Serwis Edukacyjny w I-LO w Tarnowie ![]() Materiały dla uczniów liceum |
Wyjście Spis treści Wstecz Dalej
Autor artykułu: mgr Jerzy
Wałaszek |
©2023 mgr Jerzy Wałaszek
|
Prąd stały (ang. direct current: DC) cechuje się tym, że posiada stałe natężenie oraz zwrot - w przewodzie płynie tylko w jednym kierunku. Tego typu prąd powstaje na przykład przy zasilaniu bateryjnym obwodu złożonego z samych oporników (obwód może zawierać również elementy pojemnościowe lub indukcyjne, lecz w takim przypadku musi upłynąć pewien czas, aż ustalą się parametry tych elementów).
Prąd zmienny (ang. variable current) jest prądem, którego natężenie zmienia się w czasie. Z takim prądem spotykamy się zwykle w stanach nieustalonych obwodów, które zawierają elementy pojemnościowe i indukcyjne. Spotkasz się z nim przy zasilaniu układów elektronicznych, których pobór prądu zależy od wykonywanych w danej chwili operacji.
Prąd przemienny (ang. alternating current: AC) jest prądem, który cyklicznie zmienia swój kierunek, tzn. raz płynie w jedną stronę, a raz w drugą. Taki prąd spotkasz w sieci energetycznej, która zasila urządzenia w twoim domu. Również spotkasz go wewnątrz różnych zasilaczy dla urządzeń elektronicznych.
Napięcie zmienia się cyklicznie od wartości +Umax do -Umax i z powrotem od -Umax do +Umax. Zmiana nie jest nagła, tylko rozkłada się w czasie wg funkcji sinus. Na wykresie wyróżniamy amplitudę:
Jest to największe odchylenie wartości napięcia od wartości 0. Drugim parametrem jest okres T, czyli czas, w którym napięcie wykonuje jeden kompletny cykl zmian. Im mniejszy okres, tym szybciej napięcie oscyluje wokół 0. Definiujemy jeszcze częstotliwość f :
Częstotliwość określa liczbę okresów zmian napięcia w ciągu jednej sekundy. Jednostką częstotliwości jest herc:
Dana wielkość zmienia się z częstotliwością jednego herca, jeśli okres zmian wynosi jedną sekundę.
Na przykład napięcie przemienne w sieci energetycznej w Polsce posiada częstotliwość 50Hz, czyli w ciągu jednej sekundy wystąpi 50 okresów zmian tego napięcia.
Aby powiązać przebieg sinusoidalny z częstotliwością lub okresem, wprowadza się tzw. prędkość kątową zwaną inaczej pulsacją:
Teraz możemy zapisać funkcję napięcia:
Wzory te pozwalają wyznaczyć wartość chwilową napięcia przemiennego w dowolnej chwili czasu. Do tego celu musimy znać amplitudę Umax i pulsację ω lub częstotliwość f lub okres T.
W obwodach prądu przemiennego często pojawi się tzw. przesunięcie fazowe, które określa opóźnienie lub wyprzedzenie funkcji danej wielkości (napięcia lub prądu) w stosunku do funkcji podstawowej. Przesunięcie fazowe podajemy jako kąt w radianach. Poniżej podajemy wykresy dwóch napięć. Niebieski jest wykresem napięcia bez przesunięcia fazowego, czerwony jest wykresem napięcia przesuniętego w fazie o kąt π/2 :
Uwzględniając przesunięcie fazowe, wzór na wartość chwilową napięcia przyjmuje postać:
W obwodzie znajduje się siła elektromotoryczna E, która zasila obwód napięciem przemiennym:
oraz opornik R.
Podane wcześniej prawa obwodów również obowiązują dla obwodu zasilanego napięciem przemiennym, ponieważ są to prawa uniwersalne. Zatem dla każdej chwili czasu t spełnione jest drugie prawo Kirchhoffa:
Wynika z tego, że na oporniku R występuje
spadek napięcia równy chwilowej wartości
Prąd płynący przez obwód jest prądem przemiennym. Prąd jest w fazie z napięciem zasilającym (czyli z SEM). Wartość maksymalna prądu jest równa:
A stąd:
Taki sposób operowania prądem i napięciem jest dla elektryków niewygodny. Dlatego często wprowadza się pojęcie tzw. wartości skutecznej. Jest to przeliczona wartość prądu/napięcia przemiennego na prąd/napięcie stałe, które wywołuje ten sam skutek. Co to znaczy? Wyobraźmy sobie, że przez opornik o oporności R przepływa prąd stały I. Przepływ prądu powoduje wykonanie pracy W, która zamienia się na ciepło:
Przepływ prądu zmiennego też wywołuje skutek cieplny, lecz wzór jest bardziej skomplikowany:
UR jest maksymalną wartością spadku napięcia na oporniku R.
Chcemy wyznaczyć taką
wartość prądu stałego I, aby wywoływał te same
skutki cieplne w czasie t
co prąd
Za czas t podstawiamy okres T:
I ostatecznie:
Otrzymaliśmy
wynik, że takie same skutki cieplne wywoła prąd stały
I, który jest równy maksymalnej wartości prądu
zmiennego podzielonej przez pierwiastek z 2. Prąd
I nazywamy prądem skutecznym prądu
Moc skuteczna jest iloczynem prądu skutecznego i napięcia skutecznego:
Wartości napięć i prądów przemiennych są podawane jako skuteczne.
Przykład:
Napięcie w polskiej sieci energetycznej wynosi 240V. Ile wynosi napięcie maksymalne:
Jeśli obwód przemiennoprądowy składa się tylko z oporników, to praktycznie oblicza się go tak samo jak obwód prądu stałego po wprowadzeniu napięć i prądów skutecznych. Kłopoty zaczynają się, gdy w obwodzie pojawią się elementy pojemnościowe i indukcyjne.
Rozważmy powyższy obwód elektryczny. Zawiera on SEM oraz kondensator C. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa suma sił elektromotorycznych oraz spadków napięć w zamkniętym oczku sieci wynosi 0V. Wynika z tego, że:
Prąd i ( t ) jest prądem ładującym lub rozładowującym kondensator:
Wprowadźmy wielkość zwaną reaktancją pojemnościową lub oporem pojemnościowym:
Podstawiając ją do wzoru na prąd, otrzymamy:
Otrzymaliśmy odpowiednik prawa Ohma dla prądu zmiennego z kondensatorem. Z powyższego wzoru wynikają dwa wnioski:
Zastąpmy w naszym obwodzie kondensator cewką o indukcyjności L:
Tutaj również obowiązuje II prawo Kirchhoffa:
Dla cewki obowiązuje wzór:
Mamy zatem:
Wprowadźmy reaktancję indukcyjną zwaną również oporem indukcyjnym:
Po podstawieniu do wzoru otrzymamy prawo Ohma dla prądu zmiennego z cewką indukcyjną:
Wnioski są następujące:
Wersor jest wektorem zaczepionym w środku układu współrzędnych. Wersor posiada długość (moduł) równą 1. Wersor rotacyjny jest wersorem, który dodatkowo obraca się wokół swojego punktu zaczepienia z prędkością kątową ω. Zapisujemy go w postaci zespolonej jako e jωt. Jest to postać wykładnicza liczby zespolonej:
Na płaszczyźnie zespolonej wersor rotacyjny wiruje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (jest to tzw. kierunek matematycznie dodatni):
Do czego posłuży nam wersor rotacyjny? Do przedstawiania wartości, które zmieniają się okresowo wg funkcji sinus i cosinus.
Jak to zrobimy? Bardzo prosto: pomnożymy wartość maksymalną przebiegu sinusoidalnego przez wektor rotacyjny. Spowoduje to, iż moduł tego wektora przyjmie wartość maksymalną przebiegu. Tak otrzymany wektor nazywamy wskazem. Umówmy się, że wartości zespolone będziemy przedstawiać z podkreśleniem. Na przykład napięcie przemienne o wartości maksymalnej U zapiszemy za pomocą wskazu jako:
Dla obwodu zawierającego oporność R:
Prąd jest w fazie z napięciem zasilającym. Wykres wskazowy prezentuje wskazy na płaszczyźnie zespolonej wygląda następująco:
Dla obwodu zawierającego pojemność C:
Najpierw liczymy oporność pojemnościową:
Następnie obliczamy prąd pojemnościowy wg prawa Ohma:
Wykres wskazowy:
Prąd pojemnościowy wyprzedza napięcie na kondensatorze o π/2.
Dla obwodu zawierającego indukcyjność L:
Liczymy oporność indukcyjną:
Obliczamy prąd indukcyjny wg prawa Ohma:
Wykres wskazowy:
Prąd indukcyjny opóźnia się za napięciem na cewce o π/2.
A co się stanie, gdy w obwodzie pojawią się dwa różne elementy bierne (oporowe, pojemnościowe lub indukcyjne) ?
Zgodnie z II prawem Kirchhoffa:
Liczymy impedancję obwodu:
Z prawa Ohma liczymy prąd:
Prąd nie jest w fazie z napięciem zasilającym, lecz wyprzedza je o kąt φ.
Napięcie na oporniku znajdziemy ze wzoru:
Napięcie na oporniku jest w fazie z prądem. Napięcie na kondensatorze otrzymamy mnożąc prąd przez opór pojemnościowy:
Napięcie na kondensatorze opóźnia się za prądem o π/2.
Wykresy wskazowe:
Wskazy napięcia na oporniku i napięcia na kondensatorze są do siebie pod katem prostym.
II prawo Kirchhoffa:
Liczymy impedancję obwodu:
Prawo Ohma:
Prąd nie jest w fazie z napięciem zasilającym, lecz opóźnia się o kąt φ.
Napięcie na oporniku:
Napięcie na cewce:
Napięcie na cewce wyprzedza prąd o π/2.
Wykresy wskazowe:
II prawo Kirchhoffa:
Impedancja:
Zwróć uwagę, że dla pewnej częstotliwości impedancja obwodu wynosi 0. Częstotliwość taką nazywamy częstotliwością rezonansową obwodu. Możemy ją obliczyć ze wzoru:
Jeśli w obwodzie znajdują się tylko pojemność i indukcyjność, to rezonans może być niebezpieczny, ponieważ impedancja maleje do zera, a prąd rośnie nieskończenie. Załóżmy jednak, że rezonans nie wystąpił. W takim przypadku obwód ma charakter pojemnościowy lub indukcyjny, w zależności od tego, który z tych składników przeważa. Widać do wyraźnie przy określaniu kąta φ.
Prąd w obwodzie:
Ponieważ kąt φ może przyjmować wartość π/2 dla charakteru indukcyjnego lub -π/2 dla charakteru pojemnościowego, to prąd w obwodzie będzie prądem albo indukcyjnym (opóźnionym za napięciem o π/2), albo pojemnościowym (wyprzedzającym napięcie o π/2).
Napięcia na kondensatorze i cewce:
Napięcia na kondensatorze i cewce są odwrócone w fazie. Wykresy fazowe należy zatem utworzyć dla dwóch przypadków:
Charakter pojemnościowy obwodu
Charakter indukcyjny obwodu
Z podanych przykładów widać jasno, że zastosowanie liczb zespolonych do obliczania obwodów prądu przemiennego znacznie upraszcza wszelkie rachunki, sprowadzając je praktycznie do takich samych reguł jak przy prądzie stałym:
Prąd stały | Prąd przemienny |
Prawo Ohma |
|
![]() |
![]() |
Połączenie szeregowe |
|
![]() |
![]() |
Połączenie równoległe |
|
![]() |
![]() |
I prawo Kirchhoffa |
|
![]() |
![]() |
II prawo Kirchhoffa |
|
![]() |
![]() |
Jest to iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu:
Jednostką mocy pozornej jest 1V·A, czyli tzw. woltoamper.
Jest to moc, którą pobiera obwód i zamienia na pracę lub ciepło. W układzie prądu stałego cała pobierana moc jest mocą czynną. W układzie prądu przemiennego moc czynną definiujemy jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi:
Istnieje związek mocy czynnej z mocą pozorną:
Jednostką mocy czynnej jest 1W (wat).
Jest to moc pobierana ze źródła, która nie jest zamieniana w pracę lub w ciepło. Moc bierna związana jest z elementami pojemnościowymi i indukcyjnymi w obwodzie. Definiujemy ją jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi:
Związek z mocą pozorną:
Jednostką jest:
Moc pozorna, czynna i bierna tworzą tzw. trójkąt mocy:
Jest to trójkąt prostokątny, zatem:
![]() |
ω – prędkość
obrotowa, rotacja, pulsacja f – częstotliwość T – okres |
![]() |
A – amplituda
przebiegu ω – prędkość obrotowa, rotacja, pulsacja t – czas |
![]() |
A –
wielkość zespolona A – amplituda ω – prędkość obrotowa, rotacja, pulsacja t – czas φ – kat przesunięcia fazowego |
![]() |
Zespół Przedmiotowy Chemii-Fizyki-Informatyki w I Liceum Ogólnokształcącym im. Kazimierza Brodzińskiego w Tarnowie ul. Piłsudskiego 4 ©2023 mgr Jerzy Wałaszek |
Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.