Serwis Edukacyjny
w I-LO w Tarnowie
obrazek

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Wstecz       Dalej  

obrazek

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek
Konsultacje: Wojciech Grodowski, mgr inż. Janusz Wałaszek

©2020 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

obrazek

Elementy

Filtry

SPIS TREŚCI
Podrozdziały

Co to filtr?

Filtr jest obwodem, który przepuszcza jedne częstotliwości sygnału, a tłumi inne:

obrazek

W ten sposób filtr może wydobyć z sygnału pożądane częstotliwości, a usunąć inne, których nie chcemy.

Sygnał sinusoidalny będziemy nazywali sygnałem prostym:

obrazek

Sygnał złożony jest sumą sygnałów prostych. Załóżmy im mamy trzy sygnały proste kolejno o częstotliwościach f, 2f i 4f. Sygnał będący ich sumą posiada następujący przebieg:

obrazek

Sygnały sinusoidalne sf, s2f i s4f nazywamy sygnałami składowymi sygnału s. Jeśli częstotliwości sygnałów składowych są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej, to nazywamy te sygnały harmonicznymi:

Sygnał sf jest pierwszą harmoniczną o częstotliwości f.
Sygnał s2f jest drugą harmoniczną o częstotliwości 2f.
Sygnał s4f jest czwartą harmoniczną o częstotliwości 4f.

Harmoniczne parzyste posiadają parzyste wielokrotności częstotliwości podstawowej: 2f, 4f, 6f, ...

Harmoniczne nieparzyste posiadają nieparzyste wielokrotności częstotliwości podstawowej: 1f, 3f, 5f, ...

Odwiedź tę witrynę:

Filtry pozwalają wzmacniać lub tłumić określone harmoniczne sygnału złożonego. Z tego powodu filtry dzielimy na kilka podstawowych rodzajów, co obrazowo przedstawione jest poniżej:

Filtr dolnoprzepustowy (ang. low-pass filter)

obrazek

Filtr dolnoprzepustowy przepuszcza składowe o częstotliwościach niższych od częstotliwości granicznej (ang. cut-off frequency), a tłumi składowe o częstotliwościach powyżej częstotliwości granicznej.

Filtr górnoprzepustowy (ang. high-pass filter)

obrazek

Filtr górnoprzepustowy przepuszcza składowe o częstotliwościach wyższych od częstotliwości granicznej, a tłumi składowe o częstotliwościach poniżej częstotliwości granicznej.

Filtr środkowoprzepustowy (ang. band-pass filter)

obrazek

Filtr środkowoprzepustowy przepuszcza składowe o częstotliwościach leżących w pobliżu częstotliwości granicznej, a tłumi składowe o częstotliwościach poniżej i powyżej częstotliwości granicznej. Filtry takie nazywamy również filtrami pasmowoprzepustowymi lub filtrami pasmowymi, ponieważ przepuszczają pewne pasmo częstotliwości, tłumiąc pozostałe.

Filtr środkowozaporowy (ang. band-stop filter)

obrazek

Filtr środkowozaporowy tłumi składowe o częstotliwościach leżących w pobliżu częstotliwości granicznej, a przepuszcza składowe o częstotliwościach poniżej i powyżej częstotliwości granicznej. Filtry takie nazywamy również filtrami pasmowozaporowy , ponieważ tłumią pewne pasmo częstotliwości, przepuszczając pozostałe.

Oprócz powyższego podziału filtrów, filtry dzielimy również w zależności od rodzaju użytych elementów lub metody filtrowania:

Filtry pasywne (ang. passive filters) są filtrami zbudowanymi tylko z elementów pasywnych takich jak oporniki, kondensatory i cewki.

Filtry aktywne (ang. active filters) oprócz elementów pasywnych (oporniki, kondensatory, cewki) posiadają również elementy aktywne (tranzystory, wzmacniacze operacyjne).

Filtry analogowe (ang. analog filters) są to filtry pasywne lub aktywne, które przetwarzają sygnały analogowe.

Filtry cyfrowe (ang. digital filters) przetwarzają sygnały cyfrowe, dyskretne.

Filtry tworzą bardzo obszerną gałąź elektroniki. Tutaj zajmiemy się tylko niektórymi typami filtrów oraz niektórymi ich parametrami. Więcej na ten temat znajdziesz w podręcznikach do elektroniki.

Aby dobrze zrozumieć poruszane tutaj zagadnienia, przeczytaj w sekcji teoretycznej rozdziały:

Na początek:  podrozdziału   strony 

Filtr dolnoprzepustowy

Rozważmy następujący obwód:

obrazek

Składa się on z opornika R oraz z kondensatora C.

Przyłóżmy do wejścia napięcie przemienne, sinusoidalne (bez harmonicznych) o pewnej częstotliwości f:

obrazek

Pod wpływem przyłożonego napięcia:

obrazek

w obwodzie popłynie prąd i(t), który wywoła spadki napięć na oporniku uR(t) i na kondensatorze uC(t):

obrazek

Napięcie wyjściowe jest równe napięciu na kondensatorze. Dla ułatwienia obliczeń załóżmy, iż z wyjścia nie jest pobierany żaden prąd.

W obwodzie prądu przemiennego kondensator posiada reaktancję pojemnościową, która jest odpowiednikiem oporności dla prądu stałego. Reaktancja kondensatora wyraża się wzorem:

obrazek

XC – reaktancja pojemnościowa kondensatora
ω – pulsacja
C – pojemność kondensatora
f – częstotliwość napięcia/prądu

Zwróć uwagę, że reaktancja pojemnościowa zależy od częstotliwości napięcia zasilającego. Dla dużych częstotliwości reaktancja jest mała, przy małych częstotliwościach reaktancja jest duża. Kondensator wraz z opornikiem tworzą tutaj dzielnik napięcia. Przy dużej reaktancji (niska częstotliwość) napięcie na wyjściu jest wysokie, przy małej reaktancji (wysoka częstotliwość) napięcie wyjściowe jest niskie. Otrzymujemy filtr dolnoprzepustowy (ang. low-band filter).

Wykorzystując wzór dla oporowego dzielnika napięcia:

obrazek

obrazek

możemy przez analogię zapisać:

obrazek

UC – napięcie na kondensatorze
UWY – napięcie na wyjściu filtra
UWE – napięcie na wejściu filtra
XC – reaktancja pojemnościowa kondensatora
Z – impedancja filtra
R – oporność opornika

Przykład:

Obliczyć napięcie na wyjściu filtra dolnoprzepustowego w następujących warunkach:

R = 1kΩ
C = 47nF
UWE = 5V, sinusoidalne bez harmonicznych
f = 100Hz; 1kHz, 1MHz.

Obliczamy reaktancje pojemnościowe dla poszczególnych częstotliwości:

obrazek

Obliczamy impedancje filtru dla poszczególnych częstotliwości:

obrazek

Obliczamy napięcia wyjściowe dla poszczególnych częstotliwości:

obrazek

Częstotliwość graniczna (ang. cut-off frequency)

Wzór:

obrazek

Posłuży nam teraz do wykonania wykresu napięcia wyjściowego w funkcji częstotliwości. Parametry są następujące:

R = 1kΩ
C = 47nF
UWE = 5V
f = 1Hz...10MHz

Wykres wykonamy w Excelu:

obrazek

Za częstotliwość graniczną przyjmijmy częstotliwość, dla której wartość reaktancji pojemnościowej XC jest równa oporności R:

obrazek

Dla powyższego przykładu częstotliwość graniczna wynosi:

obrazek

Sygnały o częstotliwościach niższych od fg są przepuszczane przez filtr z niewielkim tłumieniem, sygnały o częstotliwościach powyżej fg są tłumione.

Na początek:  podrozdziału   strony 

Filtr górnoprzepustowy

Jeśli we filtrze dolnoprzepustowym zamienimy miejscami opornik z kondensatorem, to otrzymamy filtr górnoprzepustowy (ang. high-pass filter):

obrazek

Filtr ten również możemy potraktować jako dzielnik napięcia. Napięcie wyjściowe jest równe spadkowi napięcia na oporniku R:

obrazek

obrazek

UR – napięcie na oporniku
UWY – napięcie na wyjściu filtra
UWE – napięcie na wejściu filtra
Z – impedancja filtra
R – oporność opornika
XC – reaktancja pojemnościowa kondensatora

Przykład:

Obliczyć napięcie na wyjściu filtra górnoprzepustowego w następujących warunkach:

R = 1kΩ
C = 47nF
UWE = 5V, sinusoidalne bez harmonicznych
f = 100Hz; 1kHz, 1MHz.

Obliczamy reaktancje pojemnościowe dla poszczególnych częstotliwości:

obrazek

Obliczamy impedancje filtru dla poszczególnych częstotliwości:

obrazek

Obliczamy napięcia wyjściowe dla poszczególnych częstotliwości:

obrazek

Wykres napięcia wyjściowego w zakresie częstotliwości 1Hz...1MHz jest następujący (R,C i UWE jak w przykładzie):

obrazek

Częstotliwość graniczną filtra obliczamy takim samym wzorem jak w filtrze dolnoprzepustowym:

obrazek

Dla naszego przykładu częstotliwość graniczna wynosi:

obrazek

Sygnały o częstotliwościach mniejszych od fg są tłumione, a sygnały o częstotliwościach większych od fg są przepuszczane

Na początek:  podrozdziału   strony 

Filtr środkowoprzepustowy

Filtr środkowoprzepustowy (ang. band-pass filter) można zbudować z dwóch filtrów: górnoprzepustowego i dolnoprzepustowego, połączonych szeregowo:

obrazek

Sygnał wyjściowy z pierwszego filtra trafia na wejście drugiego. W efekcie przepuszczane są częstotliwości, które jednocześnie przepuszczają oba filtry, tłumione są te, które tłumi jeden z filtrów.

obrazek

Częstotliwości graniczne powinny być tak dobrane, aby fg1 < fg2, fg1 – częstotliwość graniczna filtra górnoprzepustowego, fg2 – częstotliwość graniczna filtra dolnoprzepustowego. Częstotliwości graniczne wyliczamy ze wzorów podanych w poprzednich podrozdziałach:

obrazek

Filtr środkowoprzepustowy przenosi częstotliwości od fg1 do fg2, a tłumi pozostałe.

Częstotliwości przenoszone przez filtr nazywamy pasmem przenoszenia. Częstotliwość środkową pasma przenoszenia obliczamy jako średnią geometryczną częstotliwości granicznych:

obrazek

Jest to częstotliwość najmniej tłumiona przez filtr.

Przykład:

Wyznaczyć wartości pojemności kondensatorów w filtrze środkowoprzepustowym, w którym oporniki posiadają oporność 10kΩ, a pasmo przenoszenia jest od 1kHz do 100kHz.

Mamy:

R1 = R2 = 10kΩ
fg1 = 1kHz
fg2 = 100kHz

obrazek

Na początek:  podrozdziału   strony 

Filtr środkowozaporowy

Filtr środkowozaporowy (ang. band-stop filter) można zbudować z dwóch filtrów, dolno- i górnoprzepustowego, połączonych równolegle:

obrazek

Przepuszczane są częstotliwości, które przepuszcza jeden z filtrów, a tłumione są te, które tłumią oba filtry jednocześnie.

obrazek

Częstotliwości graniczne powinny spełniać warunek: fg1 > fg2,  fg1 – częstotliwość graniczna filtra górnoprzepustowego, fg2 – częstotliwość graniczna filtra dolnoprzepustowego. Częstotliwości graniczne wyliczamy ze wzorów podanych w poprzednich podrozdziałach:

obrazek

Filtr środkowozaporowy tłumi częstotliwości od fg2 do fg1, a przenosi pozostałe.

Częstotliwości tłumione przez filtr nazywamy pasmem tłumienia (ang. band stop). Częstotliwość środkową pasma tłumienia obliczamy jako średnią geometryczną częstotliwości granicznych:

obrazek

Na początek:  podrozdziału   strony 

Filtry drugiego rzędu

Przedstawione wcześniej filtry nazywamy filtrami pasywnymi pierwszego rzędu (ang. first order passive filters). Jeśli dwa filtry pierwszego rzędu połączymy ze sobą szeregowo, to powstanie filtr drugiego rzędu (ang. second order filter).

obrazek

Cechą charakterystyczną takiego filtra jest bardziej strome nachylenie zboczy na charakterystykach przenoszenia:

obrazek

Obliczenia w filtrach wyższych rzędów są dosyć skomplikowane, ponieważ stopnie oddziałują na siebie (na przykład nie możemy tutaj założyć, iż prąd wyjściowy z pierwszego stopnia jest zerowy). Bez dobrego narzędzia typu MathCAD tutaj raczej się nie obejdzie.

Częstotliwość graniczna filtra drugiego rzędu obliczana jest wg wzoru:

obrazek

Gdzie R1,C1 są elementami pierwszego stopnia, a R2,C2 są elementami stopnia drugiego.

Na początek:  podrozdziału   strony 

Filtry aktywne

Filtry pasywne posiadają kilka wad. Tłumią sygnał i są wrażliwe na obciążenie, które wpływa na parametry filtra. Dlatego stosuje się w filtrach wzmacniacze tranzystorowe lub operacyjne, które poprawiają parametry wyjściowe. Rozważmy następujący układ:

obrazek

Układ składa się z filtra dolnoprzepustowego, do którego wyjścia podłączony jest wzmacniacz operacyjny pracujący w układzie wtórnika napięciowego. Wtórnik napięciowy ma wzmocnienie równe 1 i na wyjściu wzmacniacza panuje takie samo napięcie, jak na wejściu nieodwracającym (+). Wzmacniacz operacyjny praktycznie nie pobiera żadnego prądu z wyjścia filtra, dzięki czemu obciążenie na wyjściu układu nie oddziałuje na wyjście filtra.

Jeśli potrzebujemy wzmocnić sygnał wyjściowy z filtra, to stosujemy wzmacniacz nieodwracający:

obrazek

Układ taki wzmacnia napięcie wyjściowe filtra. Współczynnik wzmocnienia zależy od oporników R1 i R2:

obrazek

Na początek:  podrozdziału   strony 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2020 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.