Serwis Edukacyjny w I-LO w Tarnowie ![]() Materiały dla uczniów liceum |
Wyjście Spis treści Wstecz Dalej
Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek |
©2023 mgr Jerzy Wałaszek
|
Naturalny system dwójkowy (ang. NBS - Natural Binary System) jest najprostszym systemem pozycyjnym, w którym podstawa p = 2. System posiada dwie cyfry 0 i 1, zatem można je kodować bezpośrednio jednym bitem informacji. Wartość liczby obliczamy zgodnie ze wzorem podanym w rozdziale o systemach pozycyjnych.
Zapamiętaj:Wartość dziesiętna liczby zapisanej w naturalnym kodzie binarnym gdzie b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1 |
Przykład:
Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11100101(2).
11100101(2)
= 1 · 27
+ 1 · 26
+ 1 · 25
+ 0 · 24
+ 0 · 23
+ 1 · 22
+ 0 · 21
+ 1 · 20 11100101(2) = 1 · 128 + 1 · 64 + 1 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1 11100101(2) = 229(10) |
Jeśli dokładnie przyjrzysz się powyższym obliczeniom, to na pewno zauważysz, iż w systemie binarnym w celu obliczenia wartości liczby wystarczy po prostu zsumować wagi pozycji, na których cyfry przyjmują wartość 1.
Przykład:
101011(2) = 25 + 23 + 21 + 20 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43(10) |
Jest to znaczne uproszczenie w stosunku do innych systemów, gdzie musimy wykonywać mnożenia cyfr przez wagi pozycji. Tutaj albo dana waga występuje w wartości liczby (cyfra 1), albo nie występuje (cyfra 0). Nie na darmo system binarny jest najprostszym systemem pozycyjnym.
Bardzo ważne dla informatyka i programisty jest nauczenie się na pamięć pierwszych szesnastu liczb binarnych:
dziesiętnie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
dwójkowo | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy | 1(2) | = 1(10) |
dla 2b mamy | 11(2) | = 2 + 1 = 3(10) |
dla 3b mamy | 111(2) | = 4 + 2 + 1 = 7(10) |
dla 4b mamy | 1111(2) | = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10) |
... |
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy dla 2b mamy dla 3b mamy dla 4b mamy ... |
1 3 7 15 |
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy | 1 | = 21 - 1 |
dla 2b mamy | 3 | = 22 - 1 |
dla 3b mamy | 7 | = 23 - 1 |
dla 4b mamy | 15 | = 24 - 1 |
... |
Wykładnik potęgowy liczby 2 jest równy ilości bitów, zatem dla n bitów otrzymujemy wzór:
Zapamiętaj:Zakres n bitowej liczby w naturalnym kodzie dwójkowym wynosi |
Przykład:
Jaką największą liczbę dziesiętną można przedstawić przy pomocy 64 bitów?
Odp.
264 - 1 = 18446744073709551616 - 1 = 18446744073709551615 |
Schemat Hornera pozwala obliczyć wartość liczby binarnej przy minimalnej ilości operacji arytmetycznych. W systemie binarnym schemat ten jest bardzo prosty:
Schemat Hornera dla systemu binarnego |
---|
Wejście: ciąg cyfr binarnych
Wyjście: W - wartość liczby reprezentowanej przez ciąg cyfr binarnych K01:
W
|
Operację mnożenia 2 · W możemy zastąpić dodawaniem W + W. Dodawanie komputer wykonuje o wiele szybciej od mnożenia (jeszcze szybszą operacją jest przesunięcie bitów o jedną pozycję w lewo - taką operację wykonuje pojedynczy rozkaz procesora i jest ona jeszcze szybsza od dodawania!)..
Przykład:
Obliczyć schematem Hornera wartość liczby binarnej 111010111101(2)
cyfra 1:
W = 1 cyfra 1: W = (1 + 1) + 1 = 3 cyfra 1: W = (3 + 3) + 1 = 7 cyfra 0: W = (7 + 7) + 0 = 14 cyfra 1: W = (14 + 14) + 1 = 29 cyfra 0: W = (29 + 29) + 0 = 58 cyfra 1: W = (58 + 58) + 1 = 117 cyfra 1: W = (117 + 117) + 1 = 235 cyfra 1: W = (235 + 235) + 1 = 471 cyfra 1: W = (471 + 471) + 1 = 943 cyfra 0: W = (943 + 943) + 0 = 1886 cyfra 1: W = (1886 + 1886) + 1 = 3773 - koniec |
Kolejne od końca cyfry binarne zapisu liczby w systemie dwójkowym otrzymamy jako reszty z dzielenia tej liczby przez 2. Metoda ta została dokładnie opisana w rozdziale poświęconym przeliczaniu liczb dziesiętnych na zapis w innych systemach liczbowych.
Algorytm wyznaczania cyfr zapisu dwójkowego liczby |
---|
Wejście: W - wartość liczby
Wyjście: ciąg cyfr binarnych reprezentujących w systemie dwójkowym wartość W
K01: kolejna cyfra ←
W
mod 2, W ← W
div
2 |
Przykład:
Przeliczyć na system dwójkowy liczbę 582642(10).
582642 div 2 = | 291321 | i reszta 0 |
291321 div 2 = | 145660 | i reszta 1 |
145660 div 2 = | 72830 | i reszta 0 |
72830 div 2 = | 36415 | i reszta 0 |
36415 div 2 = | 18207 | i reszta 1 |
18207 div 2 = | 9103 | i reszta 1 |
9103 div 2 = | 4551 | i reszta 1 |
4551 div 2 = | 2275 | i reszta 1 |
2275 div 2 = | 1137 | i reszta 1 |
1137 div 2 = | 568 | i reszta 1 |
568 div 2 = | 284 | i reszta 0 |
284 div 2 = | 142 | i reszta 0 |
142 div 2 = | 71 | i reszta 0 |
71 div 2 = | 35 | i reszta 1 |
35 div 2 = | 17 | i reszta 1 |
17 div 2 = | 8 | i reszta 1 |
8 div 2 = | 4 | i reszta 0 |
4 div 2 = | 2 | i reszta 0 |
2 div 2 = | 1 | i reszta 0 |
1 div 2 = | 0 | i reszta 1 - koniec, wynik odczytujemy w kierunku z dołu do góry |
582642(10) = 10001110001111110010(2) |
Program oblicza wartość liczby binarnej podanej jako ciąg cyfr. Ciekawostką jest to, iż ciąg ten nie jest ograniczony i może zawierać dowolną (w rozsądnych granicach) ilość cyfr binarnych. Wynik obliczany jest nie jako wartość liczbowa, lecz jako ciąg cyfr dziesiętnych. Dzięki temu nie jesteśmy ograniczani zakresem zmiennych całkowitych.
Wartość liczby binarnej obliczamy podanym powyżej schematem Hornera.
C++// Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej //---------------------------------------------- // (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek // I Liceum Ogólnokształcące // im. K. Brodzińskiego // w Tarnowie //---------------------------------------------- #include <iostream> #include <string> using namespace std; main() { string bs,ds; int i,j,c,p,s; char z[1]; cout << "Obliczanie wartosci dziesietnej\n" " dowolnej liczby binarnej\n" "===============================\n" "(C)2005 mgr Jerzy Walaszek\n" " I LO w Tarnowie\n\n" "Podaj liczbe binarna:\n\n"; cin >> bs; cout << endl; ds = "0"; i = 0; while((i < bs.length()) && ((bs[i] == '0') || (bs[i] == '1'))) { p = 0; // Przeniesienie c = bs[i] - 48; // Cyfra binarna for(j = ds.length() - 1; j >= 0; j--) { // Schemat Hornera s = 2 * (ds[j] - 48) + c + p; c = 0; // Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny p = s / 10; // Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym ds[j] = (char)((s % 10) + 48); // Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość // większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze if(!j && p) ds = (char)(p + 48) + ds; }; // Następna cyfra binarna i++; }; cout << "Wartosc dziesietna liczby binarnej:\n\n" << ds << "\n\nNacisnij ENTER...\n"; cin.getline(z,1); } |
Pascal// Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej //---------------------------------------------- // (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek // I Liceum Ogólnokształcące // im. K. Brodzińskiego // w Tarnowie //---------------------------------------------- program bindec; {$APPTYPE CONSOLE} var bs,ds : string; i,j,c,p,s : cardinal; begin writeln('Obliczanie wartosci dziesietnej'); writeln(' dowolnej liczby binarnej'); writeln('==============================='); writeln('(C)2005 mgr Jerzy Walaszek'); writeln(' I LO w Tarnowie'); writeln; writeln('Podaj liczbe binarna:'); writeln; readln(bs); writeln; ds := '0'; i := 1; while (i <= length(bs)) and (bs[i] in ['0'..'1']) do begin p := 0; // Przeniesienie c := ord(bs[i]) - 48; // Cyfra binarna for j := length(ds) downto 1 do begin // Schemat Hornera s := 2 * (ord(ds[j]) - 48) + c + p; c := 0; // Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny p := s div 10; // Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym ds[j] := char((s mod 10) + 48); // Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość // większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze if (j = 1) and (p > 0) then ds := char(p + 48) + ds; end; // Następna cyfra binarna inc(i); end; writeln('Wartosc dziesietna liczby binarnej:'); writeln; writeln(ds); writeln; writeln('Nacisnij klawisz Enter...'); readln; end. |
Basic' Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej '---------------------------------------------- ' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek ' I Liceum Ogólnokształcące ' im. K. Brodzińskiego ' w Tarnowie '---------------------------------------------- Option Explicit On Module Module1 Sub Main() Dim bs, ds As String Dim i, j, c, p, s As Integer Console.WriteLine("Obliczanie wartości dziesiętnej") Console.WriteLine(" dowolnej liczby binarnej") Console.WriteLine("===============================") Console.WriteLine("(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek") Console.WriteLine(" I LO w Tarnowie") Console.WriteLine() Console.WriteLine("Podaj liczbę binarną:") Console.WriteLine() bs = Console.ReadLine() Console.WriteLine() ds = "0" : i = 0 While (i < bs.Length()) If (bs.Chars(i) <> "0") And (bs.Chars(i) <> "1") Then Exit While p = 0 ' Przeniesienie c = Asc(bs.Chars(i)) - 48 ' Cyfra binarna For j = ds.Length() - 1 To 0 Step -1 ' Schemat Hornera s = 2 * (Asc(ds.Chars(j)) - 48) + c + p c = 0 ' Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny p = s \ 10 ' Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym Mid(ds, j + 1, 1) = Chr((s Mod 10) + 48) ' Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość ' większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze If (j = 0) And (p > 0) Then ds = Chr(p + 48) + ds Next ' Następna cyfra binarna i += 1 End While Console.WriteLine("Wartość dziesiętna liczby binarnej:") Console.WriteLine() Console.WriteLine(ds) Console.WriteLine() Console.WriteLine("KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...") Console.ReadLine() End Sub End Module |
JavaScript<html> <head> </head> <body> <div align="center"> <form style="BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset; PADDING-RIGHT: 4px; BORDER-TOP: #ff9933 1px outset; PADDING-LEFT: 4px; PADDING-BOTTOM: 1px; BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset; PADDING-TOP: 1px; BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset; BACKGROUND-COLOR: #ffcc66" name="frmbindec"> <h3 id="data_out" style="text-align: center"> Obliczanie wartości dziesiętnej<br> dowolnej liczby binarnej</h3> <p style="TEXT-ALIGN: center"> (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie </p> <hr> <div align="center"> <table border="0" cellpadding="4" style="border-collapse: collapse"> <tr> <td align="center">Wprowadź poniżej liczbę binarną</td> </tr> <tr> <td align="center"> <input value="111000111000111000111000111000111000111000111000" name="inp_bs" size="80" style="text-align: right"> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <input onclick="main();" type="button" value="Oblicz wartość dziesiętną" name="B1"> </td> </tr> </table> </div> <p id="out_t" style="TEXT-ALIGN: center">...</p> </form> <script language=javascript> // Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej //---------------------------------------------- // (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek // I Liceum Ogólnokształcące // im. K. Brodzińskiego // w Tarnowie //---------------------------------------------- function main() { var bs,ds,i,j,c,p,s; bs = document.frmbindec.inp_bs.value; ds = "0"; i = 0; while((i < bs.length) && ((bs.charAt(i) == '0') || (bs.charAt(i) == '1'))) { p = 0; // Przeniesienie c = bs.charCodeAt(i) - 48; // Cyfra binarna for(j = ds.length - 1; j >= 0; j--) { // Schemat Hornera s = 2 * (ds.charCodeAt(j) - 48) + c + p; c = 0; // Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny p = Math.floor(s / 10); // Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym ds = ds.substr(0,j) + String.fromCharCode((s % 10) + 48) + ds.substring(j + 1,ds.length); // Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość // większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze if(!j && p) ds = String.fromCharCode(p + 48) + ds; }; // Następna cyfra binarna i++; }; document.getElementById("out_t").innerHTML = ds; } </script> </div> </body> </html> |
Wynik: |
Obliczanie wartości
dziesiętnej dowolnej liczby binarnej =============================== (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie Podaj liczbę binarną: 1110001011010101111101101010011111100010100010111110101010010111011111111010101 Wartość dziesiętna liczby binarnej: 535600877519892478934997 KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz... |
Oblicz wartość następujących liczb binarnych:
Przelicz na system dwójkowy podane poniżej liczby dziesiętne:
Ile razy wzrośnie zakres n-bitowych liczb binarnych, gdy liczbę bitów zwiększymy o 1, 2, 3, 4, m bitów? Odpowiedź uzasadnij.
Zobacz dalej...
Kody binarne | Dwójkowy system stałoprzecinkowy | Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym | Operacje logiczne na bitach | Konwersje dwójkowo ósemkowe i szesnastkowe
![]() |
Zespół Przedmiotowy Chemii-Fizyki-Informatyki w I Liceum Ogólnokształcącym im. Kazimierza Brodzińskiego w Tarnowie ul. Piłsudskiego 4 ©2023 mgr Jerzy Wałaszek |
Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.