Serwis Edukacyjny
w I-LO w Tarnowie
obrazek

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Wstecz       Dalej  

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek

©2024 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy

SPIS TREŚCI

Definicje

Macierz (ang. matrix) jest prostokątną tablicą liczb, np. taką jak poniżej:

 
3 6 3
1 7 2
4 2 0
3 3 1
 
   

Liczby zawarte w macierzy będziemy nazywali elementami (ang. elements). Elementy macierzy ułożone są w poziome wiersze (ang. rows) i w pionowe kolumny (ang. columns). Rozmiar macierzy (ang. matrix size) określony jest przez liczbę wierszy i kolumn. Zatem zapis:

Am×n

oznacza macierz A (macierze tradycyjnie zapisuje się wielkimi literami) zawierającą m wierszy i n kolumn. Nasza przykładowa macierz posiada wymiar 4  ×(4 wiersze na 3 kolumny). Elementy macierzy posiadają dwa indeksy określające kolejno wiersz i kolumnę, w których dany element występuje. Dla przykładowej macierzy A4 × 3 indeksy elementów są następujące:

A4×3 =
 
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
a4,1 a4,2 a4,3
 
   

Pierwszy indeks będziemy nazywali indeksem wierszowym (ang. row index). Drugi będziemy nazywali indeksem kolumnowym (ang. column index). Oczywiście zamiast rozpisywania całej macierzy matematycy stosują różne skróty, np. takie:

A = [ai,j]m×n

Zapis ten oznacza, iż macierz A składa się z elementów ai,j, których indeksy przebiegają zakresy: i = 1,2,…,m oraz j = 1,2,…,n.

Przekątną główną macierzy (ang. main diagonal) tworzą elementy o równych indeksach wierszowych i kolumnowych, np:

A3×3 =
 
a1,1
a1,2
a1,3
 
a2,1
a2,2
a2,3
 
a3,1
a3,2
a3,3
 

Macierz nazywamy wektorem wierszowym (ang. row vector), jeśli składa się tylko z jednego wiersza, np.

A1×4 =
 
a1 a2 a3 a4
 

Macierz nazywamy wektorem kolumnowym (ang. column vector), jeśli składa się tylko z jednej kolumny, np:

A4×1 =
 
a1
a2
a3
a4
 
   

Macierz nazywamy kwadratową (ang. square matrix), jeśli posiada tyle samo wierszy co kolumn, np:

A4×4 =
 
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4
 
   

Stopień macierzy (ang. matrix order) kwadratowej określa liczba jej wierszy lub kolumn. Powyższa macierz jest stopnia 4.

Macierz nie będąca macierzą kwadratową jest macierzą prostokątną (ang. rectangular matrix).

Macierz nazywamy diagonalną (ang. diagonal matrix), jeśli jest macierzą kwadratową i wszystkie elementy jej głównej przekątnej są niezerowe, a pozostałe elementy mają wartość równą zero, np:

A =
 
4 0 0 0
0 2 0 0
0 0 9 0
0 0 0 7
 
   

Macierz nazywamy jednostkową (ang. identity matrix) i oznaczamy literą I, jeśli jest macierzą diagonalną, a wszystkie niezerowe elementy są równe 1, np:

I4 =
 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
   

Macierz nazywamy zerową (ang. zero matrix lub null matrix) i oznaczamy literą grecką Θ, jeśli wszystkie jej elementy są równe 0, np:

Θ3 =
 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
   

Macierz nazywamy trójkątną (ang. triangular matrix), jeśli jest macierzą kwadratową i wszystkie elementy ponad główną przekątną są zerowe (macierz trójkątna dolna L – ang. lower triangular matrix) lub wszystkie elementy pod główną przekątną są zerowe (macierz trójkątna górna U – ang. upper triangular matrix). Na przykład:

L =
 
l1,1
 0
 0
 0
 
l2,1
l2,2
 0
 0
l3,1
l3,2
l3,3
 0
 
l4,1
l4,2
l4,3
l4,4
 
U =
 
u1,1
u1,2
u1,3
u1,4
 
 0
u2,2
u2,3
u2,4
 0
 0
u3,3
u3,4
 
 0
 0
 0
u4,4
 

Na początek:  podrozdziału   strony 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2024 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.