Materiały do matury z informatyki

Jest to nauka o poprawnym rozumowaniu, którą matematyka wykorzystuje do udowadniania swoich twierdzeń. Bez logiki nie byłoby współczesnej nauki.

W logice mamy dwie wartości: prawdę (ang. true) i fałsz (ang. false). Wartości logiczne idealnie nadają się dla komputerów, ponieważ przetwarzany przez nie bit posiada dwa różne stany i łatwo zatem przypisać mu wartość fałszu (0) lub prawdy (1).

Utwórz w Code::Blocks nowy projekt 004 i w edytorze wpisz program, skompiluj i uruchom go:

// Wartości logiczne
//------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");

    cout << "FAŁSZ:  " << false << endl
         << "PRAWDA: " << true << endl << endl;

    return 0;
}

W oknie konsoli zostanie wyświetlony tekst:

W języku C++ mamy dwie stałe logiczne: false o wartości 0 i true o wartości 1. W naszym programie kazaliśmy komputerowi wyświetlić w oknie konsoli wartości tych stałych.

// Wyrażenia logiczne
//-------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");

    int a;

    cout << "Podaj wartość a = ";
    cin >> a;
    cout << "a > 10? : " << (a > 10) << endl << endl;

    return 0;
}

W programie tworzymy zmienną całkowitą a, po czym odczytujemy z konsoli liczbę i umieszczamy ją w tej zmiennej. Następnie wyświetlamy wartość wyrażenia (a > 10). W wyrażeniu tym mamy operator porównania >. Jest to operator logiczny, czyli taki, który zwraca w wyniku prawdę (1), jeśli nierówność jest spełniona, lub fałsz (0), jeśli nierówność nie jest spełniona. Zatem, jeśli wprowadzisz np. liczbę 9, nierówność nie będzie spełniona i komputer wypisze:

Jeśli wpiszesz np. liczbę 12, komputer wypisze:

Operatory porównań w języku C++ są następujące:

W powyższej tabelce a i b mogą być zmiennymi lub dowolnymi wyrażeniami (w języku C++ pojedyncza zmienna też jest wyrażeniem o wartości równej zawartości tej zmiennej), np. a + 5 < b - 11.

W języku C++ istnieje typ logiczny, który oznacza wartość logiczną. Nosi on nazwę bool. Dzięki niemu możemy tworzyć zmienne logiczne, czyli takie, które będą zawierały jedną z dwóch wartości false lub true. Wpisz do edytora program:

// Typ logiczny
//-------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");

    bool a; // Zmienna logiczna 0 lub 1

    cout << "Podaj wartość dla a = ";
    cin >> a;
    cout << "Teraz zmienna a zawiera: " << a << endl << endl;

    return 0;
}

Program ten pokazuje ważną cechę języka C++. Gdy informacja jest zapisywana do zmiennej, to zawsze zostaje automatycznie przekształcona na jej typ (jeśli to jest możliwe, jeśli nie, dostaniesz komunikat o błędzie w czasie kompilacji). W programie tworzymy jedną zmienną logiczną a. Następnie odczytujemy liczbę ze strumienia cin do zmiennej a. Co się tutaj dzieje dalej? Ponieważ zmienna a jest zmienną logiczną, to nie może przechowywać wartości innych niż 0 lub 1. Dlatego przy zapisie do zmiennej komputer potraktuje wprowadzoną liczbę jako wartość logiczną. Pamiętasz, że wartość zero w języku C++ jest traktowana jak fałsz, a wartość różna od zera jest traktowana jak prawda? Zatem wprowadzona liczba zostaje przekształcona w wartość logiczną zgodnie z tą regułą. Dlatego przy wprowadzeniu dowolnej liczby różnej od zera komputer wypisze, że zmienna a zawiera 1, czyli prawdę.

Do zapamiętania:

• Wyrażenie logiczne.
• Operatory porównań: <, >, <=, >=, == i !=.
• Typ logiczny bool i zmienne logiczne.
• Automatyczne przekształcanie informacji na typ zmiennej, do której ta informacja ma zostać zapisana.

Wersja #1:

if(warunek)instrukcja;

W instrukcji if w tej wersji znajdują się dwa elementy: warunek oraz instrukcja. Komputer oblicza wartość warunku traktowanego jako wyrażenie logiczne (jeśli nie wiesz, co to znaczy, wróć do poprzedniego podrozdziału). Jeśli warunek ma wartość prawdy (jest różny od zera), to komputer wykona instrukcję wewnętrzną w if. Jeśli warunek ma wartość fałszu (zero), instrukcja nie zostanie wykonana (komputer ją pominie) i komputer przejdzie do wykonania kolejnej instrukcji w programie.

Słowo if jest słowem kluczowym języka C++.

Uruchom poniższy program:

// Instrukcja warunkowa
//---------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");

    int a, b, x;

    cout << "Wprowadź dwie liczby całkowite: ";
    cin >> a >> b; // Odczyt 2 liczb do 2 zmiennych
    x = a;         // Szukamy większej liczby z 2
    if(b > x) x = b;
    cout << endl
         << "Większa lub równa jest liczba : " << x
         << endl << endl;

    return 0;
}

Program odczytuje dwie liczby i wypisuje większą z nich. Zwróć uwagę, w jaki sposób jest to robione. Wykorzystujemy dodatkową zmienną x. Najpierw w x umieszczamy wartość jednej z liczb. Następnie przy pomocy instrukcji if sprawdzamy, czy druga z liczb jest większa od liczby zapamiętanej w zmiennej x. Jeśli tak, to w x umieszczamy drugą liczbę. Jeśli nie, to w x pozostaje pierwsza liczba. W rezultacie po wykonaniu tych operacji zmienna x zawiera większą z dwóch wprowadzonych liczb. Liczbę tę komputer wypisuje przy zakończeniu programu.

Zwróć uwagę na odczyt ze strumienia cin. Podobnie jak przy zapisie do strumienia cout można odczytywać wiele danych do zmiennych w jednej instrukcji, ale każdą zmienną należy poprzedzać operatorem odczytu >>.

Program można łatwo rozbudować na większą ilość liczb. Poniższy program wyszukuje największą liczbę wśród pięciu wprowadzonych liczb:

// Instrukcja warunkowa
//---------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");

    int a, b, c, d, e, x;

    cout << "Wprowadź pięć liczb całkowitych: ";
    cin >> a >> b >> c >> d >> e;
    x = a; // Szukamy większej liczby
    if(b > x) x = b;
    if(c > x) x = c;
    if(d > x) x = d;
    if(e > x) x = e;
    cout << endl
         << "Największą liczbą jest : " << x
         << endl << endl;

    return 0;
}

Uwaga: program nie zawiera obsługi błędów użytkownika. Musisz wprowadzać liczby poprawnie, rozdzielając je albo spacjami, albo wciśnięciami klawisza Enter. W przeciwnym razie otrzymasz bezsensowne wyniki. Obsługą błędów zajmiemy się w osobnym rozdziale.

Rozwiążmy następujący problem: sprawdzić, czy dana liczba jest parzysta.

Liczba parzysta jest podzielna przez 2, czyli przy dzieleniu całkowitoliczbowym przez 2 dostajemy resztę zero. W języku C++ dzielenie całkowitoliczbowe wykonuje operator /, gdy oba jego argumenty są całkowite. Jednakże nas nie interesuje wynik dzielenia, lecz reszta z dzielenia. Do obliczania reszty z dzielenia mamy specjalny operator: % (czytaj: modulo). Jeśli wynikiem operacji: liczba % 2 jest 0, to liczba jest parzysta, a jeśli wynik jest różny od 0, to liczba jest nieparzysta.

Uruchom poniższy program:

// Instrukcja warunkowa
//---------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");

    int a;

    cout << "Badanie parzystości liczby" << endl
         << "==========================" << endl << endl
         << "Liczba = ";
    cin >> a;
    cout << endl
         << "Liczba jest ";

    // Sprawdzamy resztę z dzielenia przez 2
    if(a % 2) cout << "nie";

    cout << "parzysta" << endl << endl;

    return 0;
}

Jak działa ten program?

Na początku do zmiennej całkowitej a odczytujemy liczbę całkowitą, którą wprowadzi użytkownik przy pomocy klawiatury. Teraz uważaj. Wypisujemy tekst początkowy "Liczba jest ". Ten fragment tekstu ma się pojawić zawsze, bez względu na to, czy wprowadzona liczba jest lub nie jest parzysta, dlatego wypisujemy go przed instrukcją warunkową if. Po wypisaniu tekstu sprawdzamy naszą liczbę w zmiennej a i tutaj zwróć uwagę na warunek w instrukcji if. Jest to normalne wyrażenie arytmetyczne: a % 2. Wyrażenie ma wartość 0, jeśli zmienna a dzieli się przez 2 (czyli a jest parzyste), lub ma wartość różną od 0 (czyli a jest nieparzyste). Instrukcja if traktuje swoje wyrażenie jako wyrażenie logiczne. Jeśli będzie równe 0, to zostanie potraktowane jako fałsz i instrukcja wewnątrz if nie zostanie wykonana. Jeśli będzie różne od 0, to zostanie potraktowane jako prawda i komputer wykona instrukcję wewnątrz if. Ta instrukcja wewnętrzna powoduje wypisanie słowa "nie", gdy zmienna a zawiera wartość nieparzystą (reszta z dzielenia przez 2 jest różna od 0). Dalsza część programu powoduje zawsze wypisanie słowa "parzysta". Zatem, jeśli wprowadzimy liczbę parzystą, to słowo "nie" nie pojawi się przed słowem "parzysta" i w oknie konsoli otrzymamy się napis:

Jeśli natomiast wprowadzimy liczbę nieparzystą, to przed słowem "parzysta" komputer wyświetli słowo "nie":

Do zapamiętania:

• Składnia wersji #1 instrukcji warunkowej if.
• Wyszukiwanie liczby największej z kilku.
• Operator reszty z dzielenia %.
• Wyrażenie arytmetyczne jako parametr instrukcji if.

Wersja #2:

if(warunek) instrukcja1;
else        instrukcja2;

Działanie jest następujące:

Komputer oblicza wartość warunku. Jeśli wynikiem jest prawda, zostaje wykonana instrukcja1. Jeśli wynikiem jest fałsz, zostaje wykonana instrukcja2.

Tę wersję instrukcji if stosujemy tam, gdzie musimy podjąć różne działania zależnie od wybranego warunku.

Słowa if i else są słowami kluczowymi języka C++. Nie można nimi nazywać zmiennych (tzn. nie może w programie występować zmienna o nazwie if, ale możesz zastosować nazwę iF, If lub IF, ponieważ język C++ rozróżnia duże i małe litery w nazwach).

Uruchom poniższy program, który oblicza pierwiastek równania ax + b = c.

// Instrukcja warunkowa
//---------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");

    cout << "Obliczanie pierwiastka równania liniowego" << endl
         << "ax + b = c" << endl << endl
         << "Wprowadź współczynniki:" << endl;

    double a,b,c; // Używane zmienne fp

    // Odczytujemy współczynniki równania

    cout << "a = "; cin >> a;
    cout << "b = "; cin >> b;
    cout << "c = "; cin >> c;

    cout << endl; // Pusty wiersz odstępu

    // Równanie ma rozwiązanie, jeśli a jest różne od 0

    if(a) cout << "x = " << (c - b) / a;
    else  cout << "BRAK ROZWIĄZANIA !!!";

    cout << endl << endl;

    return 0;
}

Równanie ma rozwiązanie:

Ponieważ występuje tu dzielenie przez a, to rozwiązanie istnieje, jeśli a jest różne od zera. Program działa wg następującego algorytmu:

Nasz program tworzy trzy zmienne typu double (zmiennoprzecinkowe podwójnej precyzji) i odczytuje do nich kolejne współczynniki równania a, b i c. W instrukcji if sprawdzana jest wartość zmiennej a, jeśli jest różna od zera (czyli prawdziwa), to komputer wykona pierwszą instrukcję wewnętrzną, czyli wyliczy wartość pierwiastka i wypisze ją w oknie konsoli. Jeśli zmienna a ma wartość równą zero (z liczbami zmiennoprzecinkowymi należy tu uważać, powiemy o tym dokładnie później), to komputer wykona drugą instrukcję wewnętrzną za else i wypisze tekst "BRAK ROZWIĄZANIA".

#1:

if(warunek) instrukcja;

#2:

if(warunek) instrukcja1;
else        instrukcja2;

Wynika z nich, iż warunkowo może być wykonana tylko pojedyncza instrukcja. Byłoby to znaczne utrudnienie, bo co zrobić, jeśli musimy wykonać warunkowo kilka instrukcji? Aby rozwiązać ten problem, w języku C++ mamy tzw. blok (ang. block), czyli grupę instrukcji objętych klamrami { }. Blok jest traktowany jako pojedyncza instrukcja złożona, zatem może zastąpić w programie każdą instrukcję pojedynczą. Dokładnie bloki omówimy w dalszej części kursu, ponieważ posiadają one jeszcze inne własności. Dla wygody bloki będziemy pisać od osobnego wiersza. Zwracajmy jedynie uwagę, aby klamra rozpoczynająca blok {  znajdowała się w tej samej kolumnie, co początek instrukcji if, a klamra zamykająca } była w tej samej kolumnie co klamra otwierająca { (są też inne szkoły stawiania klamer, ale ten sposób jest wg mnie najbardziej czytelny i będę go tutaj konsekwentnie stosował). Instrukcje wewnątrz klamerek będą pisane z odstępem 2 lub czterech spacji (dla zwiększenia czytelności). Przy ich zastosowaniu instrukcja warunkowa if wygląda teraz następująco:

#1:

if(warunek)
{
    instrukcja_1;
    instrukcja_2;
    ...
    instrukcja_n;
}

#2:

if(warunek)
{
    instrukcja1_1;
    instrukcja1_2;
    ...
    instrukcja1_n;
}
else
{
    instrukcja2_1;
    instrukcja2_2;
    ...
    instrukcja2_n;
}

Liczba instrukcji w bloku nie jest ograniczona. Zwróć uwagę, iż za blokiem nie umieszcza się średnika (wyjątki dokładnie omówimy), natomiast wewnątrz bloku wszystkie pojedyncze instrukcje muszą normalnie kończyć się średnikiem.

Działanie instrukcji if się nie zmienia. W zależności od warunku wykonywane są instrukcje w odpowiednim bloku (w wersji #1 przy warunku równym false instrukcje w bloku są całkowicie pomijane).

W wielu różnych algorytmach występuje operacja zamiany zawartości dwóch zmiennych. Wymaga ona trzech kroków oraz dodatkowej zmiennej pomocniczej.

Powyższa animacja pokazuje kolejne kroki.

Załóżmy iż mamy dwie zmienne a i b, których zawartość chcemy zamienić miejscami, tzn. w zmiennej a ma się znaleźć to, co jest w zmiennej b, a w zmiennej b ma się znaleźć to, co jest w zmiennej a. Tworzymy dodatkową zmienną pomocniczą x i wykonujemy trzy poniższe kroki:

K01: x ← a
K02: a ← b
K03: b ← x

W kroku 1 wpisujemy do zmiennej x zawartość zmiennej a. W ten sposób ta zawartość zostaje zabezpieczona.
W kroku 2 do zmiennej a wpisujemy zawartość zmiennej b, mamy zatem wykonane połowę zadania.
W kroku 3 wpisujemy do zmiennej b zapamiętaną w x poprzednią zawartość zmiennej a.

Przykład:

Kolejny program porządkuje 2 liczby, tzn. bez względu na kolejność wprowadzenia zawsze wyświetla wprowadzone liczby w porządku: mniejsza, większa.

// Instrukcja warunkowa
//---------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");
    cout << fixed << setprecision(4);

    cout << "Porządkowanie dwóch liczb" << endl
         << "-------------------------" << endl << endl
         << "Wprowadź dwie dowolne liczby:" << endl;

    double a,b,x; // Używane zmienne fp


    // Odczytujemy 2 liczby

    cin >> a >> b;

    cout << endl
         << "Liczby przed porządkowaniem:" << endl
         << setw(15) << a << setw(15) << b << endl;

    // Sprawdzamy liczby, jeśli są w złej kolejności, to
    // zamieniamy je miejscami

    if(a > b)
    {
        x = a;
        a = b;
        b = x;
    }

    cout << "Liczby po porządkowaniu:" << endl
         << setw(15) << a << setw(15) << b
         << endl << endl;

    return 0;
}

Do zapamiętania:

• Blok zamiast pojedynczej instrukcji.
• Zamiana zawartości dwóch zmiennych

W wyrażeniach logicznych występują operacje logiczne, podobnie jak w wyrażeniach arytmetycznych występują operacje arytmetyczne (np. dodawanie, mnożenie...).  Istnieje specjalny dział matematyki, zwany Algebrą Boole'a. Nazwa ta pochodzi od sławnego matematyka angielskiego George Boole'a, który ją opracował i opisał.

George Boole (1815 - 1864)

W logice istnieją trzy podstawowe operacje logiczne. Opiszemy je tabelkami.

Negacja, zaprzeczenie, NIE (ang. NOT):

Negacja jest operacją jednoargumentową. Zwraca wartość logiczną przeciwną do wartości logicznej swojego argumentu. Symbolem operatora negacji w języku C++ jest ! (czytaj: nieprawda, że). Wyrażenie a jest dowolnym wyrażeniem, które zostanie potraktowane jako logiczne (patrz: definicja na początku podrozdziału). Jeśli wyrażenie a będzie prawdziwe (różne od zera), to wynikiem !a będzie 0 (false). Jeśli wyrażenie a będzie fałszywe (równe zero), to wynikiem !a będzie 1 (true).

Alternatywa, suma logiczna, LUB (ang. OR)

Alternatywa jest operacją dwuargumentową. Wynikiem alternatywy jest fałsz, jeśli jej oba argumenty są fałszywe. Wynikiem alternatywy jest prawda, jeśli jeden z jej argumentów jest prawdziwy. Alternatywa nazywana jest również sumą logiczną, z uwagi na pewne podobieństwo do operacji dodawania: suma dwóch nieujemnych liczb naturalnych jest: równa 0, gdy obie liczby są równe 0; różna od 0, gdy jedna z liczb jest różna od zera (widzisz podobieństwo?).

Symbolem operatora alternatywy w języku C++ jest || (czytaj: lub). Wyrażenia a i b są dowolnymi wyrażeniami traktowanymi jako logiczne (patrz: definicja na początku podrozdziału).

Koniunkcja, iloczyn logiczny, I (ang. AND)

Koniunkcja jest również operacją dwuargumentową. Wynikiem koniunkcji jest prawda tylko wtedy, gdy oba jej argumenty są prawdziwe, a fałsz w każdym innym wypadku.  Koniunkcja nazywana jest również iloczynem logicznym z powodu podobieństwa do mnożenia: wynik mnożenia dwóch liczb jest różny od zera, jeśli obie mnożone liczby są różne od zera, a zero w każdym innym wypadku.

Symbolem operatora koniunkcji w języku C++ jest && (czytaj: i). Wyrażenia a i b są dowolnymi wyrażeniami traktowanymi jako logiczne (patrz: definicja na początku podrozdziału).

Operatory logiczne stosujemy, gdy potrzebne są nam złożone warunki, np. chcemy sprawdzić, czy liczba x należy do przedziału domkniętego [a,b] (przedział domknięty [a,b] to taki, do którego należą liczby a i b oraz wszystkie liczby leżące pomiędzy a i b). Aby liczba x wpadała w przedział [a,b] musi jednocześnie spełniać dwa warunki:

Użyjemy zatem koniunkcji. Uruchom program:

// Operatory logiczne
//-------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    setlocale(LC_ALL,"");

    cout << "Wprowadź dowolną liczbę: ";

    double x;

    cin >> x;

    cout << endl << "Liczba " << x << " ";

    if((x >= 1) && (x <= 5))
        cout << "należy do przedziału [1,5].";
    else
        cout << "leży poza przedziałem [1,5].";

    cout << endl << endl;

    return 0;
}

Przy pomocy operatorów logicznych można tworzyć wyrażenia logiczne podobnie jak w arytmetyce:

a && b || c

Powyższe wyrażenie jest prawdziwe wtedy, gdy a jest prawdziwe i jest prawdziwe b lub c (albo oba). Fałszywe jest natomiast, gdy a jest fałszywe bez względu na stan b i c, lub jednocześnie b i c są fałszywe bez względu na stan a.

Podobnie jak operatory arytmetyczne również operatory logiczne są wyliczane w określonej kolejności (nazywamy to priorytetem operatora):

1. Najwyższy priorytet ma operator negacji !.
2. Operator koniunkcji && ma niższy priorytet od operatora negacji.
3. Najniższy priorytet ma operator alternatywy ||.

Pozwala to analizować wyrażenie logiczne:

a && !b || c

Komputer najpierw wyliczy negację !b (ponieważ ma najwyższy priorytet wśród operatorów logicznych). Następnie wyznaczy koniunkcję a && !b, a na końcu wyznaczy alternatywę z c. Wartość wyrażenia w zależności od wartości logicznych a, b i c wyznacza się np. przy pomocy tabelek prawdy:

Pierwsze trzy kolumny zawierają wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych a, b i c. Kombinacji tych jest osiem (zwróć uwagę na podobieństwo do systemu NBS). W naszym wyrażeniu najpierw wyznaczana będzie negacja !b. Tworzymy zatem kolumnę x o wartościach równych !b. Są to zaprzeczenia wartości z kolumny b. W następnej kolejności wyliczana będzie koniunkcja a i wartości !b, czyli a && x. Kolumnę oznaczymy jako y. Wyliczamy tę kolumnę na podstawie wartości z kolumn a i x (korzystamy z tabelki prawdy koniunkcji). Na koniec na podstawie tabelki alternatywy i kolumn y oraz c wyznaczamy alternatywę y || c.

Jeśli chcemy zmienić kolejność działań, stosujemy nawiasy. Podwyrażenie w nawiasach jest wyznaczane najpierw.

!(a || b) && c

Ćwiczenia:

1: Wyznacz przy pomocy tabelek prawdy wartości wyrażeń logicznych i wyciągnij wnioski z wyników:

!a && !b   oraz   !(a || b)
!a || !b   oraz   !(a && b)

2: Napisz program, który wczyta liczbę całkowitą, a następnie sprawdzi, czy jest liczbą nieparzystą leżącą w przedziale domkniętym [1,15]. Program powinien wypisać odpowiedni komunikat.

Do zapamiętania:

• Wyrażenie logiczne
• Negacja, alternatywa, koniunkcja
• Operatory logiczne !, || i &&.
• Priorytety operatorów logicznych.
• Wyrażenia logiczne.
• Tabelki prawdy do wyznaczania wartości wyrażeń logicznych.
• Prawa DeMorgana (do wyszukania w sieci Internet).