Opisany w poprzednim rozdziale system ZM zapisu liczb ze znakiem był koncepcyjnie prosty, lecz stwarzał poważne problemy przy wykonywaniu operacji arytmetycznych. Z drugiej strony liczba w zapisie ZM nie jest jednorodna. Bit znakowy posiada zupełnie inne znaczenie od pozostałych bitów i nie uczestniczy bezpośrednio w operacjach arytmetycznych.

Drugim podejściem do rozwiązania problemu liczb ze znakiem jest system uzupełnień do 1 zwany systemem U1 (ang. 1C - One's Complement). Format liczby U1 jest ustalony z góry - liczba zawiera określoną ilość bitów. W systemie tym wszystkie bity zapisu liczby posiadają swoje wagi (w ZM bit znaku nie posiadał wagi). Najstarszy bit jest bitem znaku i ma wagę równą (-2^n-1+1), gdzie n oznacza ilość bitów w zapisie liczby. Pozostałe bity posiadają wagi takie jak w naturalnym systemie dwójkowym.

Bit znaku przyjmuje wartość 0 dla liczb dodatnich, a dla liczb ujemnych wartość 1 (ponieważ tylko waga tej pozycji jest ujemna, to jest to jedyny sposób na otrzymanie wartości ujemnej).

Ponieważ w systemach binarnych cyfry przyjmują tylko dwie wartości 0 lub 1, można rachunek znacznie uprościć sumując jedynie te wagi, dla których cyfra zapisu liczby ma wartość 1.

W tabelce powyżej przedstawiliśmy wszystkie możliwe do utworzenia liczby w 4-bitowym kodzie U1. Zwróć uwagę, iż wartość 0 posiada dwa słowa kodowe: 0000 oraz 1111. Wynika to bezpośrednio ze wzoru obliczania wartości liczby U1. Jeśli wszystkie cyfry mają wartość 0, to żadna waga pozycji nie uczestniczy w wartości liczby i wartość ta jest równa 0.

Z kolei jeśli bit znaku jest równy 1, to jego waga wlicza się do wartości liczby. Waga bitu znakowego jest równa (-2^n-1+1). Dla 4 bitowego kodu n=4, zatem waga bitu znakowego wynosi:

Jeśli pozostałe bity liczby są ustawione na 1, to ich wagi sumują się do wartości 7. Jeśli teraz dodamy wagę bitu znakowego i wagi pozostałych bitów, otrzymamy wartość 0.

Drugą charakterystyczną cechą kodu U1 są liczby przeciwne. Zwróć uwagę, iż liczba przeciwna zawsze powstaje w kodzie U1 przez negację wszystkich bitów:

Zasada ta obowiązuje dla kodów U1 o dowolnej długości.

Jeśli liczba jest dodatnia, to najstarszy bit znakowy posiada wartość 0. Pozostałe bity służą do zapisu liczby w naturalnym kodzie binarnym:

0111(U1) = 7(10), 0001(U1) = 1(10), 01111111(U1) = 127(10)

Jeśli liczba jest ujemna, to najstarszy bit znakowy ma wartość 1. Pozostałe bity są negacjami bitów modułu wartości liczby:

1101(U1) = (-2)(10) : moduł 2(10) = 010(2) : NOT 010 = 101 1100(U1) = (-3)(10) : moduł 3(10) = 011(2) : NOT 011 = 100 1010(U1) = (-5)(10) : moduł 5(10) = 101(2) : NOT 101 = 010

Wynika stąd prosta metoda przeliczania liczby dziesiętnej na zapis U1.

Zapamiętaj: Metoda 1 - procedura wyznaczania zapisu U1 dla liczby dziesiętnej Jeśli liczba jest dodatnia, znajdujemy jej reprezentację w naturalnym kodzie binarnym i uzupełniamy bitami o wartości 0 do uzyskania zadanej liczby bitów wymaganej przez przyjęty format zapisu U1. Jeśli liczba jest ujemna, obliczamy jej moduł. Moduł przedstawiamy w naturalnym systemie dwójkowym uzupełniając go bitami o wartości 0 do długości przyjętego formatu U1. Następnie wszystkie bity zamieniamy na przeciwne i w wyniku otrzymujemy zapis U1.

Przykład:

Wyznaczyć 8-mio bitowy zapis U1 liczby dziesiętnej 76.

Liczba 76 jest dodatnia, zatem wyznaczamy jej zapis w naturalnym systemie dwójkowym:

76(10) = 1001100(2)

Otrzymaną liczbę dwójkową uzupełniamy bitami o wartości 0 do długości formatu otrzymując:

76(10) = 01001100(U1).

Przykład:

Wyznaczyć 8-mio bitowy zapis U1 liczby dziesiętnej (-113).

Liczba (-113) jest ujemna. Jej moduł wynosi 113. Wyznaczamy zapis dwójkowy modułu:

113(10) = 1110001(2)

Otrzymany zapis uzupełniamy bitami 0 do długości 8 bitów. Następnie negujemy wszystkie bity i otrzymujemy w ten sposób zapis U1 liczby -113:

-113(10) = NOT 01110001 = 10001110(U1).

Zapamiętaj: Metoda 2 - procedura wyznaczania zapisu U1 dla liczby dziesiętnej Jeśli liczba jest dodatnia, znajdujemy jej reprezentację w naturalnym kodzie binarnym i uzupełniamy bitami o wartości 0 do uzyskania zadanej liczby bitów wymaganej przez przyjęty format zapisu U1. Jeśli liczba jest ujemna, wyznaczamy wartość 2n - 1 + liczba, gdzie n oznacza liczbę bitów w przyjętym formacie U1. Wartość tę kodujemy w naturalnym systemie dwójkowym i otrzymujemy kod U1 liczby wyjściowej.

Przykład:

Wyznaczyć 8-mio bitowy zapis U1 liczby dziesiętnej (-113).

Obliczamy:

28 - 1 - 113 = 256 - 1 - 113 = 142

Otrzymany wynik kodujemy w systemie dwójkowym i otrzymujemy kod U1 liczby -113:

142(10) = 10001110(2),  czyli (-113)(10) = 10001110(U1).

Przykład:

Wyznaczyć 16 bitowy zapis U1 liczby dziesiętnej (-4521).

Obliczamy:

216 - 1 - 4521 = 65536 - 1 - 4521 = 61014

Otrzymany wynik kodujemy w systemie dwójkowym i otrzymujemy kod U1 liczby -4521:

61014(10) = 1110111001010110(2),  czyli (-4521)(10) = 1110111001010110(U1).

Liczba U1 przyjmuje wartość największą dla bitu znaku równego 0 i pozostałych bitów równych 1. Ponieważ pozostałe bity przedstawiają w tym przypadku liczbę n-1 bitową w naturalnym kodzie dwójkowym, to dla n-bitowego kodu U1 otrzymujemy:

max(U1) = 2n-1 - 1.

Najmniejszą wartość liczba U1 przyjmuje dla bitu znakowego równego 1 (waga ujemna) i pozostałych bitów równych 0. Ponieważ w tym przypadku do wagi bitu znakowego nic nie dodajemy, otrzymujemy:

216 - 1 - 4521 = 65536 - 1 - 4521 = 61014

min(U1) = -2n-1 + 1

i ostatecznie:

Przykład:

4-bitowe liczby U1 posiadają zakres:

od	-23 + 1	=	-7	= 1000(ZM)
do	23 - 1	=	7	= 0111(ZM1)

8-bitowe liczby U1 posiadają zakres:

od	-27 + 1	=	-127	= 10000000(ZM)
do	27 - 1	=	127	= 01111111(ZM1)

16 bitowe liczby U1 posiadają zakres:

od	-215 + 1	=	-32767	= 1000000000000000(ZM)
do	215 - 1	=	32767	= 0111111111111111(ZM1)

Kod U1 może również reprezentować liczby ułamkowe, jeśli dokonamy rozszerzenia cyfr na pozycje ułamkowe. W przypadku liczb dodatnich (gdy pozycja znakowa zawiera cyfrę 0) stosujemy poznane zasady wyznaczania wartości liczby.

Przykład:

0111,1101(U1) = 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 + 2-4 0111,1101(U1) = 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 0111,1101(U1) = 713/16

Jednakże przy liczbach ujemnych musimy wprowadzić drobną modyfikację w stosunku do liczb całkowitych. Kod uzupełnień do 1 ma taką własność, iż wyraz kodowy zbudowany z samych jedynek jest zawsze równy 0:

Wynika z tego, iż suma wszystkich wag liczby musi sprowadzać się do 0. Zatem waga bitu znakowego spełnia równanie:

wagaznakowa U1 = -(maxczęści całkowitej + maxczęści ułamkowej)

Załóżmy, iż nasz format U1 zbudowany jest z n bitów całkowitych i m bitów ułamkowych (zobacz tutaj).

maxczęści całkowitej = 2n-1 - 1 maxczęści ułamkowej = (2m - 1) / 2m

Stąd

wagaznakowa U1 = -(2n-1 - 1 + (2m - 1) / 2m)

gdy m = 0, wzór redukuje się do podanego wcześniej wzoru -2^n-1 + 1 dla liczb całkowitych.

Przykład:

1011,1011(U1) : n = 4; m = 4, zatem waga znakowa jest równa -(23 - 1 + (24 - 1) / 24) = -715/16

1011,1011(U1) = -715/16 + 3 + 11/16 1011,1011(U1) = -44/16

Dodawanie

Liczby U1 dodajemy zgodnie z poznanymi zasadami dodawania dwójkowego. Jednakże jeśli występuje przeniesienie poza bit znaku, to do wyniku należy dodać 1, aby otrzymać poprawny rezultat dodawania.

Przykład:

3 + 2     1       0 0 1 1 +  0 0 1 0   0 1 0 1 5

3 + (-5)     1       0 0 1 1 +  1 0 1 0   1 1 0 1 (-2)

(-4) + 3     1 1     1 0 1 1 +  0 0 1 1   1 1 1 0 (-1)

W podanych powyżej trzech przykładach przeniesienie poza bit znaku nie występuje, zatem wyniki operacji dodawania nie wymagają korekty i są poprawne.

2 + (-1) 1 1 1       0 0 1 0 +  1 1 1 0   0 0 0 0 + 0 0 0 1   0 0 0 1 1

(-1) + (-1) 1 1 1       1 1 1 0 +  1 1 1 0   1 1 0 0 + 0 0 0 1   1 1 0 1 (-2)

(-3) + 7 1 1         1 1 0 0 +  0 1 1 1   0 0 1 1 + 0 0 0 1   0 1 0 0 4

Tutaj natomiast obserwujemy sytuację, gdy pojawia się przeniesienie poza bit znakowy (zapisaliśmy je w kolorze niebieskim). W takim przypadku wynik jest o 1 za mały i wymaga korekty. Ponieważ przeniesienie łatwo wykryć a układy zwiększające liczbę binarną o 1 są nieskomplikowane, dodawanie w kodzie U1 jest dosyć prosto realizowalne sprzętowo.

Liczby U1 mogą być liczbami stałoprzecinkowymi. W przypadku dodawania takich liczb przeniesienie poza bit znaku dodawane jest do najmłodszej cyfry wyniku.

Przykład:

2 3/16 + (-3/16) 1 1 1                 0 0 1 0 , 0 0 1 1 +  1 1 1 1 , 1 1 0 0   0 0 0 1 , 1 1 1 1 +  0 0 0 0 , 0 0 0 1   0 0 1 0 , 0 0 0 0 2

Odejmowanie

Odejmowanie realizujemy za pomocą dodawania liczby przeciwnej. Liczbę przeciwną tworzymy w kodzie U1 negując wszystkie bity zapisu liczby.

Przykład:

5 - 6             0 1 0 1 -  0 1 1 0

operację 5 - 6 zastępujemy operacją 5 + (-6)

5 + (-6)       1     0 1 0 1 +  1 0 0 1   1 1 1 0 (-1)

Zadanie 1 (łatwe)

Oblicz wartość dziesiętną podanych liczb w kodzie U1:

11110000(U1) =	(10)	.
10101010(U1) =	(10)	.
01111110(U1) =	(10)	.
10000001(U1) =	(10)	.
11110111(U1) =	(10)	.

Zadanie 2 (łatwe)

Przelicz podane liczby dziesiętne na ich zapis w 8-mio bitowym kodzie U1:

100(10) =	(U1)	.
-97(10) =	(U1)	.
-125(10) =	(U1)	.
33(10) =	(U1)	.
-69(10) =	(U1)	.

Zadanie 3 (łatwe)

Wykonaj podane działania arytmetyczne na liczbach w kodzie U1:

0111(U1)  + 1001(U1)  =	(U1)	.
1011(U1)  + 1111(U1)  =	(U1)	.
0111(U1)  - 0011(U1)  =	(U1)	.
1011(U1)  - 0010(U1)  =	(U1)	.
1000(U1)  - 1001(U1)  =	(U1)	.