Technika cyfrowa - Teoria: Liczby zespolone

W nauce matematyki najpierw poznałeś liczby naturalne (ang. natural numbers) 1, 2, 3,... Liczby naturalne dobre są do liczenia różnych rzeczy, lecz nie pozwalają zapisywać ich braków. Już proste odejmowanie 3 – 5 prowadzi do wartości, której nie daje się zapisać w zbiorze liczb naturalnych. Dlatego zbiór ten rozszerzono, dodając 0 oraz liczby ujemne (z zerem była cała historia, początkowo nie traktowano go jako liczbę; jeśli cię to zainteresowało, przeczytaj o historii liczb). Otrzymano w ten sposób zbiór liczb całkowitych (ang. integers). W zbiorze tym z kolei nie można było zapisać wyników dzieleń, np. 3 : 5 jest wartością niecałkowitą. Rozszerzono zatem zbiór liczb całkowitych na liczby wymierne, z których każdą da się przedstawić jako wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych, np. ⁵/₃. Niestety, już za czasów greckich okazało się, że zbiór liczb wymiernych ma dziury i nie potrafi przedstawić dokładnie pewnych liczb, np. długości przekątnej kwadratu o boku równym 1 (czyli pierwiastka kwadratowego z 2), która jest liczbą niewymierną (niedającą się wymierzyć). Odkrycie to burzyło starożytnym grekom obraz świata, a za mówienie o tym groziła wtedy nawet śmierć. Należało zatem ponownie rozszerzyć zbiór liczb do zbioru liczb rzeczywistych. Zwróć uwagę na istotny fakt: zbiory liczbowe były kolejno rozszerzane, gdy pojawiła się konieczność przedstawiania liczb, których poprzednie zbiory nie potrafiły przedstawiać:

Liczby naturalne → liczby całkowite, aby przedstawić wyniki dowolnych odejmowań a – b.

Liczby całkowite → liczby wymierne, aby przedstawić wyniki dowolnych dzieleń a : b

Liczby wymierne → liczby rzeczywiste, aby przedstawić wyniki pierwiastkowań.

Zwróć uwagę, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie da się przedstawić pierwiastków kwadratowych (ogólnie o stopniu parzystym) z liczb ujemnych. Przypomnijmy definicję pierwiastka kwadratowego (wiem, że ją na pewno znasz):

Pierwiastek kwadratowy z liczby x jest to taka liczba a, która pomnożona przez siebie daje liczbę x.

Ile wynosi np. pierwiastek kwadratowy z – 4? Nie może to być żadna liczba rzeczywista, ponieważ – 4 jest liczbą ujemną. Iloczyn dowolnej liczby rzeczywistej różnej od 0 przez siebie samą (czyli kwadrat tej liczby) jest zawsze liczbą dodatnią. Cóż zatem zrobić? Proste, rozszerzyć zbiór liczb rzeczywistych, tak aby pojawiły się w nim liczby, które są pierwiastkami liczb ujemnych. Brzmi prosto, ale jak to zrobić w sposób elegancki a jednocześnie spójny z arytmetyką?

Zbiór liczb rzeczywistych rozszerzony o pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych nazwano zbiorem liczb zespolonych (ang. complex numbers). Potrzeba istnienia takich liczb pojawiła się XVI wieku, gdy odkryto, że wzory na rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia łatwo wyprowadzić, jeśli dopuści się istnienia pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Aby zrozumieć pojęcie liczby zespolonej, narysujmy sobie oś liczbową.

obrazek

Oś liczbowa jest prostą, na której umieściliśmy podziałkę z liczbami. Każdy punkt tej prostej jest liczbą rzeczywistą, zatem odwzorowuje ona zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Oś tę nazwijmy osią rzeczywistą.

Dodajmy teraz drugą oś liczbową, która jest prostopadła do osi rzeczywistej i przecina ją w punkcie 0.

obrazek

Otrzymaliśmy kartezjański układ osi współrzędnych. Oś pozioma to oś rzeczywista. Natomiast oś pionową nazwano osią urojoną (ang. imaginary axis). Nazwa ta pochodzi z odległych czasów, gdy wcale nie przyjmowano takich idei ochoczo (ktoś sobie coś uroił i próbuje to wcisnąć nam, matematykom!). Gdy mieliśmy jedynie oś rzeczywistą, to liczby mogły się znajdować tylko na niej. Po dodaniu osi urojonej, liczby mogą znajdować się na całej płaszczyźnie, którą nazywamy płaszczyzną zespoloną (ang. complex plane). Liczba zespolona jest teraz punktem na płaszczyźnie zespolonej (a nie punktem jedynie na prostej – czy wyobrażasz sobie, jakie to duże rozszerzenie? Czy zatem naprawdę jest to jakieś tam urojenie? Każda nowa idea napotyka najpierw na opór, a entuzjazm pojawia się później, gdy ludzie się oswoją z nowym).

obrazek

Każdy punkt płaszczyzny, czyli każdą liczbę zespoloną, możemy jednoznacznie przedstawić w postaci jej współrzędnych: współrzędnej rzeczywistej na osi poziomej oraz współrzędnej urojonej na osi pionowej. Na powyższym rysunku zaznaczyliśmy trzy liczby zespolone, które w tym układzie posiadają współrzędne: Z1 ( 2, 3 ), Z2 ( 5, – 4 ) oraz Z3 ( – 3, 0 ). Liczba zespolona będzie się zatem składała z dwóch części: części rzeczywistej, równej współrzędnej tej liczby na osi rzeczywistej, oraz części urojonej, równej współrzędnej tej liczby na osi urojonej.

Za jednostkę osi urojonej przyjmijmy:

Nasze liczby możemy wtedy zapisać jako:

Zamiast ciągle pisać pierwiastki z – 1, piszemy literkę i (ang. imaginary unit), czyli jednostka urojona. Teraz zapis liczb zespolonych będzie wyglądał tak:

Jak rozumieć ten zapis? Dokładnie tak, jak to przedstawiliśmy powyżej. Liczba zespolona jest punktem płaszczyzny zespolonej i zapisujemy ją w postaci sumy dwóch współrzędnych: rzeczywistej Re i urojonej Im. Część urojoną mnożymy przez jednostkę osi urojonej. Jest to bardzo eleganckie rozwiązanie, ponieważ integruje ono liczby zespolone ze zbiorem liczb rzeczywistych: jeśli część urojona jest równa zero, to liczba zespolona sprowadza się do liczby rzeczywistej. Tak jest z liczbą:

Mogą również istnieć czyste liczby zespolone, jeśli ich część rzeczywista jest równa 0:

Liczby takie nazywamy liczbami urojonymi (ang. imaginary numbers).

Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są równe:

Na początek: podrozdziału strony

Liczba zespolona jest liczbą postaci:


a	–	część rzeczywista
b	–	część urojona
i	–	jednostka urojona równa pierwiastkowi kwadratowemu z ( –1 )

Moduł liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej definiujemy następująco:

Geometrycznie jest to długość odcinka, który łączy punkt 0,0 układu współrzędnych z punktem reprezentującym liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej (długość tego odcinka liczymy w prosty sposób z twierdzenia Pitagorasa, otrzymując podany wzór):

obrazek

Suma liczb zespolonych

Liczbę zespoloną możemy potraktować jako wyrażenie algebraiczne. Stąd:

Zasada jest bardzo prosta. Jeśli dodajemy dwie liczby zespolone, to sumujemy osobno ich części rzeczywiste i urojone.

Przykład:

Zwróć uwagę, że jeśli części urojone są równe 0, to suma liczb zespolonych sprowadza się do sumy liczb rzeczywistych:

Musi tak być, ponieważ liczba zespolona z częścią urojoną równą 0 leży na osi rzeczywistej, czyli jest zwykłą liczbą rzeczywistą. Zasady arytmetyki liczb zespolonych muszą być z tego powodu spójne z zasadami arytmetyki liczb rzeczywistych. Inaczej cała ta teoria nadawałaby się tylko do kosza!

Liczby sprzężone

Przez liczbę sprzężoną (ang. complex conjugate) do danej liczby zespolonej a + bi rozumiemy liczbę o postaci a – bi. Geometrycznie liczba sprzężona Z do danej liczby zespolonej Z jest jej lustrzanym odbiciem względem osi rzeczywistej.

obrazek

Suma liczby zespolonej z jej liczbą sprzężoną daje zawsze liczbę rzeczywistą, ponieważ części urojone znoszą się:

Moduły liczb sprzężonych są zawsze sobie równe:

Liczby przeciwne

Z definicji suma liczby z liczbą do niej przeciwną daje 0:

Dla liczb zespolonych mamy:

Zatem liczbą przeciwną do liczby a + bi jest liczba –a – bi.

Przykład:

Odejmowanie liczb zespolonych

Odejmowanie jest definiowane jako dodawanie liczby przeciwnej:

Tak samo jest dla liczb zespolonych:

Przykład:

Mnożenie liczb zespolonych

Mnożenie dwóch liczb zespolonych definiujemy następująco:

Przykład:

Gdy części urojone obu mnożonych liczb są równe 0, mnożenie liczb zespolonych sprowadza się do zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych:

Odwrotność liczby zespolonej

Iloczyn liczby i jej odwrotności jest równy 1:

To samo obowiązuje dla liczb zespolonych:

Z własności mnożenia liczb zespolonych wyprowadzimy wzór na odwrotność liczby zespolonej:

Niech:

Korzystając z definicji liczby odwrotnej oraz z zasad mnożenia liczb zespolonych, mamy:

Skoro wynik mnożenia jest czystą liczbą rzeczywistą, to część urojona musi być równa 0. Dostajemy zatem układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi c i d:

Rozwiązujemy ten układ. Z równania (II) wyliczamy c i wynik wstawiamy do równania (I):

Teraz wyliczamy d:

Mając wyliczone d, wstawiamy wynik do równania na c i otrzymujemy:

Ostatecznie:

Dzielenie liczb zespolonych

Dzielenie liczby a przez b jest równoważne mnożeniu liczby a przez odwrotność liczby b:

Tak samo będzie dla liczb zespolonych:

Przykład:

Gdy części urojone obu dzielonych liczb są równe 0, dzielenie liczb zespolonych sprowadza się do zwykłego dzielenia liczb rzeczywistych:

Na początek: podrozdziału strony

Liczby zespolone mogą być przedstawiane matematycznie na kilka sposobów.

Postać kanoniczna/algebraiczna

Podaliśmy ją powyżej. Liczba zespolona przedstawiana jest jako suma części rzeczywistej i części urojonej pomnożonej przez jednostkę urojoną:

Postać ta jest szczególnie wygodna przy dodawaniu i odejmowaniu liczb zespolonych.

Uwaga:

W fizyce i w elektronice zastępuje się zapis jednostki urojonej i literką j, aby nie wprowadzać niejednoznaczności (literka i oznacza coś innego). Na przykład liczbę 12+5i zapisujemy jako 12+j5. Umówmy się, że od tego momentu tak właśnie będziemy zapisywać wszystkie liczby zespolone.

Postać trygonometryczna

Wybierzmy na płaszczyźnie zespolonej dowolny punkt, który reprezentuje liczbę zespoloną Z:

obrazek

Na osi rzeczywistej mamy współrzędną a liczby Z. Na osi urojonej mamy współrzędną b liczby Z. Zapisujemy to formalnie w sposób następujący:

Moduł liczby Z jest długością odcinka, który łączy początek układu współrzędnych z punktem Z. Moduł obliczamy wg wzoru:

Kąt α jest katem, który tworzy odcinek z osią rzeczywistą. Wykorzystując trygonometrię, piszemy:

Zastępujemy w postaci kanonicznej a i b przez:

Otrzymaliśmy w ten sposób zapis liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej. Kąt α nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy Arg ( z ). Z zapisu trygonometrycznego można prosto przejść na zapis algebraiczny i odwrotnie:

Postać algebraiczna → postać trygonometryczna

Postać trygonometryczna → postać algebraiczna

Sens wprowadzenia nowej postaci liczby zespolonej pojawia się wtedy, gdy mamy z tego jakąś korzyść. Otóż okazuje się, że w postaci trygonometrycznej dużo łatwiej wykonuje się mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych. Aby nie zanudzać czytelnika wyprowadzaniem wzorów, podamy ich postać końcową (w elektrotechnice tradycyjnie kąt pomiędzy odcinkiem modułowym liczby zespolonej a osią rzeczywistą oznacza się literką grecką φ):

Z pierwiastkami jest nieco inaczej. Otóż okazuje się, że liczba zespolona posiada zawsze tyle pierwiastków, ile wynosi stopień pierwiastka. Np. pierwiastek czwartego stopnia z liczby zespolonej Z daje cztery liczby zespolone a, b, c i d, które są jej pierwiastkami.

Powyższy wzór jest w rzeczywistości uproszczonym zapisem n wzorów, a w każdym należy przyjąć inną wartość współczynnika k, który przechodzi przez kolejne wartości od 0 do n – 1. Na przykład:

Przykład:

Obliczyć pierwiastki trzeciego stopnia z liczby:

Najpierw zamieniamy liczbę zespoloną z postaci algebraicznej na trygonometryczną:

Gdy mamy postać trygonometryczną, stosujemy podane wzory:

Jako ćwiczenie policz wszystkie pierwiastki trzeciego i czwartego stopnia z liczby 1, a następnie zaznacz rozwiązania na płaszczyźnie zespolonej. Co otrzymasz?

Postać wykładnicza

Przyjmijmy:

Liczba e jest podstawą logarytmów naturalnych. Jest to stała powszechnie stosowana w matematyce wyższej. Liczba e jest liczbą niewymierną, którą otrzymuje się jako granicę wyrażenia: