Serwis Edukacyjny w I-LO w Tarnowie ![]() Materiały dla uczniów liceum |
Wyjście Spis treści Wstecz Dalej
Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek |
©2023 mgr Jerzy Wałaszek
|
Załóżmy, iż chcielibyśmy otrzymać kod dwójkowy, w którym zachowany byłby naturalny porządek rosnący kolejnych słów kodowych. Na przykład dla 3 bitowego kodu słowa kodowe kolejnych liczb układałyby się następująco: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Słowo kodowe 000 powinno określać liczbę najmniejszą, a słowo kodowe 111 liczbę największą. Dotychczas poznane kody liczb binarnych ze znakiem nie spełniają tego warunku:
Kolejność 3 bitowych słów kodowych | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ZM | 111 (-3) |
110 (-2) |
101 (-1) |
100 0 |
000 0 |
001 1 |
010 2 |
011 3 |
U1 | 100 (-3) |
101 (-2) |
110 (-1) |
111 0 |
000 0 |
001 1 |
010 2 |
011 3 |
U2 | 100 (-4) |
101 (-3) |
110 (-2) |
111 (-1) |
000 0 |
001 1 |
010 2 |
011 3 |
Umówmy się zatem, iż wartość binarna słowa kodowego jest równa kodowanej liczbie pomniejszonej o pewną stałą zwaną nadmiarem (ang. excess lub bias). W zależności od tej stałej słowa kodowe będą oznaczały różne liczby. W poniższej tabelce zebraliśmy kilka przykładów takich kodów:
Wartości słów kodowych w systemach z nadmiarem | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
KOD | Wartości nadmiaru - bias | ||||||||
4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (-1) | (-2) | (-3) | (-4) | |
000 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
001 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
010 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
011 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
100 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
101 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
110 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
111 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
Zwróć uwagę, iż w zależności od nadmiaru możemy otrzymywać różne zakresy kodowanych liczb. Przykładowo dla przedstawionego w tabeli 3 bitowego kodu i nadmiaru 4 otrzymujemy zakres od -4 do 3. Nadmiar można tak dobrać, aby zakres w całości zawierał się po stronie liczb ujemnych lub dodatnich. Zatem kod ten jest bardzo elastyczny pod tym względem.
Do jednoznacznej definicji kodu z przesunięciem potrzebne są dwa parametry: n - ilość bitów słowa kodowego oraz bias - wartość nadmiaru. Znając je możemy jednoznacznie obliczyć wartość każdego słowa kodowego:
Zapamiętaj:Wartość dziesiętna liczby zapisanej w dwójkowym kodzie z nadmiarem gdzie b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1 |
Przykład:
Dla kodu z nadmiarem bias = 129(10) oblicz wartość słowa kodowego 11111111(BIAS=129).
11111111(BIAS=129)
= 27 + 26 + 25 + 24 + 23
+ 22 + 21 + 20 - 129 11111111(BIAS=129) = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 - 129 11111111(BIAS=129) = 255 - 129 11111111(BIAS=129) = 126(10). |
Przykład:
Dla kodu z nadmiarem bias = 63(10) oblicz wartość słowa kodowego 00011111(BIAS=63).
00011111(BIAS=63)
= 24 + 23 + 22 + 21 + 20
- 63 00011111(BIAS=63) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 - 63 00011111(BIAS=63) = 31 - 63 00011111(BIAS=63) = (-32)(10). |
Zapamiętaj:Procedura przeliczania liczby dziesiętnej na dwójkowy zapis z nadmiarem
|
Przykład:
Przeliczyć liczbę dziesiętną 95(10) na zapis w 8-bitowym kodzie z nadmiarem 129(10).
Obliczamy wartość dziesiętną słowa kodowego:
95 + 129 = 224 |
Otrzymaną wartość słowa kodowego przeliczamy na system dwójkowy:
224(10) = 11100000(2) |
Wyliczone w ten sposób słówko kodowe jest reprezentacją liczby 95 w kodzie dwójkowym z nadmiarem 129:
95(10) = 11100000(BIAS=129) |
Przykład:
Przeliczyć liczbę dziesiętną (-24)(10) na zapis w 8-bitowym kodzie z nadmiarem 129(10).
Obliczamy wartość dziesiętną słowa kodowego:
(-24) + 129 = 105 |
Otrzymaną wartość słowa kodowego przeliczamy na system dwójkowy:
105(10) = 1101001(2) |
Wyliczone w ten sposób słówko kodowe uzupełniamy jednym bitem zero do
długości 8 bitów otrzymując zapis liczby
(-24)(10) = 01101001(BIAS=129) |
Słowa kodowe tworzą ciąg rosnący w naturalnym systemie binarnym. Najmniejszym co do wartości słowem kodowym jest 0...0, a największym 1...1. Zakres będzie zatem zawierał się w przedziale liczb całkowitych od wartości dziesiętnej pierwszego słowa kodowego do wartości dziesiętnej ostatniego słowa kodowego.
Zgodnie z podanym na początku wzorem obliczania wartości liczby zapisanej w kodzie dwójkowym z nadmiarem pierwsze słowo kodowe ma wartość:
min(BIAS) = 0...0(BIAS) = 0 - bias |
Ostatnie słowo kodowe ma wartość:
max(BIAS) = 1...1(BIAS) = 2n - 1 - bias |
Zatem:
Zapamiętaj:Zakres n-bitowej liczby dwójkowej w kodzie z nadmiarem bias
Zakres może być dowolnie przesuwany na osi liczbowej poprzez zmianę odchylenia. Dzięki temu zawsze można go dopasować do bieżących potrzeb obliczeniowych |
Przykład:
4-bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 8 = 23 posiadają zakres:
od | -bias | = | -8 | = 0000(BIAS=8) |
do | 24 - 1 - bias | = | 7 | = 1111(BIAS=8) |
8-bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 128 = 27 posiadają zakres:
od | -bias | = | -128 | = 00000000(BIAS=128) |
do | 28 - 1 - bias | = | 127 | = 11111111(BIAS=128) |
16-bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 32768 = 215 posiadają zakres:
od | -bias | = | -32768 | = 0000000000000000(BIAS=32768) |
do | 216 - 1 - bias | = | 32767 | = 1111111111111111(BIAS=32768) |
Aby ustalić reguły dodawania liczb zapisanych w dwójkowym kodzie z nadmiarem dokonajmy prostych wyliczeń. Kod binarny liczby w zapisie z nadmiarem ma wartość:
c(BIAS) = liczba + bias |
Suma dwóch kodów da nam:
c1 (BIAS) = liczba1
+ bias c2 (BIAS) = liczba2 + bias c1 (BIAS) + c2 (BIAS) = (liczba1 + liczba2) + 2 x bias |
Wynika stąd, iż prosta suma dwóch słów kodowych prowadzi do wyniku, który jest za duży o wartość nadmiaru. Aby zatem otrzymać słowo kodowe odpowiadające sumie liczb, należy od wyniku dodawania odjąć nadmiar:
c1+2 (BIAS) = (liczba1 + liczba2) + bias = c1 (BIAS) + c2 (BIAS) - bias |
Przykład:
Wykonać operację
0011 | |
+ | 1010 |
1101 | |
- | 0111 |
0110 |
0011(BIAS=7) + 1010(BIAS=7) = 0110(BIAS=7). |
Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy poprawny wynik. W tym celu policzymy wartość wszystkich słówek kodowych:
0011(BIAS=7)
= 3 - 7 = -4 1010(BIAS=7) = 10 - 7 = 3 0110(BIAS=7) = 6 - 7 = -1 |
-4 + 3 = -1 - wynik prawidłowy |
Przy wyprowadzeniu wzoru na odejmowanie postąpimy podobnie jak dla dodawania:
c(BIAS) = liczba + bias |
Różnica dwóch kodów da nam:
c1 (BIAS) = liczba1
+ bias c2 (BIAS) = liczba2 + bias c1 (BIAS) - c2 (BIAS) = (liczba1 - liczba2) |
Wynika stąd, iż prosta różnica dwóch słów kodowych prowadzi do wyniku, który jest za mały o wartość nadmiaru. Aby zatem otrzymać słowo kodowe odpowiadające różnicy liczb, należy do wyniku odejmowania dodać nadmiar:
c1-2 (BIAS) = (liczba1 - liczba2) + bias = c1 (BIAS) - c2 (BIAS) + bias |
Przykład:
Wykonać operację 1011(BIAS=7) - 1110(BIAS=7).
1011 | |
- | 1110 |
11101 | |
+ | 0111 |
10100 |
1011(BIAS=7) + 1110(BIAS=7) = 0100(BIAS=7). |
Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy poprawny wynik. W tym celu policzymy wartość wszystkich słówek kodowych:
1011(BIAS=7)
= 11 - 7 = 4 1110(BIAS=7) = 14 - 7 = 7 0100(BIAS=7) = 4 - 7 = -3 |
4 - 7 = -3 - wynik prawidłowy |
Mamy dane słowo kodowe w zapisie z nadmiarem, które reprezentuje pewną liczbę. Wyprowadź wzór, który pozwoli wyznaczyć słowo kodowe dla liczby przeciwnej. Określ warunki istnienia takiego słowa kodowego.
Co się stanie, gdy do słowa kodowego w zapisie z nadmiarem dodamy naturalny kod binarny wartości n (załóż, iż wynik mieści się w zakresie)? Czy to samo zachodzi dla operacji odejmowania w tym kodzie?
Zobacz dalej...
Zapis znak-moduł - ZM | Zapis uzupełnień do 1 - U1 | Zapis uzupełnień do 2 - U2 | Podsumowanie systemów dwójkowych
![]() |
Zespół Przedmiotowy Chemii-Fizyki-Informatyki w I Liceum Ogólnokształcącym im. Kazimierza Brodzińskiego w Tarnowie ul. Piłsudskiego 4 ©2023 mgr Jerzy Wałaszek |
Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.