Matura - programowanie w C++

Liczby dwójkowe są dobrym rozwiązaniem dla komputerów, jednak dla ludzi są mało czytelne, znajdź różnicę:

1111011101011010101010110001 i 1111011101010101010010110001

Aby ułatwić sobie pracę z liczbami dwójkowymi, stosuje się inne systemy liczbowe, które są dla nas bardziej czytelne, a jednocześnie pozwalają na szybkie konwersje na system dwójkowy i odwrotnie.

Takim systemem jest system ósemkowy, zwany również oktalnym (ang. octal numeral system).  Jeśli opanowałeś lekcję o systemach pozycyjnych, to system ósemkowy powinien być dla ciebie zrozumiały.

System ósemkowy ma podstawę p = 8 oraz stosuje 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Wartość liczby ósemkowej obliczamy wg poznanych zasad: mnożymy wagi pozycji przez wartości cyfr znajdujących się na nich i otrzymane iloczyny sumujemy. Wagi pozycji są kolejnymi potęgami podstawy, czyli liczby 8:

512

64

8

1

83

82

81

80

7

5

0

4

3

2

1

0

7504(8) = 512×7 + 64×5 + 1×4 = 3584 + 320 + 4 = 3908(10)

Zwróć uwagę, iż podstawa systemu ósemkowego jest potęgą podstawy systemu dwójkowego:

8 = 23

Dzięki tej właściwości zamiana liczby dwójkowej w ósemkową i na odwrót jest niezwykle prosta. Musisz jedynie nauczyć się na pamięć wartości cyfr ósemkowych w systemie dwójkowym. Każdą cyfrę przedstawiamy trzema bitami:

0

000

1

001

2

010

3

011

4

100

5

101

6

110

7

111

Dlaczego akurat 3 bity? Można to uzasadnić na podstawie wzorów obliczania wartości liczb pozycyjnych, ale nie chcę cię zamęczać matematyką, zauważ jednak, że ma to coś wspólnego z 8 = 2³.

Aby zamienić liczbę dwójkową, postępujemy następująco:

1. Rozdzielamy bity liczby dwójkowej na grupy 3 bitowe idąc od bitu najmłodszego do starszego.
2. Każdą z grup zastępujemy cyfrą ósemkową zgodnie z tabelką.
3. Otrzymane cyfry ósemkowe łączymy w całość i otrzymujemy liczbę ósemkową o tej samej wartości, co liczba dwójkowa.

Dla przykładu zamienimy w system ósemkowy dwie liczby dwójkowe z początku rozdziału:

L1 = 1111011101011010101010110001(2)

001  111  011  101  011  010  101  010  110  001

001

111

011

101

011

010

101

010

110

001

 1

 7

 3

 5

 3

 2

 5

 2

 6

 1

L1 = 1735325261(8)

L2 = 1111011101010101010010110001(2)

L2 = 

001

111

011

101

010

101

010

010

110

001

 1

 7

 3

 5

 2

 5

 2

 2

 6

 1

L2 = 1735252261(8)

Mamy obie liczby przeliczone na system ósemkowy, teraz można je łatwo porównać:

1735325261(8)  i  1735252261(8)

Liczby są różne.

Zamiana z systemu ósemkowego na dwójkowy jest równie prosta: wykonujemy operację odwrotną - każdą cyfrę ósemkową zastępujemy trzema bitami zgodnie z tabelką.

Przykład:

L = 4530271555(8)

 4

 5

 3

 0

 2

 7

 1

 5

 5

 5

100

101

011

000

010

111

001

101

101

101

L = 100101011000010111001101101101(2)

Do zapamiętania:

• Powód stosowania liczb ósemkowych.
• Tabelka zamiany cyfr ósemkowych na ich odpowiedniki dwójkowe.
• Zamiana liczby dwójkowej w ósemkową.
• Zamiana liczby ósemkowej w dwójkową.

Jeden bajt to 8 bitów. Bajty są ważne, ponieważ komputer zapamiętuje je w swojej pamięci: komórka pamięci komputera ma pojemność 8 bitów, dlatego przetwarzaną przez komputer informację dzieli się na bajty. Jeśli chcemy przedstawić w systemie ósemkowym zawartość komórki pamięci, to dostaniemy w wyniku 3 cyfry ósemkowe:

b7

b6

b5

b4

b3

b2

b1

b0

 c2

   c1

   c0

Zwróć uwagę, iż podział nie jest równy. Cyfra c₂ obejmuje 2 bity, a pozostałe cyfry obejmują po 3 bity. Z tego powodu informatycy częściej posługują się systemem szesnastkowym przy kodowaniu liczb dwójkowych.

System szesnastkowy ma podstawę p = 16. Do zapisu liczb potrzebujemy 16 cyfr. Pierwsze dziesięć wzięto z systemu dziesiętnego, a brakujące 6 zastąpiono początkowymi  literami alfabetu A...F (lub a...f):

0, 1, 2, 3, 4 ,5 ,6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Wartości cyfr szesnastkowych (HEX) są następujące:

0

 0

1

 1

2

 2

3

 3

4

 4

5

 5

6

 6

7

 7

8

 8

9

 9

A

10

B

11

C

12

D

13

E

14

F

15

Podstawa 16 jest potęgą podstawy 2: 16 = 2⁴. Możemy zatem zastępować cyfry szesnastkowe 4 bitami o wartości zastępowanej cyfry. Naucz się tabelki przeliczeniowej:

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111

System szesnastkowy ładnie pokrywa bajty i ich wielokrotności. Konwersję szesnastkowo dwójkową wykonujemy dokładnie tak samo, jak z systemem ósemkowym, tylko teraz cyfrą szesnastkową kodujemy 4 bity liczby dwójkowej.

L = 11011001011100112

1101

1001

0111

0011

D

9

7

3

11011001011100112 = D97316

W drugą stronę postępujemy odwrotnie:

L = FEA7B01516

F

E

A

7

B

0

1

5

1111

1110

1010

0111

1011

0000

0001

0101

FEA7B01516 = 111111101010011110110000000101012

Dla ambitnych:

Zastanów się, jak szybko przekształcić liczbę ósemkową w szesnastkową lub odwrotnie.

Jak rozpoznać liczbę ujemną w 8-bitowym kodzie U2 zapisanym szesnastkowo?

Do zapamiętania:

• Powód stosowania liczb szesnastkowych.
• Cyfry szesnastkowe i ich wartości dziesiętnie oraz dwójkowo.
• Wartości cyfr szesnastkowych dwójkowo w 4 bitowym kodzie NBS.
• Przeliczanie HEX → BIN oraz BIN → HEX.