Serwis Edukacyjny w I-LO w Tarnowie Materiały dla uczniów liceum |
Wyjście Spis treści Wstecz Dalej Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek |
©2024 mgr Jerzy Wałaszek |
Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych
zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang.
node). Dane przechowuje się w węzłach drzewa. Węzły są ze sobą
powiązane w sposób hierarchiczny za pomocą krawędzi
(ang. edge), które zwykle przedstawia się za pomocą strzałki
określającej hierarchię. Pierwszy węzeł drzewa nazywa się korzeniem
(ang. root node). Od niego "wyrastają" pozostałe węzły, które
będziemy nazywać synami (ang. child node).
Synowie są węzłami podrzędnymi w strukturze hierarchicznej. Synowie tego
samego ojca są nazywani braćmi (ang. sibling node).
Węzeł nadrzędny w stosunku do syna nazwiemy ojcem
(ang. parent node). Ojcowie są węzłami nadrzędnymi w strukturze
hierarchicznej. Jeśli węzeł nie posiada synów, to nazywa się liściem
(ang. leaf node), w przeciwnym razie nazywa się węzłem
wewnętrznym (ang. internal node, inner node, branch
node).
Struktura drzewa | ||
A…H – węzły drzewa strzałki – krawędzie. Zwrot określa kierunek hierarchii rodzić → dziecko. A – korzeń drzewa B, C, D – bracia, synowie węzła A, który jest dla nich ojcem E, F, G – bracia, synowie węzła B, który jest dla nich ojcem H – syn węzła D, który jest dla niego ojcem A, B, D – węzły wewnętrzne C, E, F, G, H – liście |
Za wyjątkiem korzenia wszystkie pozostałe węzły w drzewie posiadają swojego ojca. W normalnym drzewie liczba synów dla dowolnego węzła nie jest ograniczona. Istnieje jednakże bardzo ważna klasa drzew, w których dany węzeł może posiadać co najwyżej dwóch synów. Noszą one nazwę drzew binarnych (ang. binary tree).
Ciąg węzłów połączonych krawędziami nazwiemy ścieżką
(ang. path). Od korzenia do określonego węzła w drzewie wiedzie zawsze
dokładnie jedna ścieżka prosta, tzn. taka, iż zawarte w niej węzły pojawiają się
tylko jeden raz. Długością ścieżki (ang. path length)
nazwiemy liczbę krawędzi łączących węzły w ścieżce. Dla naszego drzewa mamy
następujące ścieżki proste od korzenia do kolejnych węzłów:
Struktura drzewa | Ścieżki | |
ścieżka od A do A: długość 0: A ścieżka od A do B: długość 1: A→B ścieżka od A do C: długość 1: A→C ścieżka od A do D: długość 1: A→D ścieżka od A do E: długość 2: A→B→E ścieżka od A do F: długość 2: A→B→F ścieżka od A do G: długość 2: A→B→G ścieżka od A do H: długość 2: A→D→H |
Długość ścieżki prostej od korzenia do danego węzła nazywa się poziomem
węzła (ang. node level). Korzeń drzewa ma zawsze
poziom 0. W naszym drzewie węzły B, C i D mają poziom 1, a E, F, G i H mają
poziom 2. Wysokość drzewa (ang. tree height)
jest równa największemu poziomowi węzłów (lub najdłuższej
ścieżce rozpoczynającej się w korzeniu). Dla naszego drzewa wysokość
jest równa 2. Wysokość węzła (ang. node height),
to długość najdłuższej ścieżki od tego węzła do liścia. Dla korzenia wysokość
węzła jest równa wysokości drzewa:
Struktura drzewa | Wysokości węzłów | |
węzeł A: wysokość = 2 węzeł B: wysokość = 1 węzeł C: wysokość = 0 węzeł D: wysokość = 1 węzeł E: wysokość = 0 węzeł F: wysokość = 0 węzeł G: wysokość = 0 węzeł H: wysokość = 0 |
Poziom drzewa (ang. tree level, the level of a
tree) dla danego węzła to długość ścieżki prostej od korzenia do
danego węzła.
Struktura drzewa | Poziomy | |
Poziom 0: A Poziom 1: B, C, D Poziom 2: E, F, G, H |
Liczba krawędzi powiązanych z danym węzłem nosi nazwę stopnia węzła
(ang. node degree). Krawędzie drzewa są
krawędziami skierowanymi (ang. directed edge) i
oznaczamy je za pomocą strzałek. Kierunek strzałki jednoznacznie określa
pozycję w hierarchii – strzałka wychodzi od ojca i kończy się na synu. Z
tego powodu stopień węzła rozbija się na dwa stopnie:
stopień wyjściowy (ang. node out-degree) – liczba krawędzi wychodzących z węzła, określa liczbę synów.
Stopień węzła jest sumą stopnia wejściowego i wyjściowego.
Struktura drzewa | ||
węzeł A: we = 0, wy = 3, stopień węzła = 3 węzeł B: we = 1, wy = 3, stopień węzła = 4 węzeł C: we = 1, wy = 0, stopień węzła = 1 węzeł D: we = 1, wy = 1, stopień węzła = 2 węzeł E: we = 1, wy = 0, stopień węzła = 1 węzeł F: we = 1, wy = 0, stopień węzła = 1 węzeł G: we = 1, wy = 0, stopień węzła = 1 węzeł H: we = 1, wy = 0, stopień węzła = 1 |
Zwróć uwagę, że liście nie będące korzeniem (jeśli korzeń jest liściem, to jego stopień wynosi 0) mają zawsze stopień równy 1.
Drzewo, w którym węzły mogą posiadać co najwyżej dwóch synów, nazywa się
drzewem binarnym (ang. binary tree, B-tree). Węzły
potomne nazywamy odpowiednio synem lewym (ang. left
child node) i synem prawym (ang. right child
node). Drzewa binarne mają ogromne znaczenie w informatyce, ponieważ za
ich pomocą można odwzorować również drzewa, których węzły posiadają dowolną
liczbę synów – sposób takiego odwzorowania podamy w dalszej części rozdziału.
Drzewo binarne | ||
A – korzeń, ojciec B i C B, C – synowie A, B – lewy syn A, C – prawy syn A D, E – liście, synowie B F, G – liście, synowie C |
W drzewie binarnym stopień każdego węzła nie przekracza 3. Stopień korzenia nie przekracza 2.
Regularne drzewo binarne (ang. regular binary
tree, proper binary tree) zawiera wyłącznie węzły, których stopień
wyjściowy jest albo równy 2 (węzeł posiada dwóch synów –
jest węzłem wewnętrznym), albo 0 (węzeł nie
posiada synów – jest liściem).
Regularne drzewo binarne | Stopnie wyjściowe | |
A – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny B – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny C – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny D – stopień wyjściowy 0, liść E – stopień wyjściowy 0, liść F – stopień wyjściowy 0, liść G – stopień wyjściowy 0, liść |
Dla regularnego drzewa binarnego liczba węzłów na poziomie k-tym
jest zawsze równa 2k.
Liczba wszystkich węzłów, czyli rozmiar drzewa (
ang. binary tree size) jest równa
2p
- 1, gdzie p oznacza liczbę poziomów.
Dla n węzłów liczba poziomów jest równa log2 (n+1).
Ponumerujmy poziomami kolejne węzły, idąc od strony lewej do prawej:
Otrzymane numery węzłów są powiązane ze strukturą hierarchii drzewa
prostymi zależnościami:
Jeśli węzeł o numerze k posiada synów, to: lewy syn ma numer 2k+1 prawy syn ma numer 2k+2 |
||
Jeśli węzeł o numerze k posiada ojca, to: ojciec ma numer [(k-1) / 2] […] oznacza część całkowitą. |
Węzeł o numerze k znajduje się na poziomie o numerze [log 2 (k+1)].
Węzeł o numerze k jest wewnętrzny, jeśli 2k+2 < n. W przeciwnym razie węzeł jest liściem.
Własności te pozwalają odwzorowywać regularne drzewo binarne w ciąg elementów i na odwrót
Kompletne drzewo binarne (ang. complete binary tree) posiada zapełnione węzłami wszystkie poziomy z wyjątkiem ostatniego, jednakże na ostatnim poziomie węzły są zapełnione począwszy od lewej strony.
Kompletne drzewo binarne | Niekompletne drzewo binarne | |
Kompletne drzewo binarne również da się odwzorować w ciąg węzłów. W takim drzewie liczba elementów n może być mniejsza od maksymalnej liczby węzłów, ponieważ ostatni poziom nie musi posiadać kompletu węzłów. Jednakże w przeciwieństwie do drzewa regularnego węzeł wewnętrzny może posiadać tylko jednego, lewego syna (u nas węzłem takim jest węzeł 4). Dlatego w kompletnym drzewie binarnym o rozmiarze n dla węzła o numerze k zachodzi:
2k + 2 > n – węzeł jest liściem 2k + 2 = n – węzeł jest ostatnim węzłem wewnętrznym i posiada tylko lewego syna 2k + 2 < n – węzeł jest węzłem wewnętrznym i posiada obu synów. |
Poddrzewo (ang. subtree) jest drzewem zawartym w drzewie, gdy jako korzeń przyjmiemy jeden z węzłów. Dla danego węzła drzewa binarnego mogą istnieć dwa poddrzewa: lewe poddrzewo (ang. left subtree) – korzeniem jest lewy syn i analogicznie prawe poddrzewo (ang. right subtree) – korzeniem jest prawy syn:
Istnieje wiele różnych rozwiązań dla reprezentacji drzew binarnych w pamięci komputera. Tutaj podamy te najprostsze.
W tym przypadku drzewo możemy odwzorować w tablicy n-elementowej. Każdy element tablicy jest węzłem. Hierarchię drzewa przedstawiamy przy pomocy indeksów i ich własności dla kompletnych drzew binarnych. Korzeniem drzewa jest element o indeksie 0. Jego dwoma synami są kolejno elementy o indeksach 1 (lewy syn) i 2 (prawy syn). Postępując podobnie z pozostałymi węzłami otrzymamy całe drzewo binarne:
|
Drzewo odwzorowujemy podobnie jak listę. Każdy element jest strukturą, która oprócz danych zawiera dwa lub trzy wskaźniki:
Pascaltype PBTNode = ^BTNode; BTNode = record left : PBTNode; right : PBTNode; data : typ_danych; end; |
struct BTNode { BTNode * left; BTNode * right; typ_danych data; }; |
BasicType BTNode left As BTNode Ptr right As BTNode Ptr data As typ_danych End Type |
Pascaltype PBTNode = ^BTNode; BTNode = record up : PBTNode; left : PBTNode; right : PBTNode; data : typ_danych; end; |
struct BTNode { BTNode * up; BTNode * left; BTNode * right; typ_danych data; }; |
BasicType BTNode up As BTNode Ptr left As BTNode Ptr right As BTNode Ptr data As typ_danych End Type |
Gdzie:
up – wskazuje ojca danego węzła. Dla
korzenia pole to zawiera wskazanie puste left – wskazuje lewego syna right – wskazuje prawego syna data – dane dowolnego typu przechowywane przez węzeł |
Wskaźniki pozwalają na przemieszczanie się po węzłach w strukturze drzewa. Wskaźniki left i right umożliwiają przechodzenie w dół drzewa. Wskaźnik up prowadzi w górę do ojca danego węzła. Jeśli ten kierunek nie jest istotny, to wskaźnik może zostać pominięty (wersja uproszczona).
Drzewo dowolne może posiadać węzły o dowolnej liczbie synów. Jeśli liczba możliwych węzłów potomnych nie jest duża, to do reprezentacji takiego drzewa można wykorzystać metodę z drzewa binarnego, zwiększając odpowiednio liczbę wskaźników. Na przykład dla drzew czwórkowych (ang. quadtree) możemy zaimplementować następującą strukturę danych:
Pascaltype PQuadTreeNode = ^QuadTreeNode; QuadTreeNode = record up : PQuadTreeNode; ne : PQuadTreeNode; nw : PQuadTreeNode; se : PQuadTreeNode; sw : PQuadTreeNode; data : typ_danych; end; |
struct QuadTreeNode { QuadTreeNode * up; QuadTreeNode * ne; QuadTreeNode * nw; QuadTreeNode * se; QuadTreeNode * sw; typ_danych data; }; |
BasicType QuadTreeNode up As QuadTreeNode Ptr ne As QuadTreeNode Ptr nw As QuadTreeNode Ptr se As QuadTreeNode Ptr sw As QuadTreeNode Ptr data As typ_danych End Type |
Gdzie:
up – wskazuje ojca danego węzła. Dla
korzenia pole to zawiera wskazanie puste ne – wskazuje syna północnowschodniego nw – wskazuje syna północnozachodniego se – wskazuje syna południowowschodniego sw – wskazuje syna południowozachodniego data – dane dowolnego typu przechowywane przez węzeł |
Gdy liczba synów jest duża, to rezerwowanie w każdym węźle pól na wskaźniki przestaje być efektywne. Zamiast prostych pól możemy umieścić w każdym węźle tablicę dynamiczną o wymaganym rozmiarze, której każdy element jest wskaźnikiem do syna danego węzła. Do obsługi takiej struktury będzie potrzebna jeszcze informacja o liczbie elementów w tablicy. Dodatkowo musimy pamiętać o zwolnieniu tablic dynamicznych, gdy drzewo jest usuwane z pamięci.
Pascaltype PAnyTreeNode = ^AnyTreeNode; TAnyTreeNode = array of PAnyTreeNode; AnyTreeNode = record up : PAnyTreeNode; child : TAnyTreeNode; n : Integer; data : typ_danych; end; |
struct AnyTreeNode { AnyTreeNode * up; AnyTreeNode * child; int n; typ_danych data; }; |
BasicType AnyTreeNode up As AnyTreeNode Ptr child As AnyTreeNode Ptr n As Integer data As typ_danych End Type |
Gdzie:
up – wskazuje ojca danego węzła. Dla korzenia pole to
zawiera wskazanie puste child – wskazuje tablicę zawierającą wskazania do węzłów synów n – określa liczbę synów data – dane dowolnego typu przechowywane przez węzeł |
Alternatywnym rozwiązaniem jest zastosowanie listy jednokierunkowej, której elementy przechowują wskazania synów danego węzła. Wymaga to dołączenia do programu metod obsługi takiej listy, a najlepiej zastosowanie odpowiedniego obiektu.
Pascaltype PAnyTreeNode = ^AnyTreeNode; PslistEl = ^slistEl; slistEl = record next : PslistEl; node : PAnyTreeNode; end; AnyTreeNode = record up : PAnyTreeNode; child : PsListEl; data : typ_danych; end; |
typedef struct AnyTreeNode PAnyTreeNode; struct slistEl { slistEl * next; PAnyTreeNode * node; }; struct AnyTreeNode { AnyTreeNode * up; slistEl * child; typ_danych data; }; |
BasicType PAnyTreeNode As AnyTreeNode Type slistEl next As slistEl Ptr node As PAnyTreeNode Ptr End Type Type AnyTreeNode up As AnyTreeNode Ptr child As slistEl Ptr data As typ_danych End Type |
Zwróć uwagę, że w powyższym rozwiązaniu występują tzw. odwołania krzyżowe. Polegają one na tym, iż element jednej struktury odwołuje się do innej struktury, która z kolei odwołuje sie do tej pierwszej. Elementy listy zawierają wskazania węzłów drzewa w polu node. Z kolei węzły drzewa w polu child wskazują listę. Obie struktury odwołują się do siebie nawzajem. Konieczne jest utworzenie pomocniczego typu danych PAnyTreeNode i użycie go w definicji listy. Nie można tutaj zastosować typu AnyTreeNode, ponieważ nie jest on w tym miejscu jeszcze zdefiniowany. Natomiast typ pomocniczy PAnyTreeNode informuje kompilator, że właściwa definicja zostanie podane później w programie.
Ostatnia metoda reprezentacji dowolnych drzew wykorzystuje drzewo binarne w pewien szczególny sposób. Zasada jest następująca:
Drzewo dowolne | Drzewo binarne | Opis operacji |
---|---|---|
? | Konstruujemy drzewo binarne. | |
Korzeń drzewa dowolnego przechodzi w korzeń drzewa binarnego. | ||
Lewy syn węzła A w drzewie dowolnym staje się lewym synem węzła A w drzewie binarnym. | ||
Syn C węzła A staje się "prawym synem" węzła B w drzewie binarnym. jednakże tutaj prawi synowie są interpretowani jako bracia tego samego ojca, czyli węzła A. | ||
Syn D węzła A staje się "prawym synem" węzła C, czyli jego bratem. Zwróć uwagę, że bracia tworzą w ten sposób listę jednokierunkową za pomocą prawych dowiązań. | ||
Syn E węzła B w drzewie dowolnym staje się lewym synem węzła B w drzewie binarnym. Zwróć uwagę, że węzeł B wyczerpał już dostępne dla niego krawędzie wyjściowe, których może posiadać co najwyżej dwie. | ||
Węzły F i G dołączamy kolejno jako prawych braci węzła E. Wszystkie trzy worzą listę jednokierunkową. | ||
Węzeł H dołączamy jako lewego syna węzła C. | ||
Węzeł I dołączamy jako lewego syna węzła D. | ||
Węzeł J dołączamy jako prawego brata węzła I. Drzewo binarne zostało utworzone. |
→ |
Podana transformacja pozwala przedstawić dowolne drzewo jako drzewo binarne. Zmianie ulega tutaj interpretacja krawędzi:
Prawy syn jest bratem węzła, czyli węzłem posiadającym tego samego ojca. W strukturze wszystkich węzłów dołączonych poprzez prawe krawędzie pole up wskazuje ten sam węzeł nadrzędny. Prawostronne dowiązania tworzą listę jednokierunkową braci. Pierwszy element tej listy jest zawsze lewym synem ojca wszystkich węzłów na liście. Jeśli węzeł nie posiada prawego syna, to jest on ostatnim węzłem na liście braci.
Wynika stąd prosty wniosek – skoro każde drzewo da się sprowadzić do drzewa binarnego, to wystarczy opracować dobre metody przetwarzania drzew binarnych, aby móc przetwarzać dowolne drzewa. Dlatego właśnie drzewa binarne są tak ważne w informatyce.
Zespół Przedmiotowy Chemii-Fizyki-Informatyki w I Liceum Ogólnokształcącym im. Kazimierza Brodzińskiego w Tarnowie ul. Piłsudskiego 4 ©2024 mgr Jerzy Wałaszek |
Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email:
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.