Algorytm sortowania przez wstawianie można porównać do sposobu układania kart pobieranych z talii. Najpierw bierzemy pierwszą kartę. Następnie pobieramy kolejne, aż do wyczerpania talii. Każdą pobraną kartę porównujemy z kartami, które już trzymamy w ręce i szukamy dla niej miejsca przed pierwszą kartą starszą (młodszą w przypadku porządku malejącego). Gdy znajdziemy takie miejsce, rozsuwamy karty i nową wstawiamy na przygotowane w ten sposób miejsce (stąd pochodzi nazwa algorytmu - sortowanie przez wstawianie, ang. Insertion Sort). Jeśli nasza karta jest najstarsza (najmłodsza), to umieszczamy ją na samym końcu. Tak porządkujemy karty. A jak przenieść tę ideę do świata komputerów i zbiorów liczbowych?

Algorytm sortowania przez wstawianie będzie składał się z dwóch pętli. Pętla główna (zewnętrzna) symuluje pobieranie kart, czyli w tym wypadku elementów zbioru. Odpowiednikiem kart na ręce jest tzw. lista uporządkowana (ang. sorted list), którą sukcesywnie będziemy tworzyli na końcu zbioru (istnieje też odmiana algorytmu umieszczająca listę uporządkowaną na początku zbioru). Pętla sortująca (wewnętrzna) szuka dla pobranego elementu miejsca na liście uporządkowanej. Jeśli takie miejsce zostanie znalezione, to elementy listy są odpowiednio rozsuwane, aby tworzyć miejsce na nowy element i element wybrany przez pętlę główną trafia tam. W ten sposób lista uporządkowana rozrasta się. Jeśli na liście uporządkowanej nie ma elementu większego od wybranego, to element ten trafia na koniec listy. Sortowanie zakończymy, gdy pętla główna wybierze wszystkie elementy zbioru.

Algorytm sortowania przez wstawianie posiada klasę czasowej złożoności obliczeniowej równą O(n²). Sortowanie odbywa się w miejscu.

Wstawianie elementu na listę uporządkowaną

Najważniejszą operacją w opisywanym algorytmie sortowania jest wstawianie wybranego elementu na listę uporządkowaną. Zasady są następujące:

1. Na początku sortowania lista uporządkowana zawiera tylko jeden, ostatni element zbioru. Jednoelementowa lista jest zawsze uporządkowana.
2. Ze zbioru zawsze wybieramy element leżący tuż przed listą uporządkowaną. Element ten zapamiętujemy w zewnętrznej zmiennej. Miejsce, które zajmował, możemy potraktować jak puste.
3. Wybrany element porównujemy z kolejnymi elementami listy uporządkowanej.
4. Jeśli natrafimy na koniec listy, element wybrany wstawiamy na puste miejsce - lista rozrasta się o nowy element.
5. Jeśli element listy jest większy od wybranego, to element wybrany wstawiamy na puste miejsce - lista rozrasta się o nowy element.
6. Jeśli element listy nie jest większy od wybranego, to element listy przesuwamy na puste miejsce. Dzięki tej operacji puste miejsce wędruje na liście przed kolejny element. Kontynuujemy porównywanie, aż wystąpi sytuacja z punktu 4 lub 5.

Przykład:

Dla przykładu wstawmy wg opisanej metody pierwszy element zbioru listę uporządkowaną utworzoną z pozostałych elementów {8 4 5 6 9}. Elementy listy uporządkowanej zaznaczyliśmy kolorem zielonym. Puste miejsce zaznaczyliśmy kolorem białym:

 8  4  5  6  9 

 8 
    4  5  6  9 

    8 
    4  5  6  9 

    8 
 4 <<< 5  6  9 

       8 
 4     5  6  9 

       8 
 4  5 <<< 6  9 

          8 
 4  5     6  9 

          8 
 4  5  6 <<< 9 

             8 
 4  5  6     9 

 4  5  6  8  9 

Przykład:

Wykorzystajmy podane informacje do posortowania opisywaną metodą zbioru { 7 3 8 5 2 }.

 7  3  8  5  2 

          5 
 7  3  8     2 

             5 
 7  3  8     2 

             5 
 7  3  8  2 <<<

 7  3  8  2  5 

       8 
 7  3     2  5 

          8 
 7  3     2  5 

          8 
 7  3  2 <<< 5 

             8 
 7  3  2     5 

             8 
 7  3  2  5 <<<

 7  3  2  5  8 

    3 
 7     2  5  8 

       3 
 7     2  5  8 

       3 
 7  2 <<< 5  8 

          3 
 7  2     5  8 

 7  2  3  5  8 

 7 
    2  3  5  8 

    7 
    2  3  5  8 

    7 
 2 <<< 3  5  8 

       7 
 2     3  5  8 

       7 
 2  3 <<< 5  8 

          7 
 2  3     5  8 

          7 
 2  3  5 <<< 8 

             7 
 2  3  5     8 

 2  3  5  7  8 

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Pętlę główną rozpoczynamy od przedostatniej pozycji w zbiorze. Element na ostatniej pozycji jest zalążkiem listy uporządkowanej. Dlatego licznik pętli nr 1 przyjmuje wartość początkową j = n - 1.

Ze zbioru wybieramy element d[j] i umieszczamy go w zmiennej pomocniczej x. Miejsce zajmowane przez ten element staje się puste.

Pętlę wewnętrzną rozpoczynamy od pozycji następnej w stosunku do j. Pozycja ta zawiera pierwszy element listy uporządkowanej, która tworzona jest na końcu sortowanego zbioru. Pętlę wewnętrzną przerywamy w dwóch przypadkach - gdy licznik pętli wyjdzie poza indeks ostatniego elementu w zbiorze lub gdy element wybrany, przechowywany w zmiennej pomocniczej x, jest mniejszy lub równy bieżąco testowanemu elementowi listy uporządkowanej (dla sortowania malejącego należy zastosować w tym miejscu relację większy lub równy). W obu przypadkach na puste miejsce ma trafić zawartość zmiennej x i pętla zewnętrzna jest kontynuowana. Zauważ, iż pozycja tego miejsca w zbiorze jest równa i - 1.

Jeśli żaden z warunków przerwania pętli wewnętrznej nr 2 nie wystąpi, to przesuwamy bieżący element listy na puste miejsce i kontynuujemy pętlę wewnętrzną.

Podsumowując: pętla zewnętrzna wybiera ze zbioru kolejne elementy o indeksach od n - 1 do 1, pętla wewnętrzna szuka dla wybranych elementów miejsca wstawienia na liście uporządkowanej, po znalezieniu którego pętla zewnętrzna wstawia wybrany element na listę. Gdy pętla zewnętrzna przebiegnie wszystkie elementy o indeksach od n - 1 do 1, zbiór będzie posortowany.

Algorytm posiada klasę czasowej złożoności obliczeniowej równą O(n²). Sortowanie odbywa się w miejscu.

W celach badawczych testujemy czas wykonania algorytmu sortowania przez wstawianie w środowisku opisanym we wstępie. Program testujący jest następujący:

// Program testujący czas sortowania dla
// danego algorytmu sortującego
//--------------------------------------
// (C)2012 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// w Tarnowie
//--------------------------------------

program TestCzasuSortowania;

uses Windows;

const
  NAZWA = 'Sortowanie przez wstawianie';
  K1    = '--------------------------------------------------';
  K2    = '(C)2011/2012 I Liceum Ogolnoksztalcace  w Tarnowie';
  K3    = '------n---------tpo---------tod---------tpp---------tpk---------tnp';
  K4    = '-------------------------------------------------------------------';
  MAX_LN = 6; // określa ostatnie LN
  LN : array[1..8] of integer = (1000,2000,4000,8000,16000,32000,64000,128000);

var
  d         : array[1..128000] of real; // sortowana tablica
  n         : integer;                  // liczba elementów
  qpf,tqpc  : int64;                    // dane dla pomiaru czasu
  qpc1,qpc2 : int64;

// Tutaj umieszczamy procedurę sortującą tablicę d
//-------------------------------------------------------
function Sort : extended;
var
  i,j : integer;
  x        : real;
begin
  QueryPerformanceCounter(addr(qpc1));
  for j := n - 1 downto 1 do
  begin
    x := d[j];
    i := j + 1;
    while (i <= n) and (x > d[i]) do
    begin
      d[i - 1] := d[i];
      inc(i);
    end;
    d[i - 1] := x;
  end;
  QueryPerformanceCounter(addr(qpc2));
  Sort := (qpc2 - qpc1 - tqpc) / qpf;
end;

// Program główny
//---------------
var
  i,j,k               : integer;
  tpo,tod,tpp,tpk,tnp : extended;
  f                   : Text;
begin
  if QueryPerformanceFrequency(addr(qpf)) then
  begin
    QueryPerformanceCounter(addr(qpc1));
    QueryPerformanceCounter(addr(qpc2));
    tqpc := qpc2 - qpc1;

    assignfile(f,'wyniki.txt'); rewrite(f);

// Wydruk na ekran

    writeln('Nazwa: ',NAZWA);
    writeln(K1);
    writeln(K2);
    writeln;
    writeln(K3);

// Wydruk do pliku

    writeln(f,'Nazwa: ',NAZWA);
    writeln(f,K1);
    writeln(f,K2);
    writeln(f,'');
    writeln(f,K3);
    for i := 1 to MAX_LN do
    begin
      n := LN[i];

// Czas sortowania zbioru posortowanego

      for j := 1 to n do d[j] := j;
      tpo := Sort;

// Czas sortowania zbioru posortowanego odwrotnie

      for j := 1 to n do d[j] := n - j;
      tod := Sort;

// Czas sortowania zbioru posortowanego
// z przypadkowym elementem na początku - średnia z 10 obiegów

      tpp := 0;
      for j := 1 to 10 do
      begin
        for k := 1 to n do d[k] := k;
        d[1] := random * n + 1;
        tpp += Sort;
      end;
      tpp /= 10;

// Czas sortowania zbioru posortowanego
// z przypadkowym elementem na końcu - średnia z 10 obiegów

      tpk := 0;
      for j := 1 to 10 do
      begin
        for k := 1 to n do d[k] := k;
        d[n] := random * n + 1;
        tpk += Sort;
      end;
      tpk /= 10;

// Czas sortowania zbioru nieuporządkowanego - średnia z 10 obiegów

      tnp := 0;
      for j := 1 to 10 do
      begin
        for k := 1 to n do d[k] := random;
        tnp += Sort;
      end;
      tnp /= 10;

      writeln(n:7,tpo:12:6,tod:12:6,tpp:12:6,tpk:12:6,tnp:12:6);
      writeln(f,n:7,tpo:12:6,tod:12:6,tpp:12:6,tpk:12:6,tnp:12:6);
    end;
    writeln(K4);
    writeln(f,K4);
    writeln(f,'Koniec');
    closefile(f);
    writeln;
    writeln('Koniec. Wyniki w pliku WYNIKI.TXT');
  end
  else writeln('Na tym komputerze program testowy nie pracuje !');
  writeln;
  write('Nacisnij klawisz ENTER...'); readln;
end.

Otrzymane wyniki są następujące (dla komputera o innych parametrach wyniki mogą się różnić co do wartości czasów wykonania, dlatego w celach porównawczych proponuję uruchomić podany program na komputerze czytelnika):

Nazwa: Sortowanie przez wstawianie
--------------------------------------------------
(C)2011/2012 I Liceum Ogolnoksztalcace  w Tarnowie

------n---------tpo---------tod---------tpp---------tpk---------tnp
   1000    0.000040    0.005941    0.000060    0.000074    0.002360
   2000    0.000080    0.017525    0.000088    0.000113    0.009178
   4000    0.000159    0.069866    0.000175    0.000218    0.035947
   8000    0.000318    0.290939    0.000387    0.000382    0.141822
  16000    0.000671    1.129738    0.000790    0.000842    0.572611
  32000    0.001324    5.284645    0.001525    0.001644    2.443392
-------------------------------------------------------------------
Koniec

(Arkusz kalkulacyjny Excel do wyznaczania klasy czasowej złożoności obliczeniowej)
(Arkusz kalkulacyjny Excel do wyznaczania wzrostu prędkości sortowania)

Analizując wyniki obliczeń w arkuszu kalkulacyjnym otrzymanych czasów sortowania dla algorytmu sortowania przez wstawianie wyciągamy następujące wnioski:

Cechy Algorytmu Sortowania Przez Wstawianie
klasa złożoności obliczeniowej optymistyczna
klasa złożoności obliczeniowej typowa
klasa złożoności obliczeniowej pesymistyczna
Sortowanie w miejscu	TAK
Stabilność	TAK

Klasy złożoności obliczeniowej szacujemy następująco:

• optymistyczna - dla zbiorów uporządkowanych (z niewielką liczbą elementów nie na swoich miejscach) - na podstawie czasów t_po, t_pp, t_pk
• typowa - dla zbiorów o losowym rozkładzie elementów - na podstawie czasu t_np
• pesymistyczna - dla zbiorów posortowanych odwrotnie - na podstawie czasu t_od.
  

Własności algorytmu
Algorytm	tpo	tod	tpp	tpk	tnp
Sortowanie przez wstawianie

1. Algorytm wykorzystuje fakt posortowania zbioru. Dla zbiorów w znacznym stopniu uporządkowanych klasa czasowej złożoności obliczeniowej algorytmu jest prawie liniowa. Czas sortowania takich zbiorów jest bardzo krótki.
2. Najbardziej niekorzystnym przypadkiem jest sortowanie zbioru posortowanego odwrotnie - czas sortowania jest najdłuższy. Czas sortowania zbioru o losowym rozkładzie elementów jest o połowę krótszy.
   

Wzrost prędkości sortowania
Algorytmy	tpo	tod	tpp	tpk	tnp
Sortowanie przez wybór Sortowanie przez wstawianie	dobrze	źle	dobrze	dobrze	dobrze

3. Analiza wzrostu prędkości algorytmu sortowania przez wstawianie w stosunku do algorytmu sortowania przez wybór pokazuje, iż obecny algorytm jest dużo lepszy w przypadku zbiorów w znacznym stopniu uporządkowanych. Również zbiory o losowym rozkładzie elementów będą posortowane szybciej. Jedynie w przypadku pesymistycznym, gdy zbiór jest posortowany odwrotnie, algorytm jest wolniejszy od algorytmu sortowania przez wybór. Te cechy czynią algorytm sortowania przez wstawianie zalecanym, prostym algorytmem sortującym klasy O(n²).

1. Porównaj wzrost prędkości algorytmu sortowania przez wstawianie z algorytmem sortowania bąbelkowego w wersji nr 4. Wyciągnij odpowiednie wnioski.
2. Udowodnij, iż algorytm ma liniową klasę czasowej złożoności obliczeniowej przy sortowaniu zbiorów uporządkowanych z jednym elementem nie na swoim miejscu.
3. Wyznacz liczbę porównań przy sortowaniu n-elementowego (n > 1) zbioru uporządkowanego z wyjątkiem ostatniego elementu, który jest mniejszy od wszystkich pozostałych elementów zbioru.
4. Wyznacz liczbę przesunięć elementów listy uporządkowanej przy sortowaniu n-elementowego (n > 1) zbioru posortowanego odwrotnie.