Serwis Edukacyjny
w I-LO w Tarnowie
obrazek

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Wstecz       Dalej  

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek

©2020 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

Naturalny system dwójkowy

SPIS TREŚCI
Podrozdziały

Wartość liczby w naturalnym kodzie dwójkowym

Naturalny system dwójkowy (ang. NBS - Natural Binary System) jest najprostszym systemem pozycyjnym, w którym podstawa p = 2. System posiada dwie cyfry 0 i 1, zatem można je kodować bezpośrednio jednym bitem informacji. Wartość liczby obliczamy zgodnie ze wzorem podanym w rozdziale o systemach pozycyjnych.

Zapamiętaj:

Wartość dziesiętna liczby zapisanej w naturalnym kodzie binarnym

gdzie

b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1
n - liczba bitów w zapisie liczby

Przykład:

Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11100101(2).

11100101(2) = 1 · 27 + 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
11100101(2) = 1 · 128 + 1 · 64 + 1 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Jeśli dokładnie przyjrzysz się powyższym obliczeniom, to na pewno zauważysz, iż w systemie binarnym w celu obliczenia wartości liczby wystarczy po prostu zsumować wagi pozycji, na których cyfry przyjmują wartość 1.

Przykład:

101011(2) = 25 + 23 + 21 + 20 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43(10)

Jest to znaczne uproszczenie w stosunku do innych systemów, gdzie musimy wykonywać mnożenia cyfr przez wagi pozycji. Tutaj albo dana waga występuje w wartości liczby (cyfra 1), albo nie występuje (cyfra 0). Nie na darmo system binarny jest najprostszym systemem pozycyjnym.

Bardzo ważne dla informatyka i programisty jest nauczenie się na pamięć pierwszych szesnastu liczb binarnych:

dziesiętnie       0       1       2       3   4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
dwójkowo 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Na początek:  podrozdziału   strony 

Zakres liczby dwójkowej

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:

dla 1b mamy  1(2)  = 1(10)
dla 2b mamy  11(2)  = 2 + 1 = 3(10)
dla 3b mamy 111(2)  = 4 + 2 + 1 = 7(10)
dla 4b mamy 1111(2)  = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)
...    

Otrzymujemy kolejne liczby:

dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...
1
3
7
15

Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:

dla 1b mamy  = 21 - 1
dla 2b mamy = 22 - 1
dla 3b mamy = 23 - 1
dla 4b mamy 15  = 24 - 1
...    

Wykładnik potęgowy liczby 2 jest równy ilości bitów, zatem dla n bitów otrzymujemy wzór:

Zapamiętaj:

Zakres n bitowej liczby w naturalnym kodzie dwójkowym wynosi

Przykład:

Jaką największą liczbę dziesiętną można przedstawić przy pomocy 64 bitów?

Odp.

264 - 1 = 18446744073709551616 - 1 = 18446744073709551615
Na początek:  podrozdziału   strony 

Schemat Hornera dla liczb dwójkowych

Schemat Hornera pozwala obliczyć wartość liczby binarnej przy minimalnej ilości operacji arytmetycznych. W systemie binarnym schemat ten jest bardzo prosty:

Schemat Hornera dla systemu binarnego
Wejście: ciąg cyfr binarnych
Wyjście: W - wartość liczby reprezentowanej przez ciąg cyfr binarnych

K01: W obrazek pierwsza cyfra
K02: Dopóki są kolejne cyfry, wykonuj W ← 2 · W + kolejna cyfra
K03: Zakończ

Operację mnożenia 2 · W możemy zastąpić dodawaniem W + W. Dodawanie komputer wykonuje o wiele szybciej od mnożenia (jeszcze szybszą operacją jest przesunięcie bitów o jedną pozycję w lewo - taką operację wykonuje pojedynczy rozkaz procesora i jest ona jeszcze szybsza od dodawania!)..

Przykład:

Obliczyć schematem Hornera wartość liczby binarnej 111010111101(2)

cyfra 1: W = 1
cyfra 1: W = (1 + 1) + 1 = 3
cyfra 1: W = (3 + 3) + 1 = 7
cyfra 0: W = (7 + 7) + 0 = 14
cyfra 1: W = (14 + 14) + 1 = 29
cyfra 0: W = (29 + 29) + 0 = 58
cyfra 1: W = (58 + 58) + 1 = 117
cyfra 1: W = (117 + 117) + 1 = 235
cyfra 1: W = (235 + 235) + 1 = 471
cyfra 1: W = (471 + 471) + 1 = 943
cyfra 0: W = (943 + 943) + 0 = 1886
cyfra 1: W = (1886 + 1886) + 1 = 3773 - koniec
Na początek:  podrozdziału   strony 

Przeliczanie liczb dziesiętnych na dwójkowe

Kolejne od końca cyfry binarne zapisu liczby w systemie dwójkowym otrzymamy jako reszty z dzielenia tej liczby przez 2. Metoda ta została dokładnie opisana w rozdziale poświęconym przeliczaniu liczb dziesiętnych na zapis w innych systemach liczbowych.

Algorytm wyznaczania cyfr zapisu dwójkowego liczby
Wejście: W - wartość liczby
Wyjście: ciąg cyfr binarnych reprezentujących w systemie dwójkowym wartość W

K01: kolejna cyfra ← W mod 2, WW div 2
K02: Jeśli W > 0, to idź do kroku K01
K03: Wyprowadź otrzymane cyfry w kolejności odwrotnej do ich otrzymania
K04: Zakończ

Przykład:

Przeliczyć na system dwójkowy liczbę 582642(10).

582642 div 2 =  291321  i reszta 0
291321 div 2 =  145660  i reszta 1
145660 div 2 =  72830  i reszta 0
72830 div 2 =  36415  i reszta 0
36415 div 2 =  18207  i reszta 1
18207 div 2 =  9103  i reszta 1
9103 div 2 =  4551  i reszta 1
4551 div 2 =  2275  i reszta 1
2275 div 2 =  1137  i reszta 1
1137 div 2 =  568  i reszta 1
568 div 2 =  284  i reszta 0
284 div 2 =  142  i reszta 0
142 div 2 =  71  i reszta 0
71 div 2 =  35  i reszta 1
35 div 2 =  17  i reszta 1
17 div 2 =  8  i reszta 1
8 div 2 =  4  i reszta 0
4 div 2 =  2  i reszta 0
2 div 2 =  1  i reszta 0
1 div 2 =  0  i reszta 1 - koniec, wynik odczytujemy w kierunku z dołu do góry
582642(10) = 10001110001111110010(2)
Na początek:  podrozdziału   strony 

Programy

Program oblicza wartość liczby binarnej podanej jako ciąg cyfr. Ciekawostką jest to, iż ciąg ten nie jest ograniczony i może zawierać dowolną (w rozsądnych granicach) ilość cyfr binarnych. Wynik obliczany jest nie jako wartość liczbowa, lecz jako ciąg cyfr dziesiętnych. Dzięki temu nie jesteśmy ograniczani zakresem zmiennych całkowitych.

Wartość liczby binarnej obliczamy podanym powyżej schematem Hornera.

C++
// Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej
//----------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//                     I Liceum Ogólnokształcące
//                     im. K. Brodzińskiego
//                     w Tarnowie
//----------------------------------------------

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

main()
{
  string bs,ds;
  int i,j,c,p,s;
  char z[1];

  cout << "Obliczanie wartosci dziesietnej\n"
          "   dowolnej  liczby binarnej\n"
          "===============================\n"
          "(C)2005 mgr Jerzy Walaszek\n"
          "                I LO w Tarnowie\n\n"
          "Podaj liczbe binarna:\n\n";
  cin >> bs;
  cout << endl;
  ds = "0"; i = 0;
  while((i < bs.length()) && ((bs[i] == '0') || (bs[i] == '1')))
  {
    p = 0;          // Przeniesienie
    c = bs[i] - 48; // Cyfra binarna
    for(j = ds.length() - 1; j >= 0; j--)
    {

// Schemat Hornera

      s = 2 * (ds[j] - 48) + c + p;
      c = 0;

// Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny

      p = s / 10;

// Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym

      ds[j] = (char)((s % 10) + 48);

// Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość
// większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze

      if(!j && p) ds = (char)(p + 48) + ds;
    };

// Następna cyfra binarna

    i++;
  };
  cout << "Wartosc dziesietna liczby binarnej:\n\n"
       << ds << "\n\nNacisnij ENTER...\n";
  cin.getline(z,1);
}
Pascal
// Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej
//----------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//                     I Liceum Ogólnokształcące
//                     im. K. Brodzińskiego
//                     w Tarnowie
//----------------------------------------------

program bindec;

{$APPTYPE CONSOLE}

var
  bs,ds     : string;
  i,j,c,p,s : cardinal;

begin
  writeln('Obliczanie wartosci dziesietnej');
  writeln('   dowolnej  liczby binarnej');
  writeln('===============================');
  writeln('(C)2005 mgr Jerzy Walaszek');
  writeln('                I LO w Tarnowie');
  writeln;
  writeln('Podaj liczbe binarna:'); writeln; readln(bs);
  writeln;
  ds := '0'; i := 1;
  while (i <= length(bs)) and (bs[i] in ['0'..'1']) do
  begin
    p := 0;               // Przeniesienie
    c := ord(bs[i]) - 48; // Cyfra binarna
    for j := length(ds) downto 1 do
    begin

// Schemat Hornera

      s := 2 * (ord(ds[j]) - 48) + c + p;
      c := 0;

// Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny

      p := s div 10;

// Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym

      ds[j] := char((s mod 10) + 48);

// Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość
// większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze

      if (j = 1) and (p > 0) then ds := char(p + 48) + ds;
    end;

// Następna cyfra binarna

    inc(i);
  end;
  writeln('Wartosc dziesietna liczby binarnej:');
  writeln;
  writeln(ds);
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz Enter...'); readln;
end.
Basic
' Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej
'----------------------------------------------
' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
'                     I Liceum Ogólnokształcące
'                     im. K. Brodzińskiego
'                     w Tarnowie
'----------------------------------------------

Option Explicit On

Module Module1

  Sub Main()

    Dim bs, ds As String
    Dim i, j, c, p, s As Integer

    Console.WriteLine("Obliczanie wartości dziesiętnej")
    Console.WriteLine("   dowolnej  liczby binarnej")
    Console.WriteLine("===============================")
    Console.WriteLine("(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek")
    Console.WriteLine("                I LO w Tarnowie")
    Console.WriteLine()
    Console.WriteLine("Podaj liczbę binarną:")
    Console.WriteLine()
    bs = Console.ReadLine()
    Console.WriteLine()
    ds = "0" : i = 0
    While (i < bs.Length())
      If (bs.Chars(i) <> "0") And (bs.Chars(i) <> "1") Then Exit While
      p = 0                     ' Przeniesienie
      c = Asc(bs.Chars(i)) - 48 ' Cyfra binarna
      For j = ds.Length() - 1 To 0 Step -1

        ' Schemat Hornera

        s = 2 * (Asc(ds.Chars(j)) - 48) + c + p
        c = 0

        ' Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny

        p = s \ 10

        ' Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym

        Mid(ds, j + 1, 1) = Chr((s Mod 10) + 48)

        ' Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość
        ' większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze

        If (j = 0) And (p > 0) Then ds = Chr(p + 48) + ds
      Next

      ' Następna cyfra binarna

      i += 1
    End While
    Console.WriteLine("Wartość dziesiętna liczby binarnej:")
    Console.WriteLine()
    Console.WriteLine(ds)
    Console.WriteLine()
    Console.WriteLine("KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...")
    Console.ReadLine()

  End Sub

End Module
JavaScript
<html>
  <head>
  </head>
  <body>
    <div align="center">
<form style="BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset; PADDING-RIGHT: 4px;
             BORDER-TOP: #ff9933 1px outset; PADDING-LEFT: 4px;
             PADDING-BOTTOM: 1px; BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset;
             PADDING-TOP: 1px; BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset;
             BACKGROUND-COLOR: #ffcc66" name="frmbindec">
  <h3 id="data_out" style="text-align: center">
    Obliczanie wartości dziesiętnej<br>
    dowolnej liczby binarnej</h3>
  <p style="TEXT-ALIGN: center">
    (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek&nbsp;&nbsp; I LO w Tarnowie
  </p>
  <hr>
  <div align="center">
    <table border="0" cellpadding="4" style="border-collapse: collapse">
      <tr>
        <td align="center">Wprowadź poniżej liczbę binarną</td>
      </tr>
      <tr>
        <td align="center">
<input value="111000111000111000111000111000111000111000111000"
       name="inp_bs" size="80" style="text-align: right">
        </td>
      </tr>
      <tr>
        <td align="center">
          <input onclick="main();" type="button"
                 value="Oblicz wartość dziesiętną" name="B1">
        </td>
      </tr>
    </table>
  </div>
  <p id="out_t" style="TEXT-ALIGN: center">...</p>
</form>

<script language=javascript>

// Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej
//----------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//----------------------------------------------

function main()
{
  var bs,ds,i,j,c,p,s;

  bs = document.frmbindec.inp_bs.value;
  ds = "0"; i = 0;
  while((i < bs.length) && ((bs.charAt(i) == '0') || (bs.charAt(i) == '1')))
  {
    p = 0;                     // Przeniesienie
    c = bs.charCodeAt(i) - 48; // Cyfra binarna
    for(j = ds.length - 1; j >= 0; j--)
    {

// Schemat Hornera

      s = 2 * (ds.charCodeAt(j) - 48) + c + p;
      c = 0;

// Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny

      p = Math.floor(s / 10);

// Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym

      ds = ds.substr(0,j) + String.fromCharCode((s % 10) + 48) +
           ds.substring(j + 1,ds.length);

// Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość
// większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze

      if(!j && p) ds = String.fromCharCode(p + 48) + ds;
    };

// Następna cyfra binarna

    i++;
  };
  document.getElementById("out_t").innerHTML = ds;
}

</script>
    </div>
  </body>
</html>
Wynik:
Obliczanie wartości dziesiętnej
   dowolnej  liczby binarnej
===============================
(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
                I LO w Tarnowie

Podaj liczbę binarną:

1110001011010101111101101010011111100010100010111110101010010111011111111010101

Wartość dziesiętna liczby binarnej:

535600877519892478934997

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...

Obliczanie wartości dziesiętnej
dowolnej liczby binarnej

(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek   I LO w Tarnowie
Wprowadź poniżej liczbę binarną

...

Na początek:  podrozdziału   strony 

Zadania

Zadanie 1 (łatwe)

Oblicz wartość następujących liczb binarnych:

1100000011(2) =   

.

111000111(2) =   

.

10101010101(2) =   

.

11110000(2) =   

.

11001100110011(2) =   

.

Zadanie 2 (łatwe)

Przelicz na system dwójkowy podane poniżej liczby dziesiętne:

10(10) = (2)  

.

 100(10) = (2)  

.

1000(10) = (2)  

.

10000(10) = (2)  

.

93673(10) = (2)  

.

Zadanie 3 (dosyć łatwe)

Ile razy wzrośnie zakres n-bitowych liczb binarnych, gdy liczbę bitów zwiększymy o 1, 2, 3, 4, m bitów? Odpowiedź uzasadnij.

Na początek:  podrozdziału   strony 

Zobacz dalej...

Kody binarne | Dwójkowy system stałoprzecinkowy | Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym | Operacje logiczne na bitach | Konwersje dwójkowo ósemkowe i szesnastkowe


Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2020 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.