array of nptr;  // Cała macierz

var
  n, m, i, j, v1, v2 : integer;
  A : mptr;

begin
  read ( n, m );              // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  SetLength ( A, n );         // Tworzymy tablicę wskaźników

  for i := 0 to n - 1 do
    SetLength ( A [ i ], n ); // Tworzymy wiersze

  // Macierz wypełniamy zerami

  for i := 0 to n - 1 do
    for j := 0 to n - 1 do
      A [ i ][ j ] := 0;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for i := 1 to m do
  begin
    read ( v1, v2 );        // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    A [ v1 ][ v2 ] := 1; // Krawędź v1->v2 obecna
  end;

  writeln;

  // Wypisujemy zawartość macierzy sąsiedztwa

  write ( '   ' );
  for i := 0 to n - 1 do write ( i:3 );
  writeln;
  writeln;
  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    write ( i:3 );
    for j := 0 to n - 1 do write ( A [ i ][ j ] :3 );
    writeln;
  end;

  // Usuwamy macierz

  for i := 0 to n - 1 do SetLength ( A [ i ], 0 );
  SetLength ( A, 0 );

  writeln;
end.
C++
// Macierz sąsiedztwa
// Data: 14.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

int main( )
{
  int n, m, i, j, v1, v2;
  char ** A;

  cin >> n >> m;         // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  A = new char * [ n ];  // Tworzymy tablicę wskaźników

  for( i = 0; i < n; i++ )
    A [ i ] = new char [ n ]; // Tworzymy wiersze

  // Macierz wypełniamy zerami

  for( i = 0; i < n; i++ )
    for( j = 0; j < n; j++ ) A [ i ][ j ] = 0;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for( i = 0; i < m; i++ )
  {
    cin >> v1 >> v2;    // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    A [ v1 ][ v2 ] = 1; // Krawędź v1->v2 obecna
  }

  cout << endl;

  // Wypisujemy zawartość macierzy sąsiedztwa

  cout << "   ";
  for( i = 0; i < n; i++ ) cout << setw ( 3 ) << i;
  cout << endl << endl;
  for( i = 0; i < n; i++ )
  {
    cout << setw ( 3 ) << i;
    for( j = 0; j < n; j++ ) cout << setw ( 3 ) << ( int ) A [ i ][ j ];
    cout << endl;
  }

  // Usuwamy macierz

  for( i = 0; i < n; i++ ) delete [ ] A [ i ];
  delete [ ] A;

  cout << endl;

  return 0;
}
Basic
' Macierz sąsiedztwa
' Data: 14.07.2013
' (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
'---------------------------

Dim As Integer n, m, i, j, v1, v2
Dim As Byte Ptr Ptr A

Open Cons For Input As #1

Input #1, n, m             ' Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

A = New Byte Ptr [ n ]     ' Tworzymy tablicę wskaźników

For i = 0 To n - 1
  A [ i ] = New Byte [ n ] ' Tworzymy wiersze
Next

' Macierz wypełniamy zerami

For i = 0 To n - 1
  For j = 0 To n - 1
    A [ i ][ j ] = 0
  Next
Next

' Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

For i = 0 To m - 1
  Input #1, v1, v2        ' Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
  A [ v1 ][ v2 ] = 1      ' Krawędź v1->v2 obecna
Next

Close #1

Print

' Wypisujemy zawartość macierzy sąsiedztwa

Print "   ";
For i = 0 To n - 1
  Print Using "###";i;
Next
Print: Print
For i = 0 To n - 1
  Print Using "###";i;
  For j = 0 To n - 1
  	 Print Using "###";A [ i ][ j ];
  Next
  Print
Next

' Usuwamy macierz

For i = 0 To n - 1
  Delete [ ] A [ i ] 
Next
Delete [ ] A

Print

End
Wynik:
6 8
0 1
1 2
2 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

     0  1  2  3  4  5

  0  0  1  0  0  0  0
  1  0  0  1  1  0  0
  2  0  0  1  0  1  0
  3  0  1  0  0  0  0
  4  1  0  0  1  0  0
  5  0  0  0  0  0  0

Zadania dla macierzy sąsiedztwa

  1. Jak zmienić powyższy program, aby traktował dane wejściowe jako graf niekierowany?
  2. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkich jego sąsiadów.
  3. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkie wierzchołki, dla których jest on sąsiadem..
  4. Napisz program, który dla danego grafu nieskierowanego wyznaczy stopnie wszystkich wierzchołków. Uważaj na pętle!
  5. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy stopnie wychodzące i wchodzące wszystkich wierzchołków.
  6. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy wszystkie pętle, krawędzie dwukierunkowe oraz wierzchołki izolowane.
Na początek:  podrozdziału   strony 

Macierz incydencji

Macierz incydencji ( ang. incidence matrix ) jest macierzą A  o wymiarze n  × m, gdzie n  oznacza liczbę wierzchołków grafu, a m  liczbę jego krawędzi. Każdy wiersz tej macierzy odwzorowuje jeden wierzchołek grafu. Każda kolumna odwzorowuje jedną krawędź. Zawartość komórki A [ i, j  ] określa powiązanie ( incydencję ) wierzchołka v i  z krawędzią e j  w sposób następujący:

obrazek

Przykład:

obrazek     
  0 1 2 3 4 5
0 1 0 0 -1 0 0
1 -1 1 0 0 -1 0
2 0 -1 1 0 0 0
3 0 0 -1 1 0 1
4 0 0 0 0 1 -1

Jeśli graf jest nieskierowany, to definicję macierzy można uprościć:

obrazek

Przykład:

obrazek     
  0 1 2 3 4 5
0 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0
2 0 1 1 0 0 0
3 0 0 1 1 0 1
4 0 0 0 0 1 1

Interpretacja macierzy incydencji jest równie prosta jak interpretacja macierzy sąsiedztwa. Weźmy dla przykładu wiersz nr 3:

  0 1 2 3 4 5
3 0 0 -1 1 0 1

Wiersz nr 3 skojarzony jest z wierzchołkiem v 3  grafu. Wierzchołek v 3  jest końcem krawędzi e 2  oraz początkiem krawędzi e 3  i e 5. Nie należy do krawędzi e 0, e 1  i e 4.

Z kolei każda kolumna odwzorowuje jedną krawędź. Weźmy kolumnę nr 2:

  2
0 0
1 0
2 1
3 -1
4 0

Kolumna nr 2 skojarzona jest z krawędzią e 2  grafu. Krawędź ta wychodzi od wierzchołka v 2  i kończy się w wierzchołku v 3.

Macierz incydencji wymaga pamięci o rozmiarze O ( m  × n  ). Przydaje się wtedy, gdy algorytm musi posiadać informację o krawędziach ( bo przykładowo posiadają one wagi ). Pozwala w czasie O ( 1 ) sprawdzić, czy wierzchołek v i  należy do krawędzi e j. Zwróć uwagę, że macierz incydencji nie nadaje się zbyt dobrze do reprezentacji grafów z pętlami, ponieważ wierzchołek startowy i końcowy muszą być różne. Co prawda, można się umówić na specjalną wartość, np. 2, dla wierzchołka, który jest jednocześnie początkiem jak i końcem krawędzie, lecz komplikuje to przetwarzanie macierzy. Z kolei macierz incydencji bez problemu pozwala reprezentować krawędzie wielokrotne.

Z macierzy incydencji możemy odczytać te same informacje, co z macierzy sąsiedztwa ( chociaż czasami wymaga to więcej działań ).


Przykładowe programy

Uwaga:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

Program odczytuje definicję grafu skierowanego, tworzy macierz incydencji i wypisuje ją w czytelnej formie.
Dane przykładowe ( przekopiuj do schowka i wklej do okna konsoli ):
obrazek            6 7
0 1
1 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3
Pascal
// Macierz incydencji
// Data: 18.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

program inc_matrix;

// Typy dla dynamicznej macierzy
type
  nptr = array of shortint; // Wiersz
  mptr = array of nptr;     // Cała macierz

var
  n, m, i, j, v1, v2 : integer;
  A : mptr;

begin
  read ( n, m );              // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  SetLength ( A, n );         // Tworzymy tablicę wskaźników

  for i := 0 to n - 1 do
    SetLength ( A [ i ], m ); // Tworzymy wiersze

  // Macierz wypełniamy zerami

  for i := 0 to n - 1 do
    for j := 0 to m - 1 do
      A [ i ][ j ] := 0;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for i := 0 to m - 1 do
  begin
    read ( v1, v2 );        // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    A [ v1 ][ i ] := 1;  // Wierzchołek startowy
    A [ v2 ][ i ] := -1; // Wierzchołek końcowy
  end;

  writeln;

  // Wypisujemy zawartość macierzy incydencji

  write ( '   ' );
  for i := 0 to m - 1 do write ( i:3 );
  writeln;
  writeln;
  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    write ( i:3 );
    for j := 0 to m - 1 do write ( A [ i ][ j ] :3 );
    writeln;
  end;

  // Usuwamy macierz

  for i := 0 to n - 1 do SetLength ( A [ i ], 0 );
  SetLength ( A, 0 );

  writeln;

end.
C++
// Macierz incydencji
// Data: 18.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

int main( )
{
  int n, m, i, j, v1, v2;
  signed char ** A;

  cin >> n >> m;               // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  A = new signed char * [ n ]; // Tworzymy tablicę wskaźników

  for( i = 0; i < n; i++ )
    A [ i ] = new signed char [ m ]; // Tworzymy wiersze

  // Macierz wypełniamy zerami

  for( i = 0; i < n; i++ )
    for( j = 0; j < m; j++ ) A [ i ][ j ] = 0;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for( i = 0; i < m; i++ )
  {
    cin >> v1 >> v2;    // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    A [ v1 ][ i ] = 1;  // Wierzchołek startowy
    A [ v2 ][ i ] = -1; // Wierzchołek końcowy
  }

  cout << endl;

  // Wypisujemy zawartość macierzy incydencji

  cout << "   ";
  for( i = 0; i < m; i++ ) cout << setw ( 3 ) << i;
  cout << endl << endl;
  for( i = 0; i < n; i++ )
  {
    cout << setw ( 3 ) << i;
    for( j = 0; j < m; j++ ) cout << setw ( 3 ) << ( int ) A [ i ][ j ];
    cout << endl;
  }

  // Usuwamy macierz

  for( i = 0; i < n; i++ ) delete [ ] A [ i ];
  delete [ ] A;

  cout << endl;

  return 0;
}

Basic
' Macierz incydencji
' Data: 18.07.2013
' (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
'---------------------------

Dim As Integer n, m, i, j, v1, v2
Dim As Byte Ptr Ptr A

Open Cons For Input As #1

Input #1, n, m             ' Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

A = New Byte Ptr [ n ]     ' Tworzymy tablicę wskaźników

For i = 0 To n - 1
  A [ i ] = New Byte [ m ] ' Tworzymy wiersze
Next

' Macierz wypełniamy zerami

For i = 0 To n - 1
  For j = 0 To m - 1
    A [ i ][ j ] = 0
  Next
Next

' Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

For i = 0 To m - 1
  Input #1, v1, v2  ' Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
  A [ v1 ][ i ] = 1 ' Wierzchołek startowy
  A [ v2 ][ i ] =-1 ' Wierzchołek końcowy
Next

Close #1

Print

' Wypisujemy zawartość macierzy incydencji

Print "   ";
For i = 0 To m - 1
  Print Using "###";i;
Next
Print: Print
For i = 0 To n - 1
  Print Using "###";i;
  For j = 0 To m - 1
    Print Using "###";A [ i ][ j ];
  Next
  Print
Next

' Usuwamy macierz

For i = 0 To n - 1
  Delete [ ] A [ i ] 
Next
Delete [ ] A

Print

End
Wynik:
6 7
0 1
1 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

     0  1  2  3  4  5  6

  0  1  0  0  0  0 -1  0
  1 -1  1  1 -1  0  0  0
  2  0 -1  0  0  1  0  0
  3  0  0 -1  1  0  0 -1
  4  0  0  0  0 -1  1  1
  5  0  0  0  0  0  0  0

Zadania dla macierzy incydencji

  1. Jak zmienić powyższy program, aby traktował dane wejściowe jako graf nieskierowany?
  2. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkich jego sąsiadów.
  3. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkie wierzchołki, dla których jest on sąsiadem..
  4. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy wszystkie krawędzie dwukierunkowe oraz wierzchołki izolowane.
Na początek:  podrozdziału   strony 

Listy sąsiedztwa

Do reprezentacji grafu wykorzystujemy tablicę n  elementową A, gdzie n  oznacza liczbę wierzchołków. Każdy element tej tablicy jest listą. Lista reprezentuje wierzchołek startowy. Na liście są przechowywane numery wierzchołków końcowych, czyli sąsiadów wierzchołka startowego, z którymi jest on połączony krawędzią. Tablica ta nosi nazwę list sąsiedztwa ( ang. adjacency lists ).

Przykład:

obrazek     
0 1  
1 2  
2 3  
3 0 4
4 1  

W przypadku grafu nieskierowanego listy są dłuższe, ponieważ muszą odzwierciedlać krawędzie biegnące w obu kierunkach.

Przykład:

obrazek     
0 1 3  
1 0 4 2
2 1 3  
3 0 2 4
4 1 3  

Listy sąsiedztwa są efektywnym pamięciowo sposobem reprezentacji grafu w pamięci komputera, ponieważ zajmują pamięć rzędu O ( m  ), gdzie m  oznacza liczbę krawędzi grafu. Listy sąsiedztwa pozwalają w prosty sposób reprezentować pętle oraz krawędzie wielokrotne, co sprawia, że są bardzo chętnie stosowane w algorytmach grafowych.

Oto kilka podstawowych operacji na listach sąsiedztwa:


Przykładowe programy

Uwaga:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

Program odczytuje definicję grafu skierowanego, tworzy tablicę list sąsiedztwa i wypisuje ją w czytelnej formie. W tablicy są wykorzystywane listy jednokierunkowe.
Dane przykładowe ( przekopiuj do schowka i wklej do okna konsoli ):
obrazek            6 8
0 1
1 2
2 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3
Pascal
// Listy sąsiedztwa
// Data: 18.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

program inc_matrix;

// Typy dla dynamicznej tablicy list sąsiedztwa

type
  PslistEl = ^slistEl;
  slistEl =  record
    next  : PslistEl;
    v     : integer;
  end;

  TList = array of PslistEl;

var
  n, m, i, v1, v2 : integer;
  A : TList;
  p, r : PslistEl;
begin
  read ( n, m );             // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  SetLength ( A, n );        // Tworzymy tablicę list sąsiedztwa

  // Tablicę wypełniamy pustymi listami

  for i := 0 to n - 1 do A [ i ] := nil;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for i := 0 to m - 1 do
  begin
    read ( v1, v2 );        // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    new ( p );              // Tworzymy nowy element
    p^.v := v2;          // Numerujemy go jako v2
    p^.next := A [ v1 ]; // Dodajemy go na początek listy A [ v1 ] 
    A [ v1 ] := p;
  end;

  writeln;

  // Wypisujemy zawartość tablicy list sąsiedztwa

  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    write ( 'A [ ', i, ' ] =' );
    p := A [ i ];
    while p <> nil do
    begin
      write ( p^.v:3 );
      p := p^.next;
    end;
    writeln;
  end;

  // Usuwamy tablicę list sąsiedztwa

  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    p := A [ i ];
    while p <> nil do
    begin
      r := p;
      p := p^.next;
      dispose ( r );
    end;
  end;
  SetLength ( A, 0 );

  writeln;

end.
C++
// Listy sąsiedztwa
// Data: 18.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

// Typy dla dynamicznej tablicy list sąsiedztwa

struct slistEl
{
  slistEl * next;
  int v;
};

int main( )
{
  int n, m, i, v1, v2;
  slistEl ** A;
  slistEl *p, *r;

  cin >> n >> m;           // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  A = new slistEl * [ n ]; // Tworzymy tablicę list sąsiedztwa

  // Tablicę wypełniamy pustymi listami

  for( i = 0; i < n; i++ ) A [ i ] = NULL;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for( i = 0; i < m; i++ )
  {
    cin >> v1 >> v2;    // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    p = new slistEl;    // Tworzymy nowy element
    p->v = v2;          // Numerujemy go jako v2
    p->next = A [ v1 ]; // Dodajemy go na początek listy A [ v1 ] 
    A [ v1 ] = p;
  }

  cout << endl;

  // Wypisujemy zawartość tablicy list sąsiedztwa

  for( i = 0; i < n; i++ )
  {
    cout << "A [ " << i << " ] =";
    p = A [ i ];
    while( p )
    {
      cout << setw ( 3 ) << p->v;
      p = p->next;
    }
    cout << endl;
  }

  // Usuwamy tablicę list sąsiedztwa

  for( i = 0; i < n; i++ )
  {
    p = A [ i ];
    while( p )
    {
      r = p;
      p = p->next;
      delete r;
    }
  }

  delete [ ] A;

  cout << endl;

  return 0;
}
Basic
' Listy sąsiedztwa
' Data: 18.07.2013
' (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
'---------------------------

' Typy dla dynamicznej tablicy list sąsiedztwa

Type slistEl
  next As slistEl Ptr
  v As Integer
End Type

Dim As Integer n, m, i, v1, v2
Dim As slistEl Ptr Ptr A
Dim As slistEl Ptr p, r

Open Cons For Input As #1

Input #1, n, m            ' Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

A = new slistEl Ptr [ n ] ' Tworzymy tablicę list sąsiedztwa

' Tablicę wypełniamy pustymi listami

For i = 0 To n - 1
  A [ i ] = 0
Next

' Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

For i = 0 To m -1
  Input #1, v1, v2   ' Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
  p = new slistEl    ' Tworzymy nowy element
  p->v = v2          ' Numerujemy go jako v2
  p->next = A [ v1 ] ' Dodajemy go na początek listy A [ v1 ] 
  A [ v1 ] = p
Next

Close #1

Print

' Wypisujemy zawartość tablicy list sąsiedztwa

For i = 0 To n - 1
  Print Using "A [ & ] =";i;
  p = A [ i ] 
  While p
    Print Using "###";p->v;
    p = p->Next
  Wend
  Print
Next

' Usuwamy tablicę list sąsiedztwa

For i = 0 To n - 1
  p = A [ i ] 
  While p
    r = p
    p = p->Next
    Delete r
  Wend
Next

Delete [ ] A

Print

End
Wynik:
6 8
0 1
1 2
2 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

A [ 0 ] =  1
A [ 1 ] =  3  2
A [ 2 ] =  4  2
A [ 3 ] =  1
A [ 4 ] =  3  0
A [ 5 ] =

Zadania dla list sąsiedztwa

  1. Jak zmienić powyższy program, aby traktował dane wejściowe jako graf nieskierowany?
  2. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkie wierzchołki, dla których jest on sąsiadem..
  3. Napisz program, który dla danego grafu nieskierowanego wyznaczy stopnie wszystkich wierzchołków. Uważaj na pętle!
  4. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy stopnie wychodzące i wchodzące wszystkich wierzchołków.
  5. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy wszystkie pętle, krawędzie dwukierunkowe oraz wierzchołki izolowane.
Na początek:  podrozdziału   strony 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2020 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.