Załóżmy, iż chcielibyśmy otrzymać kod dwójkowy, w którym zachowany byłby naturalny porządek rosnący kolejnych słów kodowych. Na przykład dla 3 bitowego kodu słowa kodowe kolejnych liczb układałyby się następująco: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Słowo kodowe 000 powinno określać liczbę najmniejszą, a słowo kodowe 111 liczbę największą. Dotychczas poznane kody liczb binarnych ze znakiem nie spełniają tego warunku:

 

Umówmy się zatem, iż wartość binarna słowa kodowego jest równa kodowanej liczbie pomniejszonej o pewną stałą zwaną nadmiarem (ang. excess lub bias). W zależności od tej stałej słowa kodowe będą oznaczały różne liczby. W poniższej tabelce zebraliśmy kilka przykładów takich kodów:

Zwróć uwagę, iż w zależności od nadmiaru możemy otrzymywać różne zakresy kodowanych liczb. Przykładowo dla przedstawionego w tabeli 3 bitowego kodu i nadmiaru 4 otrzymujemy zakres od -4 do 3. Nadmiar można tak dobrać, aby zakres w całości zawierał się po stronie liczb ujemnych lub dodatnich. Zatem kod ten jest bardzo elastyczny pod tym względem.

Do jednoznacznej definicji kodu z przesunięciem potrzebne są dwa parametry: n - ilość bitów słowa kodowego oraz bias - wartość nadmiaru. Znając je możemy jednoznacznie obliczyć wartość każdego słowa kodowego:

Przykład:

Dla kodu z nadmiarem bias = 129₍₁₀₎ oblicz wartość słowa kodowego 11111111_(BIAS=129).

11111111(BIAS=129) = 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 - 129 11111111(BIAS=129) = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 - 129 11111111(BIAS=129) = 255 - 129 11111111(BIAS=129) = 126(10).

Przykład:

Dla kodu z nadmiarem bias = 63₍₁₀₎ oblicz wartość słowa kodowego 00011111_(BIAS=63).

00011111(BIAS=63) = 24 + 23 + 22 + 21 + 20 - 63 00011111(BIAS=63) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 - 63 00011111(BIAS=63) = 31 - 63 00011111(BIAS=63) = (-32)(10).

Przykład:

Przeliczyć liczbę dziesiętną 95₍₁₀₎ na zapis w 8-bitowym kodzie z nadmiarem 129₍₁₀₎.

Obliczamy wartość dziesiętną słowa kodowego:

95 + 129 = 224

Otrzymaną wartość słowa kodowego przeliczamy na system dwójkowy:

224(10) = 11100000(2)

Wyliczone w ten sposób słówko kodowe jest reprezentacją liczby 95 w kodzie dwójkowym z nadmiarem 129:

95(10) = 11100000(BIAS=129)

Przykład:

Przeliczyć liczbę dziesiętną (-24)₍₁₀₎ na zapis w 8-bitowym kodzie z nadmiarem 129₍₁₀₎.

Obliczamy wartość dziesiętną słowa kodowego:

(-24) + 129 = 105

Otrzymaną wartość słowa kodowego przeliczamy na system dwójkowy:

105(10) = 1101001(2)

Wyliczone w ten sposób słówko kodowe uzupełniamy jednym bitem zero do długości 8 bitów otrzymując zapis liczby (-24)₍₁₀₎ w kodzie dwójkowym z nadmiarem 129:

(-24)(10) = 01101001(BIAS=129)

Słowa kodowe tworzą ciąg rosnący w naturalnym systemie binarnym. Najmniejszym co do wartości słowem kodowym jest 0...0, a największym 1...1. Zakres będzie zatem zawierał się w przedziale liczb całkowitych od wartości dziesiętnej pierwszego słowa kodowego do wartości dziesiętnej ostatniego słowa kodowego.

Zgodnie z podanym na początku wzorem obliczania wartości liczby zapisanej w kodzie dwójkowym z nadmiarem pierwsze słowo kodowe ma wartość:

min(BIAS) = 0...0(BIAS) = 0 - bias

Ostatnie słowo kodowe ma wartość:

max(BIAS) = 1...1(BIAS) = 2n - 1 - bias

Zatem:

Przykład:

4-bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 8 = 2³ posiadają zakres:

od	-bias	=	-8	= 0000(BIAS=8)
do	24 - 1 - bias	=	7	= 1111(BIAS=8)

8-bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 128 = 2⁷ posiadają zakres:

od	-bias	=	-128	= 00000000(BIAS=128)
do	28 - 1 - bias	=	127	= 11111111(BIAS=128)

16-bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 32768 = 2¹⁵ posiadają zakres:

od	-bias	=	-32768	= 0000000000000000(BIAS=32768)
do	216 - 1 - bias	=	32767	= 1111111111111111(BIAS=32768)

Dodawanie

Aby ustalić reguły dodawania liczb zapisanych w dwójkowym kodzie z nadmiarem dokonajmy prostych wyliczeń. Kod binarny liczby w zapisie z nadmiarem ma wartość:

c(BIAS) = liczba + bias

Suma dwóch kodów da nam:

c1 (BIAS) = liczba1 + bias c2 (BIAS) = liczba2 + bias c1 (BIAS) + c2 (BIAS) = (liczba1 + liczba2) + 2 x bias

Wynika stąd, iż prosta suma dwóch słów kodowych prowadzi do wyniku, który jest za duży o wartość nadmiaru. Aby zatem otrzymać słowo kodowe odpowiadające sumie liczb, należy od wyniku dodawania odjąć nadmiar:

c1+2 (BIAS) = (liczba1 + liczba2) + bias = c1 (BIAS) + c2 (BIAS) - bias

Przykład:

Wykonać operację 0011_(BIAS=7) + 1010_(BIAS=7).

	0011
+	1010
	1101
-	0111
	0110

0011(BIAS=7) + 1010(BIAS=7) = 0110(BIAS=7).

Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy poprawny wynik. W tym celu policzymy wartość wszystkich słówek kodowych:

0011(BIAS=7) = 3 - 7 = -4 1010(BIAS=7) = 10 - 7 = 3 0110(BIAS=7) = 6 - 7 = -1

-4 + 3 = -1 - wynik prawidłowy

Odejmowanie

Przy wyprowadzeniu wzoru na odejmowanie postąpimy podobnie jak dla dodawania:

c(BIAS) = liczba + bias

Różnica dwóch kodów da nam:

c1 (BIAS) = liczba1 + bias c2 (BIAS) = liczba2 + bias c1 (BIAS) - c2 (BIAS) = (liczba1 - liczba2)

Wynika stąd, iż prosta różnica dwóch słów kodowych prowadzi do wyniku, który jest za mały o wartość nadmiaru. Aby zatem otrzymać słowo kodowe odpowiadające różnicy liczb, należy do wyniku odejmowania dodać nadmiar:

c1-2 (BIAS) = (liczba1 - liczba2) + bias = c1 (BIAS) - c2 (BIAS) + bias

Przykład:

Wykonać operację 1011_(BIAS=7) - 1110_(BIAS=7).

	1011
-	1110
	11101
+	0111
	10100

1011(BIAS=7) + 1110(BIAS=7) = 0100(BIAS=7).

Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy poprawny wynik. W tym celu policzymy wartość wszystkich słówek kodowych:

1011(BIAS=7) = 11 - 7 = 4 1110(BIAS=7) = 14 - 7 = 7 0100(BIAS=7) = 4 - 7 = -3

4 - 7 = -3 - wynik prawidłowy

Zadanie 1 (łatwe)

Oblicz wartość dziesiętną podanych liczb w dwójkowym z nadmiarem:

1101(BIAS=9) =	(10)	.
1110(BIAS=8) =	(10)	.
0011(BIAS=7) =	(10)	.
1001(BIAS=6) =	(10)	.
0110(BIAS=5) =	(10)	.

Zadanie 2 (łatwe)

Przelicz podane liczby dziesiętne na ich zapis w 4-bitowym kodzie z nadmiarem:

5(10) =	(BIAS=7)	.
-5(10) =	(BIAS=9)	.
8(10) =	(BIAS=6)	.
3(10) =	(BIAS=8)	.
-4(10) =	(BIAS=5)	.

Zadanie 3 (łatwe)

Wykonaj podane działania arytmetyczne na liczbach w kodzie z nadmiarem:

0111(BIAS=8)  + 1000(BIAS=8)  =	(BIAS=8)	.
1111(BIAS=5)  + 0001(BIAS=5)  =	(BIAS=5)	.
0100(BIAS=9)  + 1011(BIAS=9)  =	(BIAS=9)	.
0011(BIAS=7)  - 1001(BIAS=7)  =	(BIAS=7)	.
1000(BIAS=6)  - 1100(BIAS=6)  =	(BIAS=6)	.

Zadanie 4 (średnie)

Mamy dane słowo kodowe w zapisie z nadmiarem, które reprezentuje pewną liczbę. Wyprowadź wzór, który pozwoli wyznaczyć słowo kodowe dla liczby przeciwnej. Określ warunki istnienia takiego słowa kodowego.

Zadanie 5 (średnie)

Co się stanie, gdy do słowa kodowego w zapisie z nadmiarem dodamy naturalny kod binarny wartości n (załóż, iż wynik mieści się w zakresie)? Czy to samo zachodzi dla operacji odejmowania w tym kodzie?