Teoria

W elektronice rozróżniamy kilka podstawowych rodzajów prądu elektrycznego.

Prąd stały (ang. direct current: DC) cechuje się tym, że posiada stałe natężenie oraz zwrot - w przewodzie płynie tylko w jednym kierunku. Tego typu prąd powstaje na przykład przy zasilaniu bateryjnym obwodu złożonego z samych oporników (obwód może zawierać również elementy pojemnościowe lub indukcyjne, lecz w takim przypadku musi upłynąć pewien czas, aż ustalą się parametry tych elementów).

Prąd zmienny (ang. variable current) jest prądem, którego natężenie zmienia się w czasie. Z takim prądem spotykamy się zwykle w stanach nieustalonych obwodów, które zawierają elementy pojemnościowe i indukcyjne. Spotkasz się z nim przy zasilaniu układów elektronicznych, których pobór prądu zależy od wykonywanych w danej chwili operacji.

Prąd przemienny (ang. alternating current: AC) jest prądem, który cyklicznie zmienia swój kierunek, tzn. raz płynie w jedną stronę, a raz w drugą. Taki prąd spotkasz w sieci energetycznej, która zasila urządzenia w twoim domu. Również spotkasz go wewnątrz różnych zasilaczy dla urządzeń elektronicznych.

Prąd przemienny wywoływany jest przez przemienne napięcie elektryczne. Naturalnym kształtem takiego napięcia jest sinusoida. Narysujmy przebieg zmian napięcia przemiennego w funkcji czasu:

Napięcie zmienia się cyklicznie od wartości +U_max do -U_max i z powrotem od -U_max do +U_max. Zmiana nie jest nagła, tylko rozkłada się w czasie wg funkcji sinus. Na wykresie wyróżniamy amplitudę:

Jest to największe odchylenie wartości napięcia od wartości 0. Drugim parametrem jest okres T, czyli czas, w  którym napięcie wykonuje jeden kompletny cykl zmian. Im mniejszy okres, tym szybciej napięcie oscyluje wokół 0. Definiujemy jeszcze częstotliwość f:

Częstotliwość określa liczbę okresów zmian napięcia w ciągu jednej sekundy. Jednostką częstotliwości jest herc:

Dana wielkość zmienia się z częstotliwością jednego herca, jeśli okres zmian wynosi jedną sekundę.

Na przykład napięcie przemienne w sieci energetycznej w  Polsce posiada częstotliwość 50Hz, czyli w ciągu jednej sekundy wystąpi 50 okresów zmian tego napięcia.

Aby powiązać przebieg sinusoidalny z częstotliwością lub okresem, wprowadza się tzw. prędkość kątową zwaną inaczej pulsacją:

Teraz możemy zapisać funkcję napięcia:

Wzory te pozwalają wyznaczyć wartość chwilową napięcia przemiennego w dowolnej chwili czasu. Do tego celu musimy znać amplitudę U_max i pulsację ω lub częstotliwość f  lub okres T.

W obwodach prądu przemiennego często pojawi się tzw. przesunięcie fazowe, które określa opóźnienie lub wyprzedzenie funkcji danej wielkości (napięcia lub prądu) w stosunku do funkcji podstawowej. Przesunięcie fazowe podajemy jako kąt w radianach. Poniżej podajemy wykresy dwóch napięć. Niebieski jest wykresem napięcia bez przesunięcia fazowego, czerwony jest wykresem napięcia przesuniętego w fazie o kąt ^π/₂:

Uwzględniając przesunięcie fazowe, wzór na wartość chwilową napięcia przyjmuje postać:

 

Mamy następujący obwód elektryczny:

W obwodzie znajduje się siła elektromotoryczna E, która zasila obwód napięciem przemiennym:

oraz opornik R.

Podane wcześniej prawa obwodów również obowiązują dla obwodu zasilanego napięciem przemiennym, ponieważ są to prawa uniwersalne. Zatem dla każdej chwili czasu t spełnione jest drugie prawo Kirchhoffa:

Wynika z tego, że na oporniku R występuje spadek napięcia równy chwilowej wartości e(t). Z prawa Ohma obliczamy prąd przepływający w obwodzie:

Prąd płynący przez obwód jest prądem przemiennym. Prąd jest w  fazie z napięciem zasilającym (czyli z  SEM). Wartość maksymalna prądu jest równa:

A stąd:

Taki sposób operowania prądem i napięciem jest dla elektryków niewygodny. Dlatego często wprowadza się pojęcie tzw. wartości skutecznej. Jest to przeliczona wartość prądu/napięcia przemiennego na prąd/napięcie stałe, które wywołuje ten sam skutek. Co to znaczy? Wyobraźmy sobie, że przez opornik o oporności R przepływa prąd stały I. Przepływ prądu powoduje wykonanie pracy W, która zamienia się na ciepło:

Przepływ prądu zmiennego też wywołuje skutek cieplny, lecz wzór jest bardziej skomplikowany:

U_R jest maksymalną wartością spadku napięcia na oporniku R.

Chcemy wyznaczyć taką wartość prądu stałego I, aby wywoływał te same skutki cieplne w czasie t co prąd i(t). Za t przyjmijmy okres T. Najpierw policzmy wartość całki oznaczonej. Wykorzystujemy do tego celu wzór Newtona:

Za czas t podstawiamy okres T:

I ostatecznie:

Otrzymaliśmy wynik, że takie same skutki cieplne wywoła prąd stały I, który jest równy maksymalnej wartości prądu zmiennego podzielonej przez pierwiastek z 2. Prąd I nazywamy prądem skutecznym prądu i(t). To samo odnosi się również do napięcia:

Moc skuteczna jest iloczynem prądu skutecznego i napięcia skutecznego:

Wartości napięć i  prądów przemiennych są podawane jako skuteczne.

Przykład:

Napięcie w polskiej sieci energetycznej wynosi 240V. Ile wynosi napięcie maksymalne:

---

Jeśli obwód przemiennoprądowy składa się tylko z oporników, to praktycznie oblicza się go tak samo jak obwód prądu stałego po wprowadzeniu napięć i prądów skutecznych. Kłopoty zaczynają się, gdy w obwodzie pojawią się elementy pojemnościowe i  indukcyjne.

Rozważmy powyższy obwód elektryczny. Zawiera on  SEM oraz kondensator C. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa suma sił elektromotorycznych oraz spadków napięć w zamkniętym oczku sieci wynosi 0V. Wynika z tego, że:

Prąd i(t) jest prądem ładującym lub rozładowującym kondensator:

Wprowadźmy wielkość zwaną reaktancją pojemnościową lub oporem pojemnościowym:

Podstawiając ją  do wzoru na prąd, otrzymamy:

Otrzymaliśmy odpowiednik prawa Ohma dla prądu zmiennego z  kondensatorem. Z powyższego wzoru wynikają dwa wnioski:

• prąd pojemnościowy nie jest w fazie z napięciem na  kondensatorze, lecz wyprzedza je o kąt ^π/₂.
• reaktancja pojemnościowa X_C zależy od pulsacji ω, a zatem zależy od  częstotliwości. Przy wzroście częstotliwości reaktancja pojemnościowa maleje, czyli prąd kondensatora rośnie.

---

Zastąpmy w naszym obwodzie kondensator cewką o  indukcyjności L:

Tutaj również obowiązuje II prawo Kirchhoffa:

Dla cewki obowiązuje wzór:

Mamy zatem:

Wprowadźmy reaktancję indukcyjną zwaną również oporem indukcyjnym:

Po podstawieniu do wzoru otrzymamy prawo Ohma dla prądu zmiennego z cewką indukcyjną:

Wnioski są  następujące:

• prąd indukcyjny opóźnia się w fazie o ^π/₂ za napięciem na cewce.
• reaktancja indukcyjna rośnie wraz z częstotliwością prądu przemiennego.

Standardowe obliczenia obwodów prądu przemiennego są skomplikowane i żmudne. Często wymagają rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Na szczęście elektrycy wpadli na pomysł, jak całą sprawę sobie uprościć. Kluczem są tutaj liczby zespolone. Dzięki nim obliczenia nie są specjalnie trudniejsze od obliczeń wykonywanych w obwodach prądu stałego.

Wersor rotacyjny

Wersor jest wektorem zaczepionym w środku układu współrzędnych. Wersor posiada długość (moduł) równą 1. Wersor rotacyjny jest wersorem, który dodatkowo obraca się wokół swojego punktu zaczepienia z prędkością kątową ω. Zapisujemy go w postaci zespolonej jako e^jωt. Jest to postać wykładnicza liczby zespolonej:

Na płaszczyźnie zespolonej wersor rotacyjny wiruje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (jest to tzw. kierunek matematycznie dodatni):

Do czego posłuży nam wersor rotacyjny? Do przedstawiania wartości, które zmieniają się okresowo wg funkcji sinus i  cosinus.

Jak to zrobimy? Bardzo prosto: pomnożymy wartość maksymalną przebiegu sinusoidalnego przez wektor rotacyjny. Spowoduje to, iż moduł tego wektora przyjmie wartość maksymalną przebiegu. Tak otrzymany wektor nazywamy wskazem. Umówmy się, że  wartości zespolone będziemy przedstawiać z podkreśleniem. Na  przykład napięcie przemienne o wartości maksymalnej U zapiszemy za pomocą wskazu jako:

Dla obwodu zawierającego oporność R:

Prąd jest w fazie z napięciem zasilającym. Wykres wskazowy prezentuje wskazy na płaszczyźnie zespolonej wygląda następująco:

Dla obwodu zawierającego pojemność C:

Najpierw liczymy oporność pojemnościową:

Następnie obliczamy prąd pojemnościowy wg prawa Ohma:

Wykres wskazowy:

Prąd pojemnościowy wyprzedza napięcie na kondensatorze o ^π/₂.

Dla obwodu zawierającego indukcyjność L:

Liczymy oporność indukcyjną:

Obliczamy prąd indukcyjny wg prawa Ohma:

Wykres wskazowy:

Prąd indukcyjny opóźnia się za napięciem na cewce o ^π/₂.

---

A co się stanie, gdy w obwodzie pojawią się dwa różne elementy bierne (oporowe, pojemnościowe lub indukcyjne) ?

Obwód RC:

Zgodnie z  II prawem Kirchhoffa:

Liczymy impedancję obwodu:

Z prawa Ohma liczymy prąd:

Prąd nie jest w  fazie z napięciem zasilającym, lecz wyprzedza je o kąt φ.

Napięcie na oporniku znajdziemy ze wzoru:

Napięcie na  oporniku jest w fazie z prądem. Napięcie na kondensatorze otrzymamy mnożąc prąd przez opór pojemnościowy:

Napięcie na  kondensatorze opóźnia się za prądem o ^π/₂.

Wykresy wskazowe:

Wskazy napięcia na oporniku i napięcia na kondensatorze są do siebie pod katem prostym.

Obwód RL:

II prawo Kirchhoffa:

Liczymy impedancję obwodu:

Prawo Ohma:

Prąd nie jest w  fazie z napięciem zasilającym, lecz opóźnia się o kąt φ.

Napięcie na oporniku:

Napięcie na  cewce:

Napięcie na cewce wyprzedza prąd o ^π/₂.

Wykresy wskazowe:

Obwód LC:

II prawo Kirchhoffa:

Impedancja:

Zwróć uwagę, że  dla pewnej częstotliwości impedancja obwodu wynosi 0. Częstotliwość taką nazywamy częstotliwością rezonansową obwodu. Możemy ją obliczyć ze wzoru:

Jeśli w obwodzie znajdują się tylko pojemność i indukcyjność, to rezonans może być niebezpieczny, ponieważ impedancja maleje do zera, a prąd rośnie nieskończenie. Załóżmy jednak, że rezonans nie wystąpił. W takim przypadku obwód ma charakter pojemnościowy lub indukcyjny, w zależności od tego, który z tych składników przeważa. Widać do wyraźnie przy określaniu kąta φ.

Prąd w obwodzie:

Ponieważ kąt φ może przyjmować wartość ^π/₂ dla charakteru indukcyjnego lub -^π/₂ dla charakteru pojemnościowego, to prąd w obwodzie będzie prądem albo indukcyjnym (opóźnionym za napięciem o ^π/₂), albo pojemnościowym (wyprzedzającym napięcie o ^π/₂).

Napięcia na kondensatorze i cewce:

Napięcia na  kondensatorze i cewce są odwrócone w fazie. Wykresy fazowe należy zatem utworzyć dla dwóch przypadków:

Charakter pojemnościowy obwodu

Charakter indukcyjny obwodu

---

Z podanych przykładów widać jasno, że zastosowanie liczb zespolonych do obliczania obwodów prądu przemiennego znacznie upraszcza wszelkie rachunki, sprowadzając je praktycznie do  takich samych reguł jak przy prądzie stałym:

Z poprzednich podrozdziałów wynika, że obwodach prądu przemiennego pobierany prąd nie musi być w fazie z napięciem zasilającym. Dzieje się tak wtedy, gdy obwód zawiera pojemności i indukcyjności. Dlatego przy prądzie przemiennym rozróżniamy kilka rodzajów mocy.

Moc pozorna

Jest to iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu:

Jednostką mocy pozornej jest 1V·A, czyli tzw. woltoamper.

Moc czynna

Jest to moc, którą pobiera obwód i zamienia na pracę lub ciepło. W układzie prądu stałego cała pobierana moc jest mocą czynną. W układzie prądu przemiennego moc czynną definiujemy jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi:

Istnieje związek mocy czynnej z mocą pozorną:

Jednostką mocy czynnej jest 1W (wat).

Moc bierna

Jest to moc pobierana ze źródła, która nie jest zamieniana w  pracę lub w ciepło. Moc bierna związana jest z elementami pojemnościowymi i indukcyjnymi w obwodzie. Definiujemy ją jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi:

Związek z mocą pozorną:

Jednostką jest:

Moc pozorna, czynna i bierna tworzą tzw. trójkąt mocy:

Jest to trójkąt prostokątny, zatem: