Serwis Edukacyjny
w I-LO w Tarnowie
obrazek

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Wstecz       Dalej  

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek

©2024 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

Transponowanie macierzy

SPIS TREŚCI
Tematy pomocnicze
Podrozdziały

Problem

Należy transponować macierz A na B = AT.

Transponowanie macierzy prostokątnej

Operacja transponowania macierzy polega na zamianie wierszy w kolumny i kolumn w wiersze. Operację transponowania oznaczamy literką T. Ponieważ kolumny i wiersze wymieniają się wzajemnie, macierz transponowana posiada n wierszy i m kolumn.

Przykład:

  
3 6 3
1 7 2
4 2 0
3 3 1
  
    
T
 
=
  
3 1 4 3
6 7 2 3
3 2 0 1
  
   
3×4
4×3

Algorytm transponowania macierzy

Wejście:

m : liczba wierszy macierzy; m ∈ N.
n : liczba kolumn macierzy; n ∈ N.
A : macierz do transponowania o m wierszach i n kolumnach; A ∈ R.  Indeksy rozpoczynają się od wartości 1.
B : macierz wynikowa o n wierszach i m kolumnach; B ∈ R.  Indeksy rozpoczynają się od wartości 1.

Wyjście:

Macierz B = AT

Elementy pomocnicze:

iw : indeks wierszowy macierzy; iw ∈ N.  Indeks rozpoczyna się od wartości 1.
ik : indeks kolumnowy macierzy; ik ∈ N.  Indeks rozpoczyna się od wartości 1.

Lista kroków:

K01: Dla iw = 1, 2, …, m:
     wykonuj krok K02
K02:   Dla ik = 1, 2, …, n:
       wykonuj:
         B[ik, iw] ← A[iw, ik]
K04: Zakończ

Przykładowe programy

Uwaga:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.
Program generuje losowe liczby m i n (od 2 do 8). Następnie tworzy macierz Am×n oraz macierz Bn×m. Macierz A jest wypełniana losowymi liczbami z zakresu od -99 do 99, wyświetlana i transponowana w macierzy B. Na koniec program wyświetla zawartość macierzy B.
Pascal
// Transponowanie macierzy
// Data: 11.01.2010
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

program mtranspose;

type
  NInt = array of integer; // typ tablic wierszy
  MInt = array of NInt;    // typ tablicy wskaźników

var
  A, B : MInt;
  n, m, iw, ik : integer;

begin

  Randomize;

  // losujemy wymiary macierzy
  m := random(7)+2;
  n := random(7)+2;

  // tworzymy tablicę wskaźników
  SetLength(A, m);
  SetLength(B, n);

  // tworzymy tablice wierszy
  for iw := 0 to m-1 do SetLength(A[iw], n);
  for iw := 0 to n-1 do SetLength(B[iw], m);

  // wypełniamy macierz A losowymi liczbami
  for iw := 0 to m-1 do
    for ik := 0 to n-1 do
      A[iw][ik] := random(199)-99;

  // wyświetlamy macierz A
  writeln('m = ', m);
  writeln('n = ', n);
  writeln;
  writeln('Macierz A:');

  for iw := 0 to m-1 do
  begin
    for ik := 0 to n-1 do
      write(A[iw][ik]:5);
    writeln;
  end;

  // transponujemy macierz A w B
  for iw := 0 to m-1 do
    for ik := 0 to n-1 do
      B[ik][iw] := A[iw][ik];

  // wyświetlamy macierz wynikową
  writeln;
  writeln('Macierz B = A^T:');

  for iw := 0 to n-1 do
  begin
    for ik := 0 to m-1 do
      write(B[iw][ik]:5);
    writeln;
  end;

  // koniec, zwalniamy pamięć zajętą przez macierze
  for iw := 0 to m-1 do SetLength(A[iw], 0);
  for iw := 0 to n-1 do SetLength(B[iw], 0);

  SetLength(A, 0);
  SetLength(B, 0);

end.
C++
// Transponowanie macierzy
// Data: 11.01.2010
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;

int main()
{
  int **A, **B, n, m, iw, ik;

  srand(time(NULL));

  // losujemy wymiary macierzy
  m = rand()%7+2;
  n = rand()%7+2;

  // tworzymy tablicę wskaźników
  A = new int * [m];
  B = new int * [n];

  // tworzymy tablice wierszy
  for(iw = 0; iw < m; iw++)
    A[iw] = new int [n];
  for(iw = 0; iw < n; iw++)
    B[iw] = new int [m];

  // wypełniamy macierz A losowymi liczbami
  for(iw = 0; iw < m; iw++)
    for(ik = 0; ik < n; ik++)
      A[iw][ik] = rand()%199-99;

  // wyświetlamy macierz A
  cout << "m = " << m << endl
       << "n = " << n << endl << endl
       << "Macierz A:" << endl;

  for(iw = 0; iw < m; iw++)
  {
    for(ik = 0; ik < n; ik++)
      cout << setw(5) << A[iw][ik];
    cout << endl;
  }
 
  // transponujemy macierz A w B
   for(iw = 0; iw < m; iw++)
    for(ik = 0; ik < n; ik++)
      B[ik][iw] = A[iw][ik];

  // wyświetlamy macierz wynikową
  cout << endl << "Macierz B = A^T:"
       << endl;
 
  for(iw = 0; iw < n; iw++)
  {
    for(ik = 0; ik < m; ik++)
      cout << setw(5) << B[iw][ik];
    cout << endl;
  }

  // zwalniamy pamięć zajętą przez macierze
  for(iw = 0; iw < m; iw++) delete [] A[iw];
  for(iw = 0; iw < n; iw++) delete [] B[iw];
  delete [] A;
  delete [] B;

  return 0;
}
Basic
' Transponowanie macierzy
' Data: 11.01.2010
' (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
'-----------------------------

Dim As Integer n, m, iw, ik

Randomize

' losujemy wymiary macierzy
m = Int(Rnd(1)*7)+2
n = Int(Rnd(1)*7)+2

' tworzymy macierze
Dim As Integer A(1 To m, 1 To n), _
               B(1 To n, 1 To m)

' wypełniamy macierz A losowymi liczbami
For iw = 1 To m
  For ik = 1 To n
    A(iw, ik) = Int(Rnd(1)*199)-99
  Next
Next

' wyświetlamy macierz A
Print "m = ";m
Print "n = ";n
Print
Print "Macierz A:"

For iw = 1 To m
  For ik = 1 To n
    Print Using "#####";A(iw, ik);
  Next
  Print
Next

' transponujemy macierz A w B
For iw = 1 To m
  For ik = 1 To n
    B(ik, iw) = A(iw, ik)
  Next
Next

' wyświetlamy macierz wynikową
Print
Print "Macierz B = A^T:"

For iw = 1 To n
  For ik = 1 To m
    Print Using "#####";B(iw, ik);
  Next
  Print
Next

End
Python (dodatek)
# Transponowanie macierzy
# Data: 10.04.2024
# (C)2024 mgr Jerzy Wałaszek
# --------------------------

import random


# wyświetla macierz
# ------------------
def mprint(t, x):
    print(t)
    for i in x:
        for j in i:
            print("%5d" % j, end="")
        print()
    print()


# losujemy wymiary macierzy
m = random.randrange(2, 9)
n = random.randrange(2, 9)
# tworzymy macierze A i B
a = [[random.randrange(-99, 100) for j in range(n)] \
     for i in range(m)]
arr = [0] * m
b = []
for i in range(n):
    b.append(arr.copy())
# wyświetlamy macierz A
print("m =", m)
print("n =", n)
print()
mprint("Macierz A:", a)
# transponujemy macierz a w b
for iw in range(m):
    for ik in range(n):
        b[ik][iw] = a[iw][ik]
# wyświetlamy macierz wynikową
mprint("Macierz B = A^T", b)
# koniec, zwalniamy pamięć
# zajętą przez macierze
a = None
b = None
Wynik: 
m = 3
n = 5

Macierz A:
  -28   97  -82   62  -43
   16   58  -47    5  -80
  -49  -52   78  -61  -91

Macierz B = A^T
  -28   16  -49
   97   58  -52
  -82  -47   78
   62    5  -61
  -43  -80  -91

Transponowanie macierzy
(C)2020 mgr Jerzy Wałaszek

.


do podrozdziału  do strony 

Problem

Należy transponować macierz kwadratową An×n w miejscu.

Transponowanie macierzy kwadratowej

Podany powyżej algorytm transponowania macierzy wymaga dodatkowej pamięci. Jeśli macierz jest kwadratowa, to możemy transponować ją w miejscu, zamieniając miejscami elementy kolumn i wierszy. Zasada jest następująca:

Załóżmy, iż mamy transponować poniższą macierz stopnia 4:

  
 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15 16
  
   

Zwróć uwagę, iż dla macierzy kwadratowej główna przekątna pozostaje bez zmian po transponowaniu. Elementy leżące na głównej przekątnej nie musimy przemieszczać. W pierwszym kroku wymienimy zatem elementy pierwszej kolumny i pierwszego wiersza z pominięciem elementu 1, który leży właśnie na głównej przekątnej:

  
1
 
 2
 
 3
 
 4
   
5
 
 6
 
 7
 
 8
 
9
 
10
 
11
 
12
  
13
 
14
 
15
 
16
   
→
  
1
 
 5
 
 9
 
13
   
2
 
 6
 
 7
 
 8
 
3
 
10
 
11
 
12
  
4
 
14
 
15
 
16
  

Po wykonaniu tej operacji pierwsza kolumna i pierwszy wiersz macierzy są gotowe. Nie będziemy ich już zmieniać. W drugim kroku wykonujemy identyczną operację, lecz na pozostałej części macierzy, tzn. z pominięciem pierwszego wiersza i pierwszej kolumny:

  
1
 
 5
 
 9
 
13
   
2
 
 6
 
 7
 
 8
 
3
 
10
 
11
 
12
  
4
 
14
 
15
 
16
   
→
  
1
 
5
 
 9
 
13
   
2
 
6
 
10
 
14
 
3
 
7
 
11
 
12
  
4
 
8
 
15
 
16
  

W efekcie dwa pierwsze wiersze i dwie pierwsze kolumny macierzy są gotowe. Operację kontynuujemy z pozostałą częścią macierzy:

  
1
 
5
 
 9
 
13
   
2
 
6
 
10
 
14
 
3
 
7
 
11
 
12
  
4
 
8
 
15
 
16
   
→
  
1
 
5
 
 9
 
13
   
2
 
6
 
10
 
14
 
3
 
7
 
11
 
15
  
4
 
8
 
12
 
16
  

Operacja jest zakończona, ponieważ pozostała część macierzy jest już macierzą jednoelementową (zawiera tylko element 16), a transpozycja macierzy jednoelementowej jest tożsamościowa.

Algorytm transponowania macierzy kwadratowej w miejscu

Wejście:

n : stopień macierzy; n ∈ N.
A : kwadratowa macierz do transponowania stopnia n; A ∈ R. Indeksy rozpoczynają się od wartości 1.

Wyjście:

Macierz A = AT

Elementy pomocnicze:

i, j : indeksy; i, j ∈ N.

Lista kroków:

K01: Dla i = 1, 2, …, n-1:
     wykonuj krok K02
K02:   Dla j = i+1, i+2, …, n:
       wykonuj: A[i, j] ↔ A[j, i]
K03: Zakończ

Przykładowe programy

Uwaga:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.
Program generuje losowy stopień macierzy n (od 2 do 8). Następnie tworzy macierz kwadratową An×n, którą wypełnia losowymi liczbami z zakresu od -99 do 99. Macierz A zostaje wyświetlona, transponowana, po czym program wyświetla macierz wynikową A.
Pascal
// Transponowanie macierzy kwadratowej
// Data: 11.01.2010
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//-----------------------------

program mtranspose2;

type
  NInt = array of integer; // typ tablic wierszy
  MInt = array of NInt;    // typ tablicy wskaźników

var
  A : MInt;
  n, i, j, t : integer;

begin

  Randomize;

  // losujemy stopień macierzy
  n := random(7)+2;

  // tworzymy tablicę wskaźników
  SetLength(A, n);

  // tworzymy tablice wierszy
  for i := 0 to n-1 do SetLength(A[i], n);

  // wypełniamy macierz A losowymi liczbami
  for i := 0 to n-1 do
    for j := 0 to n-1 do
      A[i][j] := random(199)-99;

  // wyświetlamy macierz A
  writeln('n = ', n);
  writeln;
  writeln('Macierz A:');

  for i := 0 to n-1 do
  begin
    for j := 0 to n-1 do write(A[i][j]:5);
    writeln;
  end;

  // transponujemy macierz A
  for i := 0 to n-2 do
    for j := i+1 to n-1 do
    begin
      t := A[i][j];
      A[i][j] := A[j][i];
      A[j][i] := t;
    end;

  // wyświetlamy macierz A
  writeln;
  writeln('Macierz A^T:');

  for i := 0 to n-1 do
  begin
    for j := 0 to n-1 do write(A[i][j]:5);
    writeln;
  end;

  // koniec, zwalniamy
  // pamięć zajętą przez macierz
  for i := 0 to n-1 do SetLength(A[i], 0);

  SetLength(A, 0);

end.
C++
// Transponowanie macierzy kwadratowej
// Data: 11.01.2010
// (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
//-----------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;

main()
{
  int **A, n, i, j, t;

  srand(time(NULL));

  // losujemy stopień macierzy
  n = rand()%7+2;

  // tworzymy tablicę wskaźników
   A = new int * [n];

  // tworzymy tablice wierszy
  for(i = 0; i < n; i++)
    A[i] = new int [n];

  // wypełniamy macierz A losowymi liczbami
  for(i = 0; i < n; i++)
    for(j = 0; j < n; j++)
      A[i][j] = rand()%199-99;

  // wyświetlamy macierz A
  cout << "n = " << n << endl << endl
       << "Macierz A:" << endl;

  for(i = 0; i < n; i++)
  {
    for(j = 0; j < n; j++)
      cout << setw(5) << A[i][j];
    cout << endl;
  }
 
  // transponujemy macierz A
   for(i = 0; i < n-1; i++)
     for(j = i+1; j < n; j++)
       swap(A[i][j], A[j][i]);

  // wyświetlamy macierz A
  cout << endl << "Macierz A^T:" << endl;
 
  for(i = 0; i < n; i++)
  {
    for(j = 0; j < n; j++)
      cout << setw(5) << A[i][j];
    cout << endl;
  }

  // koniec, zwalniamy pamięć zajętą przez macierz
  for(i = 0; i < n; i++)
    delete [] A[i];
  delete [] A;
}
Basic
' Transponowanie macierzy kwadratowej
' Data: 11.01.2010
' (C)2020 mgr Jerzy Wałaszek
'-----------------------------

Dim As Integer n, m, i, j

Randomize

' losujemy stopień macierzy
n = Int(Rnd(1)*7)+2

' tworzymy macierz
Dim As Integer A(1 To n, 1 To n)

' wypełniamy macierz A losowymi liczbami
For i = 1 To n
  For j = 1 To n
    A(i, j) = Int(Rnd(1)*199)-99
  Next
Next

' wyświetlamy macierz A
Print "n = ";n
Print
Print "Macierz A:"

For i = 1 To n
  For j = 1 To n
    Print Using "#####";A(i, j);
  Next
  Print
Next

' transponujemy macierz A
For i = 1 To n-1
  For j = i+1 To n
    Swap A(i, j), A(j, i)
  Next
Next

' wyświetlamy macierz wynikową
Print
Print "Macierz A^T:"

For i = 1 To n
  For j = 1 To n
    Print Using "#####";A(i, j);
  Next
  Print
Next

End
Python (dodatek)
# Transponowanie macierzy kwadratowej
# Data: 10.04.2024
# (C)2024 mgr Jerzy Wałaszek
# --------------------------

import random


# wyświetla macierz
#------------------
def mprint(t, x):
    print(t)
    for i in x:
        for j in i:
            print("%5d" % j, end="")
        print()
    print()


# losujemy stopień macierzy
n = random.randrange(2, 9)
# tworzymy macierz A
a = [[random.randrange(-99, 100) for j in range(n)] \
    for i in range(n)]
# wyświetlamy macierz A
print("n =", n)
print()
mprint("Macierz A:", a)
# transponujemy macierz A
for i in range(n):
    for j in range(i+1, n):
        a[i][j], a[j][i] = a[j][i], a[i][j]
# wyświetlamy macierz A
mprint("Macierz A^T", a)
# zwalniamy pamięć zajętą przez macierz
a = None
Wynik: 
n = 5

Macierz A:
  -35   24   25  -72   27
    0   90  -65   82  -73
   67  -30  -27  -60  -63
  -34   12  -40   16  -97
   78   67  -78  -65  -70

Macierz A^T
  -35    0   67  -34   78
   24   90  -30   12   67
   25  -65  -27  -40  -78
  -72   82  -60   16  -65
   27  -73  -63  -97  -70

Transponowanie macierzy kwadratowej
(C)2020 mgr Jerzy Wałaszek

.


do podrozdziału  do strony 
Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki
w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2024 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.