Matura - programowanie w C++

2n-1/(-2n-1)

2n-2

...

22

21

20

bn-1

bn-2

...

b2

b1

b0

n-1

n-2

...

2

1

0

Wagi pozycji są równe potędze podstawy 2 o wykładniku równym numerowi pozycji (w U2 najstarsza waga jest ujemna, co zaznaczono tutaj na czerwono). Numery pozycji kończą się na 0, jednak tworzą one malejący ciąg liczb całkowitych. Jeśli będziemy ten ciąg kontynuować poza 0, to otrzymamy numery ujemne:

2n-1/(-2n-1)

2n-2

...

22

21

20

2-1

2-2

2-3

...

bn-1

bn-2

...

b2

b1

b0

b-1

b-2

b-3

...

n-1

n-2

...

2

1

0

-1

-2

-3

...

Potęga 2 o wykładniku ujemnym jest ułamkiem:

Otrzymamy w ten sposób ułamkową liczbę NBS/U2. Zasada obliczania wartości jest taka sama jak poprzednio: dodajemy do siebie wagi pozycji, na których stoi cyfra 1.

Na przykład mamy liczbę U2, która ma 4 cyfry całkowite i cztery ułamkowe. Znaleźć wartość liczby: 1100,1001_U2

Zapisujemy ponad cyframi wagi ich pozycji:

-23

22

21

20

2-1

2-2

2-3

2-4

-8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

1/16

1

1

0

0

,

1

0

0

1

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Sumujemy wagi pozycji z cyfrą 1:

-8 + 4 + 1/2 + 1/16 =
-8 + 4 + 8/16 + 1/16 =
-8 + 49/16 =
-37/16 = -3,4375

Jak widzisz, liczby stałoprzecinkowe są po prostu rozwinięciem liczb całkowitych przez dodanie pozycji o wagach ułamkowych.

Więcej na ten temat znajdziesz w obszernym artykule o kodowaniu liczb.

Do zapamiętania:

• Postać liczby stałoprzecinkowej.

Przykład:

Najbliższa nam galaktyka Andromedy jest w odległości 2,52 miliona lat świetlnych, czyli 23 841 040 790 903 616 000 000 m.

Jak widzisz, posługiwanie się tak dużymi liczbami jest kłopotliwe, dlatego naukowcy zapisują duże/małe liczby w tzw. notacji naukowej:

23 841 040 790 903 616 000 000 ≈ 2,38 × 1022

Przyjrzyjmy się tej notacji. Liczba składa się z trzech części:

Liczbę o takiej postaci nazywamy liczbą zmiennoprzecinkową (ang. floating-point number). Powodem tej nazwy jest to, iż pozycja przecinka w mantysie może być dowolna:

2,38×1022 = 23,8×1021 = 0,0238×1024

Liczby zmiennoprzecinkowe pozwalają zapisywać wartości całkowite oraz niecałkowite:

19,55 = 1,955 × 101 = 1955 × 10-2

Mantysa jest liczbą stałoprzecinkową, cecha (wykładnik) jest liczbą całkowitą. Wartość liczby fp (zmiennoprzecinkowej) obliczamy zawsze wg wzoru:

Zwróć uwagę, iż wzór jest niezależny od systemu liczbowego, w którym pracujemy. Jeśli za podstawę p przyjmiemy 2, otrzymamy dwójkową liczbę zmiennoprzecinkową. Aby zakodować ją za pomocą bitów, musimy określić format jej składników. Na potrzeby tego rozdziału stwórzmy "szkolny" system zmiennoprzecinkowy. Umówmy się, że kod bitowy liczby fp będzie złożony z 8 bitów. Bity te podzielimy na dwie grupy: mantysę i cechę (podstawa wynosi 2, jest znana, więc nie ma potrzeby umieszczania jej w kodzie liczby):

b7

b6

b5

b4

b3

b2

b1

b0

Cecha będzie reprezentowana przez 4 najstarsze bity b₄ ... b₇. Umówmy się, że te bity będą traktowane jako 4-bitowa liczba U2.

Mantysa będzie zawarta w czterech najmłodszych bitach b₀ ... b₃. Umówmy się, że bity te będą traktowane jako stałoprzecinkowa liczba U2. Pozycję przecinka ustalamy pomiędzy bitem b₂ i b₃. Wagi bitów są zatem następujące:

Znając te wagi możemy obliczać wartość liczby fp.

Przykłady:

c = 0011U2 = 2 + 1 = 3

m = 0,111U2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8

LFP = m × pc
LFP = 7/8 × 23
LFP =7/8 × 8
LFP = 7

00110111FP = 7(10)

c = 1001U2 = -8 + 1 = -7

m = 1,111U2 = -1 + 7/8 = -1/8

LFP = m × pc
LFP = -1/8 × 2-7
LFP = -1/8 × 1/128
LFP = -1/1024 = -0,0009765625(10)

Cecha wpływa na zakres liczb reprezentowanych przez liczbę fp. Mantysa wpływa na precyzję liczby fp.

Jak przeliczyć daną wartość dziesiętną na naszą liczbę fp? Nie będę podawał tu algorytmu, bo w postaci ogólnej jest zbyt skomplikowany, pokażę jedynie, jak to zrobić na prostym przykładzie. Załóżmy, iż chcemy znaleźć postać fp liczby 12₍₁₀₎:

Najpierw tworzymy liczbę U2 z trzema miejscami po przecinku:

12(10) = 01100,000U2

Dla takiej liczby cecha wynosi 0000_U2 (dlaczego?). Teraz musimy przesuwać w prawo bity mantysy, aż zajmą właściwe miejsce (zaznaczone tu na czerwono). Każde przesunięcie w prawo bitów mantysy wymaga zwiększenia o 1 cechy, aby liczba fp zachowała tę samą wartość:

0000

01100,000

START

0001

00110,000

m-->>, c + 1

0010

00011,000

m-->>, c + 1

0011

00001,100

m-->>, c + 1

0100

00000,110

m-->>, c + 1

Po czterech przesunięciach w prawo, bity mantysy znalazły się na właściwym miejscu. Mantysa ma postać 0,110. Cecha ma postać 0100. Łączymy cechę z mantysą i otrzymujemy liczbę fp o wartości 12₍₁₀₎ = 01000110_FP.

Teraz spróbujmy w ten sam sposób zakodować liczbę 9₍₁₀₎:

9(10) = 01001,000(U2)

0000

01001,000

START

0001

00100,100

m-->>, c + 1

0010

00010,010

m-->>, c + 1

0011

00001,001

m-->>, c + 1

0100

00000,100

m-->>, c + 1

Zauważ, iż po czwartym przesunięciu bitów mantysy, straciliśmy najmłodszy bit 1, ponieważ nie ma go jak zapisać w bitach ułamkowych mantysy. Nastąpiła utrata precyzji. Otrzymaliśmy liczbę:

c = 0100U2 = 4(10)

m = 0,100U2 = 1/2

LFP = 1/2 × 24 = 1/2 × 16 = 8

Zapamiętaj to zdarzenie - liczby fp nie są dokładne tak jak liczby całkowite. Liczba da się przedstawić dokładnie, jeśli można ją w całości umieścić w mantysie po przesunięciu bitowym, jeśli nie, otrzymamy wartość przybliżoną. Ilość bitów mantysy wpływa na dokładność, czyli na precyzję liczby fp. Liczby fp używane w komputerze są kodowane na 32 (precyzja 7 cyfr znaczących) lub na 64 bitach (precyzja 15 cyfr znaczących). Dokładniej omówimy to przy programowaniu.

Więcej informacji na ten temat znajdziesz w tym artykule.

Do zapamiętania:

• Wzór na wartość liczby zmiennoprzecinkowej, mantysa, cecha.
• Na co wpływa cecha i mantysa.
• Precyzja liczby zmiennoprzecinkowej.