Istnieje wiele przykładów urządzeń, w których zastosowanie czystego kodu dwójkowego jest nieekonomiczne z uwagi na ciągłą konieczność przeliczania liczb pomiędzy systemami dziesiętnym i dwójkowym. Są to różnego rodzaju liczniki, kasy sklepowe, kalkulatory, wagi itp. Dla nich opracowano specjalny kod zwany systemem dziesiętnym kodowanym dwójkowo - BCD (ang. Binary Coded Decimal).

Idea kodu jest bardzo prosta - dwójkowo zapisujemy nie wartość liczby lecz jej cyfry dziesiętne. Każda cyfra dziesiętna może być przedstawiona w postaci wartości w naturalnym kodzie binarnym. Do tego celu potrzebne są 4 bity.  Kody poszczególnych cyfr przedstawiliśmy w tabelce obok.

Aby odczytać wartość liczby BCD wystarczy podzielić jej kod na grupy 4 bitowe. Każdą grupę zamieniamy zgodnie z tabelką na cyfrę dziesiętną i otrzymujemy zapis liczby w systemie dziesiętnym:

Przykład:

10000100(BCD) = 1000 0100 = 84(10) 010101110010(BCD) = 0101 0111 0010 = 572(10) 0011011110001001(BCD) = 0011 0111 1000 1001 = 3789(10)

W odwrotną stronę jest również prosto - każdą cyfrę dziesiętną zastępujemy 4 bitami z tabelki i otrzymujemy kod BCD:

72398015(10) = 0111 0010 0011 1001 1000 0000 0001 0101(BCD)

Jeśli bity liczby BCD zostaną przekonwertowane na system szesnastkowy, to otrzymane cyfry szesnastkowe odpowiadają dokładnie cyfrom dziesiętnym wartości liczby BCD. Z tej własności często korzystają programiści zapisując kod BCD właśnie w systemie szesnastkowym.

Kod BCD nie jest kodem efektywnym, ponieważ nie wykorzystuje wszystkich możliwych kombinacji bitów w słówkach kodowych - sprawdź to w tabelce. Wynika z tego oczywisty wniosek, iż niektóre słowa kodowe nie są dozwolone, gdyż nie reprezentują cyfr dziesiętnych:

Przykład:

110111111010(BCD) = 1101 1111 1010 = ???(10)

8 bitowa liczba BCD zawiera dwie cyfry dziesiętne, zatem może przyjąć wartości z zakresu od 00 do 99, co daje 100 słów kodowych. Tymczasem 8 bitów można ze sobą połączyć na 256 (2⁸) sposobów. Zatem 156 słów kodowych nie będzie wykorzystanych przez kod BCD - to więcej niż połowa? A jak sprawa ta przedstawia się dla 16 bitów, 24 bitów i 32 bitów?

Cóż, czasami za wygodę w jednej dziedzinie, musimy coś poświęcić w innej dziedzinie. Ostatecznie nadmiarowe słówka kodowe można wykorzystać do kontroli poprawności kodu BCD - jeśli otrzymamy zabronioną kombinację bitów, to od razu wiemy, że coś poszło źle.

Podchodząc do zagadnienia w sposób formalny, możemy wyprowadzić wzór, który na podstawie stanu bitów liczby BCD pozwoli nam obliczyć jej wartość dziesiętną. W tym celu rozważmy wagi pozycji 12-bitowej liczby BCD:

Waga i-tej pozycji w kodzie BCD ma wartość 10^[i/4] · 2^{i mod 4}. Wobec tego wzór na wartość n-bitowej liczby BCD jest następujący:

bn-1...b1b0 = bn-1 · 10[(n-1)/4] · 2(n-1) mod 4 + ... + b1 · 100 · 21 + b0 · 100 · 20

Wzór do najprostszych nie należy i osobiście wątpię, czy ktokolwiek chciałby go używać. Szybciej znajdziemy wartość liczby grupując bity i zamieniając je na cyfry dziesiętne.

Najmniejszą wartość liczba BCD osiągnie dla wszystkich bitów równych 0. Czyli:

min(BCD) = 0

W celu wyznaczenia górnej granicy obliczamy liczbę d pełnych cyfr dziesiętnych zakodowanych w czwórkach bitów liczby BCD. Liczbę tę znajdziemy jako część całkowitą z dzielenia n przez 4:

d = [n : 4]

Każda pozycja dziesiętna może przyjąć maksymalnie wartość 9. I tak:

dla d = 1   max(BCD) = 9 = 101 - 1 dla d = 2   max(BCD) = 99 = 102 - 1 dla d = 3   max(BCD) = 999 = 103 - 1 ...

Widzimy, że górny kres jest równy:

max(BCD) = 10d - 1 = 10[n : 4] - 1

Może się okazać, iż liczba BCD zawiera więcej bitów niż wielokrotność 4. W takim przypadku najstarsze bity (których może być 0,1,2 lub 3) tworzą maksymalnie cyfrę o wartości:

max(BCD) Reszta = (2n mod 4 - 1) · 10[n : 4]

Po zsumowaniu otrzymujemy ostatecznie:

max(BCD) Całość = max(BCD) + max(BCD) Reszta max(BCD) Całość = 10[n : 4] - 1 + (2n mod 4 - 1) · 10[n : 4] max(BCD) Całość = 10[n : 4] + (2n mod 4 - 1) · 10[n : 4] - 1 max(BCD) Całość = 10[n : 4] · (1 + 2n mod 4 - 1) - 1 max(BCD) Całość = 10[n : 4] · 2n mod 4 - 1

Przykład:

Obliczyć zakres 10-bitowych liczb zapisanych w kodzie BCD.

Z(BCD) = 10[10 : 4] · 210 mod 4 - 1 Z(BCD) = 10[2,5] · 22 - 1 Z(BCD) = 102 · 22 - 1 Z(BCD) = 100 · 4 - 1 Z(BCD) = 400 - 1 Z(BCD) = 399

Ponieważ liczby w kodzie BCD nie są naturalnymi liczbami dwójkowymi, zatem nie można nad nimi wykonywać normalnych działań arytmetycznych. Sprawdźmy:

15 + 35 0001 0101 +   0011 0101		24 -15 0010 0100 - 0001 0101
0100 1010 Wynik zły!		0000 1111 Wynik zły!

Po wykonaniu standardowej operacji nad liczbami w kodzie BCD należy sprawdzić i w razie potrzeby skorygować wynik. Dla dodawania i odejmowania korekcja będzie potrzebna wtedy, gdy dana grupa bitów reprezentujących cyfrę dziesiętną ma wartość większą od 9 (binarnie 1001). W takiej sytuacji do grupy tej należy dodać (dla odejmowania odjąć) wartość binarną 0110 (dziesiętnie 6). Sprawdźmy ponownie (kolorem czerwonym zaznaczyliśmy korekcję wyniku):

15 + 35 0001 0101 +   0011 0101		24 -15 0010 0100 - 0001 0101
0100 1010 + 0000 0110		0000 1111 - 0000 0110
0101 0000 Wynik = 50		0000 1001 Wynik = 9

Korekcja musi również wystąpić, gdy w trakcie dodawania wystąpiło przeniesienie (przy odejmowaniu pożyczka) do sąsiedniej grupy bitów. Np:

29 + 19 0010 1001 +   0001 1001		31 -18 0011 0001 - 0001 1000
0100 0010 + 0000 0110		0001 1001 - 0000 0110
0100 1000 Wynik = 48		0001 0011 Wynik = 13

Zadanie 1 (łatwe)

Oblicz wartość dziesiętną liczb zapisanych w kodzie BCD:

100000000001(BCD) =	(10)	.
011100110101(BCD) =	(10)	.
01100100100100100011(BCD) =	(10)	.
011001010100001100100001(BCD) =	(10)	.
000110011001(BCD) =	(10)	.

Zadanie 2 (łatwe)

Przelicz podane liczby dziesiętne na ich zapis w kodzie BCD o odpowiedniej długości:

5012(10) =	(BCD)	.
386(10) =	(BCD)	.
2768133(10) =	(BCD)	.
92701(10) =	(BCD)	.
44872(10) =	(BCD)	.

Zadanie 3 (trudne)

Zaproponuj system zapisu liczb BCD ze znakiem. Określ reguły arytmetyki takich liczb.