W rozdziale opiszemy pozycyjne systemy liczbowe. Wiedza ta znakomicie ułatwi nam zrozumienie sposobu przechowywania liczb w pamięci komputerów. Na pierwszy ogień pójdzie system dziesiętny. Dlaczego? Po prostu jest on nam najbardziej znany.

Podstawę systemu dziesiętnego tworzy liczba 10. Jest to specjalna wartość charakteryzująca system pozycyjny, od której bierze on swoją nazwę: podstawa 10 - system dziesiętny.

Zapis liczby tworzymy za pomocą cyfr, czyli umownych znaków o przypisanych wartościach od 0 do 9. Ilość cyfr jest zawsze równa podstawie systemu, czyli w systemie dziesiętnym będzie ich dziesięć. Największa cyfra jest o 1 mniejsza od podstawy (9 = 10 - 1).

Cyfry umieszczamy na kolejnych pozycjach. Każda pozycja posiada swoją wartość, którą nazywamy wagą pozycji. Wagi pozycji są kolejnymi potęgami podstawy systemu, czyli w systemie dziesiętnym są to kolejne potęgi liczby 10:

Cyfra na danej pozycji określa ile razy należy wziąć wagę tej pozycji przy wyznaczaniu wartości całej liczby. Zatem w naszym przykładzie waga 1000 występuje 7 razy, waga 100 - 5 razy, waga 10 - 8 razy i waga 1 - 2 razy. Wartość liczby otrzymujemy sumując iloczyny cyfr przez wagi pozycji, na których cyfry te występują (czyli ilości tych wag):

Jeśli pozycje ponumerujemy kolejno od 0 poczynając od prawej strony zapisu liczby, to waga pozycji i-tej będzie i-tą potęgą podstawy systemu. Np. pozycja nr 3 ma wagę 10³, czyli 1000, a pozycja nr 2 ma wagę 10², czyli 100.

Podane powyżej zasady obowiązują w każdym systemie pozycyjnym.

Z matematycznego punktu widzenia system dziesiętny nie jest wyróżnionym systemem zapisu liczb. Stosowany jest zapewne z uwagi na posiadanie dziesięciu palców, które w początkowym etapie nauki pełnią rolę swoistego komputera. Z drugiej strony dzieci uczą się liczb zapisywanych właśnie w tym systemie, dlatego zwykle pod pojęciem liczby rozumiemy jej zapis dziesiętny.

Aby zrozumieć inne systemy pozycyjne należy przyjąć do wiadomości, iż wartość liczby jest niezależna od sposobu jej zapisu. Dla przykładu weźmy pojęcie DOM, które w języku niemieckim zapisuje się DAS HAUS, w angielskim THE HOUSE, a w hiszpańskim LA CASA. Zapis za każdym razem jest inny, lecz znaczenie ma to samo. Przyjmijmy do wiadomości, iż inne systemy pozycyjne, to jakby inne języki, w których daną liczbę wyraża się inaczej niż w naszym systemie dziesiętnym, ale wartość liczby pozostaje taka sama.

Podane w poprzednim rozdziale zasady obowiązują w każdym systemie pozycyjnym o dowolnej podstawie. Jeśli je zrozumiesz, systemy pozycyjne przestaną być dla ciebie tajemnicą.

Oto charakterystyka dowolnego systemu pozycyjnego:

Niech podstawą będzie liczba naturalna p większa od 1 (dla p = 1 system pozycyjny degraduje się do systemu karbowego).

System posiada p cyfr: 0,1,2, ..., (p - 1). Ostatnia cyfra jest zawsze o 1 mniejsza niż podstawa p.

Kolejne wagi pozycji będą przyjmowały wartość kolejnych potęg podstawy systemu:

Wynika stąd prosty wniosek, iż waga każdej następnej pozycji jest p-razy większa od wagi poprzedniej pozycji.

Przykład:

Zwróć uwagę na ostatnią kolumnę. Wynika z niej, iż waga ostatniej pozycji w każdym systemie pozycyjnym jest taka sama i określa liczbę jednostek.

Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez wagi ich pozycji. Stąd otrzymujemy wzór na wartość liczby w dowolnym systemie pozycyjnym.

Ponieważ z doświadczenia wiem, iż uczniowie nie bardzo rozumieją ten prosty wzór, podaję krok po kroku metodę obliczania wartości liczby zapisanej w dowolnym systemie pozycyjnym.

Przykład:

Obliczyć wartość dziesiętną liczby szóstkowej 53214₍₆₎.

1. Ponad cyframi wypisujemy wagi pozycji, pamiętając, iż pozycje numerujemy od 0 z prawa na lewo. Wagi są kolejnymi potęgami podstawy systemu. Waga danej pozycji jest zawsze równa podstawie podniesionej do potęgi o wartości numeru pozycji.

2. Tworzymy sumę iloczynów cyfr przez wagi ich pozycji

3. Wyliczamy wagi kolejnych pozycji

4. Obliczamy iloczyny cyfr przez wagi pozycji

5. Sumujemy iloczyny i otrzymujemy wartość liczby

I ostatecznie piszemy 53214₍₆₎ = 7210₍₁₀₎. Jeśli operujemy liczbami zapisanymi w różnych systemach pozycyjnych, to w celu uniknięcia niejednoznaczności liczbę opatrujemy indeksem dolnym, w którym umieszczamy wartość podstawy systemu zapisu danej liczby. Powyższa równość oznacza, iż zapis szóstkowy i dziesiętny oznacza tę samą liczbę.

Podsumujmy podane dotychczas informacje w formie algorytmu.

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Liczba L będąca wartością liczby o podstawie p i zapisanej w postaci ciągu znaków s. L ∈ N + {0}

Zmienne pomocnicze i funkcje

Lista kroków

Schemat blokowy

Odczytujemy podstawę p systemu liczbowego, w którym zapisana jest liczba. Podstawa musi należeć do zakresu od 2 do 10. Następnie odczytujemy ciąg znaków s reprezentujących cyfry. W zmiennych łańcuchowych pozycje znaków są numerowane od 1 (w C++, Pythonie i JavaScript od 0) począwszy od strony lewej do prawej.

Po odczytaniu danych wejściowych inicjujemy zmienne robocze. W zmiennej w będziemy tworzyć wagi kolejnych pozycji liczonych od prawej strony zapisu liczby. Ostatnia cyfra stoi na pozycji o wadze 1, dlatego do w wprowadzamy 1. Wartość liczby będzie wyliczana w zmiennej L. Na początku zmienna ta przyjmuje wartość 0. Zmienna i będzie wskazywała pozycje kolejnych cyfr począwszy od ostatniej, a skończywszy na pierwszej. Ostatnia cyfra ma numer równy liczbie znaków w zmiennej s (w C++, Pythonie i JavaScript wartość tę należy pomniejszyć o 1!).

Rozpoczynamy pętlę iteracyjną sterowaną zmienną i, która będzie w kolejnych obiegach przyjmować wartości pozycji cyfr w zapisie liczby. W pierwszym obiegu będzie to ostatnia pozycja, w drugim przedostatnia, itd. Pętla kończy się po przetworzeniu wszystkich znaków w łańcuchu s. (W C++ i JavaScript w warunku kontynuacji pętli iteracyjnej liczbę 1 zastępujemy liczbą 0.)

W pętli wyliczamy wartość cyfry. Cyfry w zmiennej s są przechowywane w postaci kodów znakowych ASCII (American Standard Code for Information Interchange - Amerykański, Standardowy Kod do Wymiany Informacji). Kody ASCII kolejnych cyfr mają wartości:

Aby zatem otrzymać wartość cyfry na podstawie jej kodu, odejmujemy od niego kod cyfry 0. Np. dla cyfry 2 otrzymamy 50 - 48 = 2. Wynik umieszczamy w zmiennej c.

Otrzymaną wartość cyfry c przemnażamy przez bieżącą wartość pozycji w i wynik dodajemy do L.

Przechodzimy do kolejnej pozycji. Waga następnej pozycji w systemie pozycyjnym jest zawsze większa p-razy od wagi pozycji bieżącej. Dlatego w przemnażamy przez p. Zmniejszamy indeks znaku i, a następnie wracamy na początek pętli.

Po zakończeniu pętli w zmiennej L mamy wartość liczby. Wypisujemy ją i kończymy algorytm.

Na podstawie algorytmu tworzymy programy obliczające wartość liczby podanej w systemie pozycyjnym o podstawach od 2 do 10. Zwróć uwagę, iż algorytm nie sprawdza poprawności danych wprowadzonych przez użytkownika. Zastanów się nad sposobami usunięcia tej wady.

// Wyznaczanie wartości liczby zapisanej
// w systemie pozycyjnym o podstawie
// p równej od 2 do 10
//--------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//             I Liceum Ogólnokształcące
//             im. K. Brodzińskiego
//             w Tarnowie
//--------------------------------------

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

main()
{
  string s;
  unsigned p,w,L,c;
  int i;
  char z[1];
  
  cout << "Obliczanie wartosci liczby zapisanej\n"
          "w systemie pozycyjnym  o podstawie p\n"
          "------------------------------------\n"
          "(C)2005 mgr J. Walaszek  I LO Tarnow\n\n"
          "Podaj p (2..10) = ";
  cin >> p;
  cout << "\nPodaj liczbe    = ";
  getline(cin,s);
  getline(cin,s);
  w = 1; L = 0;
  for(i = s.length() - 1; i >= 0; i--)
  {
    c = s[i] - int('0');
    L += w * c;
    w *= p;
  }
  cout << "\nLiczba " << s << "(" << p << ") = " << L << "(10)"
          "\n\nNacisnij ENTER...\n";
  cin.getline(z,1);
}

// Wyznaczanie wartości liczby zapisanej
// w systemie pozycyjnym o podstawie
// p równej od 2 do 10
//--------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//             I Liceum Ogólnokształcące
//             im. K. Brodzińskiego
//             w Tarnowie
//--------------------------------------

program syspoz;

{$APPTYPE CONSOLE}

var
  s : string;
  p,w,L,i,c : cardinal;

begin
  writeln('Obliczanie wartosci liczby zapisanej');
  writeln('w systemie pozycyjnym  o podstawie p');
  writeln('------------------------------------');
  writeln('(C)2005 mgr J. Walaszek  I LO Tarnow');
  writeln;
  write('Podaj p (2..10) = '); readln(p);
  writeln;
  write('Podaj liczbe    = '); readln(s);
  writeln;
  w := 1; L := 0;
  for i := length(s) downto 1 do
  begin
    c := ord(s[i]) - ord('0');
    inc(L, w * c);
    w := w * p;
  end;
  writeln('Liczba ',s,'(',p,') = ',L,'(10)');
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz ENTER...');
  readln;
end.

' Wyznaczanie wartości liczby zapisanej
' w systemie pozycyjnym o podstawie
' p równej od 2 do 10
'--------------------------------------
' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
'             I Liceum Ogólnokształcące
'             im. K. Brodzińskiego
'             w Tarnowie
'--------------------------------------

Option Explicit On

Module Module1

 Sub Main()

    Dim s As String
    Dim p, w, L, c As UInteger
    Dim i As Integer

    Console.WriteLine("Obliczanie wartości liczby zapisanej")
    Console.WriteLine("w systemie pozycyjnym  o podstawie p")
    Console.WriteLine("------------------------------------")
    Console.WriteLine("(C)2005 mgr J. Wałaszek  I LO Tarnów")
    Console.WriteLine()
    Console.Write("Podaj p (2..10) = ") : p = Val(Console.ReadLine)
    Console.WriteLine()
    Console.Write("Podaj liczbę    = ") : s = Val(Console.ReadLine)
    Console.WriteLine()
    w = 1 : L = 0
    For i = s.Length() - 1 To 0 Step -1
      c = Asc(s.Chars(i)) - Asc("0")
      L = L + w * c
      w = w * p
    Next
    Console.WriteLine("Liczba {0}({1}) = {2}(10)", s, p, L)
    Console.WriteLine()
    Console.WriteLine("KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...")
    Console.ReadLine()

  End Sub

End Module

<html>
  <head>
  </head>
  <body>
    <div align="center">
      <form style="BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset;
                   PADDING-RIGHT: 4px;
                   BORDER-TOP: #ff9933 1px outset;
                   PADDING-LEFT: 4px;
                   PADDING-BOTTOM: 1px;
                   BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset;
                   PADDING-TOP: 1px;
                   BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset;
                   BACKGROUND-COLOR: #ffcc66"
            name="frmsyspoz">
        <h3 id="data_out" style="text-align: center">
          Obliczanie wartości liczby zapisanej<br>
          w systemie pozycyjnym o podstawie p
        </h3>
        <p style="TEXT-ALIGN: center">
          (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek&nbsp;&nbsp; I LO w Tarnowie
        </p>
        <hr>
        <div align="center">
          <table border="0" cellpadding="4"
                 style="border-collapse: collapse">
            <tr>
              <td align="right">podstawa (2...10) =</td>
              <td>
<input value="5" name="inp_p" size="20" style="text-align: right">
              </td>
            </tr>
            <tr>
              <td align="right">liczba =</td>
              <td>
<input value="23314" name="inp_s" size="20" style="text-align: right">
              </td>
            </tr>
          </table>
        </div>
        <p style="TEXT-ALIGN: center">
          <input onclick="main();"
                 type="button"
                 value="Oblicz wartość liczby"
                 name="B1">
        </p>
        <p id="out_t" style="TEXT-ALIGN: center">...</p>
      </form>

<script language=javascript>

// Wyznaczanie wartości liczby zapisanej
// w systemie pozycyjnym o podstawie
// p równej od 2 do 10
//--------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//             I Liceum Ogólnokształcące
//             im. K. Brodzińskiego
//             w Tarnowie
//--------------------------------------

function main()
{
  var s,p,w,L,c,i,t;

  p = parseInt(document.frmsyspoz.inp_p.value);
  s = document.frmsyspoz.inp_s.value;
  t = "<font color=Red><b>Złe dane</b></font>";
  if(!isNaN(p) && !(s==""))
  {
    w = 1; L = 0;
    for(i = s.length - 1; i >= 0; i--)
    {
      c = s.charCodeAt(i) - 48;
      L += c * w;
      w *= p;
    };
    t = s + "<sub>(" + p + ")</sub> = " + L + "<sub>(10)</sub>";
  };
  document.getElementById("out_t").innerHTML = t;
}
</script>
    </div>
  </body>
</html>

Zadanie 1 (proste)

Oblicz wartości podanych poniżej liczb pozycyjnych:

Zadanie 2 (proste)

Zinterpretuj zapis 1111 kolejno jako liczbę dwójkową, czwórkową, ósemkową i oblicz jej wartość dziesiętną.

Zadanie 3 (proste)

Jaką rolę spełniają cyfry w zapisie liczby?

Zadanie 4 (dosyć proste)

Dla jakiej najmniejszej wartości podstawy systemu pozycyjnego zapis 25014 ma sens jako zapis liczby.

Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 5 (dosyć proste)

W pewnym systemie pozycyjnym o podstawie p liczba o zapisie 23_(p) ma wartość dziesiętną 13₍₁₀₎. Oblicz wartość podstawy p tego systemu.

Zadanie 6 (średnio trudne)

W pewnym systemie pozycyjnym o podstawie p wartość dwucyfrowej liczby, której zapis zbudowany jest z dwóch identycznych cyfr tego systemu, jest równa dziesięciokrotnej wartości cyfry użytej w zapisie. Wyznacz podstawę tego systemu.

Zadanie 7 (średnio trudne)

Jak zmieni się zapis n-cyfrowej liczby w systemie pozycyjnym o podstawie p, jeśli jej wartość przemnożymy przez p^m, gdzie m = 1,2,3,... ?

Zadanie 8

Przeanalizuj podany w tym rozdziale algorytm i wyznacz dla n-cyfrowej liczby ilość wymaganych operacji odejmowania, dodawania i mnożenia. Wyniki zapisz w odpowiedniej tabelce. Posłużą nam one później do celów porównawczych z algorytmem Hornera.