Serwis Edukacyjny
w I-LO w Tarnowie
obrazek

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Wstecz       Dalej  

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek

©2024 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

NWD - algorytm Euklidesa

SPIS TREŚCI
Podrozdziały

Problem

Dla danych dwóch liczb naturalnych a i b należy znaleźć największą liczbę naturalną c, która dzieli bez reszty liczbę a i dzieli bez reszty liczbę b.


Liczba c o powyższej własności nosi nazwę NWD – największego wspólnego dzielnika a i b (ang. GCD –  greatest common divisor). NWD znajdujemy za pomocą znanego algorytmu Euklidesa, będącego jednym z najstarszych algorytmów, ponieważ pojawił się on w dziele Elementy napisanym przez Euklidesa około 300 p.n.e. Właściwie Euklides nie podał algorytmu dla liczb, lecz dla dwóch odcinków. Chodziło w nim o znalezienie wspólnej miary (czyli odcinka jednostkowego), która mogłaby posłużyć do  zmierzenia obu danych odcinków – wspólna miara odkłada się w  każdym z odcinków całkowitą liczbę razy.

Rozwiązanie 1

Euklides wykorzystał prosty fakt, iż NWD liczb ab dzieli również ich różnicę. Zatem od większej liczby odejmujemy w pętli mniejszą dotąd, aż obie liczby się zrównają. Wynik to NWD dwóch wyjściowych liczb.

Algorytm Euklidesa

Wejście:

a, b : liczby naturalne, których NWD poszukujemy, ab ∈ N.

Wyjście:

NWD liczb ab.

Lista kroków:

K01: Dopóki ab:
     wykonuj krok K02
K02:   Jeśli a < b,
       to      bb - a ; od większej liczby odejmujemy
       inaczej aa - b ; mniejszą aż się zrównają
K03: Pisz a              ; wtedy dowolna z nich jest NWD
K04: Zakończ

Przykładowe programy

 Uwaga:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

Program odczytuje z pierwszego wiersza dwie liczby a i b, a następnie wypisuje w następnym wierszu ich NWD. Żadna z liczb a i b nie może wynosić 0 – wtedy różnica nie zmienia większej z nich i program działa w nieskończoność. Niedogodność tę da się prosto zlikwidować –  proponuję to jako ćwiczenie dla czytelników.
Pascal
// NWD - wersja z odejmowaniem
// Data   : 12.03.2008
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//----------------------------

program prg;

var a, b : cardinal;

begin
  readln(a, b);
  while a <> b do
    if a < b then b := b - a
    else          a := a - b;
  writeln(a);
end.
C++
// NWD - wersja z odejmowaniem
// Data   : 12.03.2008
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//----------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
  unsigned int a, b;

  cin >> a >> b;
  while(a != b)
    if(a < b) b -= a; else a -= b;
  cout << a << endl;
  return 0;
}
Basic
' NWD - wersja z odejmowaniem
' Data   : 12.03.2008
' (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
'----------------------------

Dim As Uinteger a, b

Input a, b
While a <> b
  If a < b Then b -= a: Else: a -= b
Wend
Print a
End
Python (dodatek)
# NWD - wersja z odejmowaniem
# Data   : 03.02.2024
# (C)2024 mgr Jerzy Wałaszek
#----------------------------

arr = input().split(" ")
a = int(arr[0])
b = int(arr[1])
while a != b:
    if a < b: b -= a
    else: a -= b
print(a)
Wynik:
18 24
6

Algorytm Euklidesa
(C)2020 mgr Jerzy Wałaszek

a =
b =



Na początek:  podrozdziału   strony 

Rozwiązanie 2

Pierwsze rozwiązanie problemu znajdowania NWD jest złe z punktu widzenia efektywności. Wyobraźmy sobie, iż a jest równe 4 miliardy, b jest równe 2. Pętla odejmująca będzie wykonywana dotąd, aż zmienna a zrówna się ze zmienną b, czyli w tym przypadku 2 miliardy razy – trochę dużo. Tymczasem można wykorzystać operację reszty z dzielenia. Mniejszą liczbę można odjąć od większej liczby tyle razy, ile wynosi iloraz całkowity tych liczb. Po odejmowaniu pozostaje reszta z dzielenia – a Euklides właśnie zauważył, iż NWD dzieli również różnicę danych liczb, czyli:

NWD(a,b) = NWD(a mod bb)

Ponieważ reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika, wymieniamy a z b, b z a mod b. Jeśli otrzymamy wynik b = 0, to w a jest ostatni dzielnik dzielący bez reszty różnicę.

Algorytm Euklidesa

Wejście:

ab : liczby naturalne, których NWD poszukujemy, ab ∈ N.

Wyjście:

NWD liczb a i b.

Zmienne pomocnicze:

t : tymczasowo przechowuje dzielnik, t ∈ N.

Lista kroków:

K01: Dopóki b ≠ 0:
     wykonuj kroki K02…K04
K02:   tb       ; zapamiętujemy dzielnik
K03:   ba mod b ; reszta z dzielenia staje się dzielnikiem
K04:   at       ; poprzedni dzielnik staje się dzielną
K05: Pisz a        ; NWD jest ostatnią dzielną
K06: Zakończ

Przykładowe programy

 Uwaga:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

Program odczytuje z pierwszego wiersza dwie liczby a i b, a następnie wypisuje w następnym wierszu ich NWD.
Pascal
// NWD - wersja z resztą z dzielenia
// Data   : 12.03.2008
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//----------------------------------

program prg;

var a, b, t : cardinal;

begin
  readln(a, b);
  while b <> 0 do
  begin
    t := b;
    b := a mod b;
    a := t;
  end;
  writeln(a);
end.
C++
// NWD - wersja z resztą z dzielenia
// Data   : 12.03.2008
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//----------------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
  unsigned int a, b, t;

  cin >> a >> b;
  while(b)
  {
    t = b;
    b = a % b;
    a = t;
  }
  cout << a << endl;
  return 0;
}
Basic
' NWD - wersja z resztą z dzielenia
' Data   : 12.03.2008
' (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
'----------------------------------

Dim As Uinteger a, b, t

Input a, b
While b
  t = b
  b = a Mod b
  a = t
Wend
Print a
End
Python (dodatek)
# NWD - wersja z resztą z dzielenia
# Data   : 12.03.2008
# (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
#----------------------------------

arr = input().split(" ")
a = int(arr[0])
b = int(arr[1])
while b:
    t = b
    b = a % b
    a = t
print(a)
print()

Na początek:  podrozdziału   strony 

Rozwiązanie 3

Istnieje algorytm znajdowania NWD, w którym nie wykonuje się dzieleń – są one kłopotliwe dla małych procesorów, np. dla kontrolerów jednoukładowych, i zajmują stosunkowo dużo czasu procesora. Algorytm ten wykorzystuje fakt, iż wszystkie liczby są przechowywane w komputerze w postaci ciągu bitów. Operacje dzielenia z resztą zastępuje się przesunięciami bitów, które są proste w realizacji i wykonywane szybko, nawet na najprostszym sprzęcie komputerowym. W efekcie otrzymujemy około 60% przyrost szybkości wyznaczania NWD w stosunku do standardowego algorytmu Euklidesa. Opisywany algorytm nosi nazwę binarnego algorytmu NWD (ang. binary GCD algorithm).

Algorytm redukuje problem znajdowania NWD przez stosowanie poniższych równoważności:

  1. NWD(0, b) = b, ponieważ każda liczba naturalna dzieli zero, a b jest największą liczbą dzielącą b. Podobnie NWD(a, 0) = a. Natomiast NWD(0, 0) nie jest zdefiniowane.
  2. Jeśli liczby a i b są parzyste, to
    NWD(ab) = 2 × NWD(a / 2,b / 2),
    ponieważ obie posiadają wspólny podzielnik 2.
  3. Jeśli liczba a jest parzysta, a liczba b jest nieparzysta, to
    NWD(ab) = NWD(a / 2, b),
    ponieważ 2 nie jest wspólnym podzielnikiem i można go pominąć. Podobnie jest w przypadku odwrotnym, gdy a jest nieparzyste, a b jest parzyste, wtedy
    NWD(ab) = NWD(ab / 2).
  4. Jeśli obie liczby a i b są nieparzyste i a ≥ b, to
    NWD(ab) = NWD((a − b) / 2, b),
    inaczej jeśli obie są nieparzyste i a < b, to
    NWD(ab) = NWD((b - a) / 2, a).
    Takie same operacje wykonuje w pętli podstawowy algorytm Euklidesa – od większej liczby odejmuje mniejszą. Podzielenie różnicy przez 2 daje zawsze liczbę całkowitą, ponieważ odejmowane są dwie liczby nieparzyste.
  5. Kroki 3 i 4 należy powtarzać aż do otrzymania b = 0. Wtedy NWD jest równy 2k × a, gdzie k jest liczbą wspólnych czynników 2 wyeliminowanych w kroku 2. Mnożenie 2k wykonujemy przez przesunięcie bitów zmiennej a o k pozycji w lewo.

Algorytm Euklidesa

Wejście:

a, b : liczby naturalne, których NWD poszukujemy, ab ∈ Z.

Wyjście:

NWD liczb a i b.

Zmienne pomocnicze:

k : przechowuje liczbę wspólnych podzielników 2, k ∈ Z.
r : wykorzystywane do przechowywania różnicy a b, r ∈ Z.

Lista kroków:

K01: Jeśli a = 0,      ; NWD(0,b) = b
     to pisz b i zakończ
K02: Jeśli b = 0,      ; NWD(a,0) = a
     to pisz a i zakończ
K03: k ← 0 ; inicjujemy liczbę wspólnych podzielników 2
K04: Dopóki a i b są parzyste:  ; usuwamy z a i b wspólne czynniki 2,
     wykonuj kroki K05…K07      ; zapamiętując ich liczbę w k
K05:   aa shr 1;    ; przesuwamy bity a o 1 w prawo
K06:   bb shr 1     ; przesuwamy bity b o 1 w prawo
K07:   kk + 1
K08: Jeśli a = 0,      ; NWD(0,b) = b
     to ab i idź do kroku K18
K09: Dopóki a jest parzyste: ; eliminujemy podzielniki 2 z a
     wykonuj aa shr 1
K10: Dopóki b jest parzyste, ; eliminujemy podzielniki 2 z b,
     wykonuj bb shr 1 ; teraz a i b są nieparzyste
K11: Jeśli ab, to idź do kroku K16
K12: r ← (b - a) shr 1 ; NWD(a,b) = NWD((b-a)/2,a)
K13: ba             ; zamieniamy b z a
K14: ar             ; a z różnicą r
K15: Idź do kroku K17
K16: a ← (a - b) shr 1 ; NWD(a,b) = NWD((a-b)/2,b)
K17: Jeśli b ≠ 0, to idź do kroku K08
K18: Jeśli k > 0,      ; przesuwamy bity a o k pozycji
     to aa shl k    ; w lewo → mnożenie przez 2k
K19: Pisz a
K20: Zakończ

Przykładowe programy

 Uwaga:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

Program odczytuje z pierwszego wiersza dwie liczby a i b, a następnie wypisuje w następnym wierszu ich NWD.
Pascal
// NWD - wersja binarna z przesuwem bitów
// Data   : 13.03.2008
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------------------

program prg;

var a, b, k, r : cardinal;

begin
  readln(a, b);
  if(a = 0) or (b = 0) then writeln(a or b)
  else
  begin
    k := 0;
    while((a or b) and 1) = 0 do
    begin
      a := a shr 1;
      b := b shr 1;
      inc (k);
    end;
    repeat
      if a = 0 then
      begin
        a := b;
        break;
      end;
      while(a and 1) = 0 do a := a shr 1;
      while(b and 1) = 0 do b := b shr 1;
      if a < b then
      begin
        r := (b - a) shr 1;
        b := a;
        a := r;
      end
      else a := (a - b) shr 1;
    until b = 0;
    if k > 0 then a := a shl k;
    writeln(a);
  end;
end.
C++
// NWD - wersja binarna z przesuwem bitów
// Data   : 14.03.2008
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
  unsigned int a, b, k, r;

  cin >> a >> b;
  if(!a || !b) cout << (a | b) << endl;
  else
  {
    for(k = 0; !((a | b) & 1); k++)
    {
      a >>= 1;
      b >>= 1;
    }
    do
    {
      if(!a)
      {
        a = b; break;
      }
      while(!(a & 1)) a >>= 1;
      while(!(b & 1)) b >>= 1;
      if(a < b)
      {
        r = (b - a) >> 1;
        b = a;
        a = r;
      }
      else a = (a - b) >> 1;
    } while(b);
    if(k) a <<= k;
    cout << a << endl;
  }
  return 0;
}
Basic
' NWD - wersja binarna z przesuwem bitów
' Data   : 13.03.2008
' (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
'---------------------------------------

Dim As Uinteger a, b, k, r

Input a, b
if(a = 0) Or (b = 0) Then
    Print a Or b
Else
  k = 0
  while((a Or b) And 1) = 0
    a = a Shr 1
    b = b Shr 1
    k += 1
  Wend
  Do
    If a = 0 Then
      a = b
      Exit Do
    End If
    while(a And 1) = 0: a = a Shr 1: Wend
    while(b And 1) = 0: b = b Shr 1: Wend
    If a < b Then
      r = (b - a) Shr 1
      b = a
      a = r
    Else
      a = (a - b) Shr 1
    End If
  Loop Until b = 0
  If k > 0 Then a = a Shl k
  Print a
End If
End
Python (dodatek)
# NWD - wersja binarna z przesuwem bitów
# Data   : 03.02.2024
# (C)2024 mgr Jerzy Wałaszek
# ---------------------------------------

arr = input().split(" ")
a = int(arr[0])
b = int(arr[1])
if not a or not b:
    print(a | b)
else:
    k = 0
    while not ((a | b) & 1):
        a >>= 1
        b >>= 1
        k += 1
    while True:
        if not a:
            a = b
            break
        while not (a & 1): a >>= 1
        while not (b & 1): b >>= 1
        if a < b:
            r = (b - a) >> 1
            b = a
            a = r
        else:
            a = (a - b) >> 1
        if not b: break
    if k: a <<= k
    print(a)
print()

Na początek:  podrozdziału   strony 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2024 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.