Serwis Edukacyjny
w I-LO w Tarnowie
obrazek

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Wstecz       Dalej  

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek

©2020 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy

SPIS TREŚCI

Definicje

Macierz ( ang. matrix ) jest prostokątną tablicą liczb, np. taką jak poniżej:

  3 6 3  
  1 7 2  
  4 2 0  
  3 3 1  

Liczby zawarte w macierzy będziemy nazywali elementami ( ang. elements ). Elementy macierzy ułożone są w poziome wiersze ( ang. rows ) i w pionowe kolumny ( ang. columns ). Rozmiar macierzy ( ang. matrix size ) określony jest przez liczbę wierszy i kolumn. Zatem zapis:

A m  × n

oznacza macierz A ( macierze tradycyjnie zapisuje się wielkimi literami ) zawierającą m  wierszy i n  kolumn. Nasza przykładowa macierz posiada wymiar 4 × 3 ( 4 wiersze na 3 kolumny ). Elementy macierzy posiadają dwa indeksy określające kolejno wiersz i kolumnę, w których dany element występuje. Dla przykładowej macierzy A 4 × 3 indeksy elementów są następujące:

A 4 × 3 =
  a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3  
  a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3  
  a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3  
  a 4, 1 a 4, 2 a 4, 3  

Pierwszy indeks będziemy nazywali indeksem wierszowym ( ang. row index ). Drugi będziemy nazywali indeksem kolumnowym ( ang. column index ). Oczywiście zamiast rozpisywania całej macierzy matematycy stosują różne skróty, np. takie:

A  = [ a i, j  ] m  × n

Zapis ten oznacza, iż macierz A  składa się z elementów a i, j, których indeksy przebiegają zakresy: i  = 1, 2, ..., m  oraz j  = 1, 2, ..., n.

Przekątną główną macierzy ( ang. main diagonal ) tworzą elementy o równych indeksach wierszowych i kolumnowych, np:

A 3 × 3 =
  a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3  
  a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3  
  a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3  

Macierz nazywamy wektorem wierszowym ( ang. row vector ), jeśli składa się tylko z jednego wiersza, np.

A 1 × 4 =
  a 1 a 2 a 3 a 4  

Macierz nazywamy wektorem kolumnowym ( ang. column vector ), jeśli składa się tylko z jednej kolumny, np:

A 4 × 1 =
  a 1  
  a 2  
  a 3  
  a 4  

Macierz nazywamy kwadratową ( ang. square matrix ), jeśli posiada tyle samo wierszy co kolumn, np:

A 4 × 4 =
  a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 1, 4  
  a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 2, 4  
  a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 a 3, 4  
  a 4, 1 a 4, 2 a 4, 3 a 4, 4  

Stopień macierzy ( ang. matrix order ) kwadratowej określa liczba jej wierszy lub kolumn. Powyższa macierz jest stopnia 4.

Macierz nie będąca macierzą kwadratową jest macierzą prostokątną ( ang. rectangular matrix ).

Macierz nazywamy diagonalną ( ang. diagonal matrix ), jeśli jest macierzą kwadratową i wszystkie elementy jej głównej przekątnej są niezerowe, a pozostałe elementy mają wartość równą zero, np:

A =
  4 0 0 0  
  0 2 0 0  
  0 0 9 0  
  0 0 0 7  

Macierz nazywamy jednostkową ( ang. identity matrix ) i oznaczamy literą I, jeśli jest macierzą diagonalną, a wszystkie niezerowe elementy są równe 1, np:

I 4 =
  1 0 0 0  
  0 1 0 0  
  0 0 1 0  
  0 0 0 1  

Macierz nazywamy zerową ( ang. zero matrix lub null matrix ) i oznaczamy literą grecką Θ, jeśli wszystkie jej elementy są równe 0, np:

Θ 3 =
  0 0 0  
  0 0 0  
  0 0 0  

Macierz nazywamy trójkątną ( ang. triangular matrix ), jeśli jest macierzą kwadratową i elementy zerowe znajdują się tylko ponad główną przekątną ( macierz trójkątna dolna L  – ang. lower triangular matrix ) lub tylko pod główną przekątną ( macierz trójkątna górna U  – ang. upper triangular matrix ). Na przykład:

L =
  l 1, 1 0 0 0  
  l 2, 1 l 2, 2 0 0  
  l 3, 1 l 3, 2 l 3, 3 0  
  l 4, 1 l 4, 2 l 4, 3 l 4, 4  
  U  =
  u 1, 1 u 1, 2 u 1, 3 u 1, 4  
  0 u 2, 2 u 2, 3 u 2, 4  
  0 0 u 3, 3 u 3, 4  
  0 0 0 u 4, 4  
Na początek:  podrozdziału   strony 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2020 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.