Materiały do matury z informatyki

Liczby dwójkowe są dobrym rozwiązaniem dla komputerów, jednak dla ludzi są mało czytelne, znajdź różnicę:

1111011101011010101010110001 i 1111011101010101010010110001

Aby ułatwić sobie pracę z liczbami dwójkowymi, stosuje się inne systemy liczbowe, które są dla nas bardziej czytelne, a jednocześnie pozwalają na szybkie konwersje na system dwójkowy i odwrotnie.

Takim systemem jest system ósemkowy, zwany również oktalnym (ang. octal numeral system).  Jeśli opanowałeś lekcję o systemach pozycyjnych, to system ósemkowy powinien być dla ciebie zrozumiały.

System ósemkowy ma podstawę p = 8 oraz stosuje 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Wartość liczby ósemkowej obliczamy wg poznanych zasad: mnożymy wagi pozycji przez wartości cyfr znajdujących się na nich i otrzymane iloczyny sumujemy. Wagi pozycji są kolejnymi potęgami podstawy, czyli liczby 8:

7504₍₈₎ = 512×7 + 64×5+1×4
= 3584 + 320 + 4
= 3908₍₁₀₎

Zwróć uwagę, iż podstawa systemu ósemkowego jest potęgą podstawy systemu dwójkowego:

8 = 2³

Dzięki tej właściwości zamiana liczby dwójkowej w ósemkową i na odwrót jest niezwykle prosta. Musisz jedynie nauczyć się na pamięć wartości cyfr ósemkowych w systemie dwójkowym. Każdą cyfrę przedstawiamy trzema bitami:

Dlaczego akurat 3 bity? Można to uzasadnić na podstawie wzorów obliczania wartości liczb pozycyjnych, ale nie chcę cię zamęczać matematyką, zauważ jednak, że ma to coś wspólnego z 8 = 2³.

Aby zamienić liczbę dwójkową, postępujemy następująco:

1. Rozdzielamy bity liczby dwójkowej na grupy 3 bitowe idąc od bitu najmłodszego do starszego.
2. Każdą z grup zastępujemy cyfrą ósemkową zgodnie z tabelką.
3. Otrzymane cyfry ósemkowe łączymy w całość i otrzymujemy liczbę ósemkową o tej samej wartości, co liczba dwójkowa.

Dla przykładu zamienimy w system ósemkowy dwie liczby dwójkowe z początku rozdziału:

Mamy obie liczby przeliczone na system ósemkowy, teraz można je łatwo porównać:

1735325261₍₈₎  i  1735252261₍₈₎

Liczby są różne.

Zamiana z systemu ósemkowego na dwójkowy jest równie prosta: wykonujemy operację odwrotną - każdą cyfrę ósemkową zastępujemy trzema bitami zgodnie z tabelką.

Przykład:

Do zapamiętania:

• Powód stosowania liczb ósemkowych.
• Tabelka zamiany cyfr ósemkowych na ich odpowiedniki dwójkowe.
• Zamiana liczby dwójkowej w ósemkową.
• Zamiana liczby ósemkowej w dwójkową.

Jeden bajt to 8 bitów. Bajty są ważne, ponieważ komputer zapamiętuje je w swojej pamięci: komórka pamięci komputera ma pojemność 8 bitów, dlatego przetwarzaną przez komputer informację dzieli się na bajty. Jeśli chcemy przedstawić w systemie ósemkowym zawartość komórki pamięci, to dostaniemy w wyniku 3 cyfry ósemkowe:

Zwróć uwagę, iż podział nie jest równy. Cyfra c₂ obejmuje 2 bity, a pozostałe cyfry obejmują po 3 bity. Z tego powodu informatycy częściej posługują się systemem szesnastkowym przy kodowaniu liczb dwójkowych.

System szesnastkowy ma podstawę p = 16. Do zapisu liczb potrzebujemy 16 cyfr. Pierwsze dziesięć wzięto z systemu dziesiętnego, a brakujące 6 zastąpiono początkowymi  literami alfabetu A...F (lub a...f):

0, 1, 2, 3, 4 ,5 ,6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Wartości cyfr szesnastkowych (HEX) są następujące:

Podstawa 16 jest potęgą podstawy 2: 16 = 2⁴. Możemy zatem zastępować cyfry szesnastkowe 4 bitami o wartości zastępowanej cyfry. Naucz się tabelki przeliczeniowej:

System szesnastkowy ładnie pokrywa bajty i ich wielokrotności. Konwersję szesnastkowo dwójkową wykonujemy dokładnie tak samo, jak z systemem ósemkowym, tylko teraz cyfrą szesnastkową kodujemy 4 bity liczby dwójkowej.

W drugą stronę postępujemy odwrotnie:

Dla ambitnych:

Zastanów się, jak szybko przekształcić liczbę ósemkową w szesnastkową lub odwrotnie.

Jak rozpoznać liczbę ujemną w 8-bitowym kodzie U2 zapisanym szesnastkowo?

Do zapamiętania:

• Powód stosowania liczb szesnastkowych.
• Cyfry szesnastkowe i ich wartości.
• Wartości cyfr szesnastkowych dwójkowo w 4 bitowym kodzie NBS.
• Przeliczanie HEX → BIN oraz BIN → HEX.