Serwis Edukacyjny
w I-LO w Tarnowie
obrazek

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Wstecz       Dalej  

obrazek

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek
Konsultacje: Wojciech Grodowski, mgr inż. Janusz Wałaszek

©2024 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

obrazek

Warsztat

Kurs języka C

Typy danych

SPIS TREŚCI
Podrozdziały

Bity

Przy programowaniu urządzeń mikrokontrolerowych najczęściej będziesz pracował z bitami. Wynika z tego, że musisz bardzo dobrze rozumieć bity oraz metody ich przetwarzania.

Pierwszą rzeczą do zrozumienia jest pojęcie informacji. Czym jest informacja? Okazuje się, że dokładna odpowiedź na to pytanie jest dosyć trudna. Oczywiście powstają różne definicje na potrzeby różnych nauk. Nam jednak chodzi o rozumienie intuicyjne. Cechą charakterystyczną informacji jest to, że nie można podać jakiejś jednej, ściśle określonej postaci informacji. Dlatego, iż informacja jest interpretowana w naszych mózgach jako coś, co zmniejsza naszą niepewność w określonej sytuacji. Dla jednych coś może być informacją, dla innych to samo może nic nie znaczyć. Przykładem mogą być czasy wojenne. W konspiracji używano różnych znaków do porozumiewania się w grupie wtajemniczonych, które dla osób z poza tej grupy nie przekazywały żadnego znaczenia. Np. mężczyzna stojący na rogu ulicy zdejmuje z głowy czapkę, jakby się komuś kłaniał. Jest to sygnał dla pozostałych, że nadjeżdża niemiecka ciężarówka, którą zaraz należy zaatakować. Osoba postronna tej informacji nie odbierze.

Aby doszło do przekazania informacji muszą być spełnione pewne warunki.

obrazek

W procesie przekazania informacji mamy nadawcę N oraz odbiorcę O. Nie muszą to być wcale ludzie. W elektronice obu często zastępują komputery.

obrazek

Nadawca i odbiorca muszą znajdować się we wspólnym ośrodku, który umożliwia przesyłanie informacji. W przykładzie z II Wojny Światowej członek ruchu oporu sygnalizujący grupie uderzeniowej przyjazd ciężarówki musi być przez tę grupę widziany, inaczej cały system na nic. Jeśli ktoś chce przekazać coś głosem, to musi być słyszany.

obrazek

Nadawca wysyła informację, odbiorca ją odbiera.

obrazek

Jeśli sądzisz, że to wszystko, to niestety jesteś w błędzie. Diabeł jak zwykle tkwi w szczegółach. Teraz należy uzgodnić w jaki sposób ta informacja ma być wysyłana, czyli jaką ma przybrać postać: mowa, pismo, gesty, sygnały radiowe, światło lasera, prąd elektryczny, itd. Innymi słowy musimy zdefiniować sobie fizyczny zbiór sygnałów, które będą używane do przesyłania wiadomości. Dodatkowo odbiorca musi wiedzieć, jak zinterpretować otrzymany sygnał. Czyli sygnałom należy przypisać odpowiednie znaczenia.

Wynika z tego następująca procedura postępowania:

  1. Określ wiadomości, które chcesz przesyłać.
  2. Dobierz odpowiednie sygnały, tak aby nadawca mógł je wysyłać, a odbiorca odbierać. Sygnałów musi być tyle, ile określiłeś wiadomości.
  3. Przypisz każdej wiadomości inny sygnał, a następnie ustal to przypisanie z odbiorcą.

Jakie sygnały wybrać? Nie jest to wcale takie oczywiste. Pierwsze maszyny cyfrowe operowały na cyfrach dziesiętnych. Jednak komplikowało to ich konstrukcję. W roku 1936 niemiecki konstruktor Konrad Zuse zbudował pierwszy na świecie komputer oparty na nowych sygnałach - na bitach. Sama nazwa bit powstała dużo później. Bit jest najprostszym z możliwych sygnałów. Występuje tylko w dwóch różniących się od siebie postaciach. O tym, jaką postać przyjmują bity, decyduje ośrodek oraz realizacja techniczna. Przykłady realizacji bitów są następujące:

BIT (ang. binary digit – cyfra dwójkowa)
Postać pierwsza Postać druga
Jest prąd w przewodzie Brak prądu w przewodzie
Napięcie 2,4...5V Napięcie 0,2...0,8V
Fala radiowa 5MHz Fala radiowa 7MHz
Jest światło lasera Brak światła lasera
Litera H (ang. high) Litera L (ang. Low)
Cyfra 1 Cyfra 0

Wewnątrz komputera bity najczęściej są reprezentowane poziomami napięć, które przetwarzają cyfrowe układy elektroniczne. Do zapisu bitów w elektronice stosuje się litery H/L, gdzie H oznacza stan wysoki (np. 5V), a L oznacza stan niski (np. 0,4V). W informatyce bity oznaczamy cyframi 1 i 0. 1 odpowiada poziomowi H, a 0 odpowiada poziomowi L.

Powstaje teraz problem: jak kodować informację za pomocą bitów? Pokażemy to na przykładach.

Jeden bit może przyjmować tylko jedną z dwóch wartości. Jeśli tą wartość potraktujemy jako wiadomość, to za pomocą jednego bitu będziesz mógł kodować dwie różne wiadomości:

Bit 1: wiadomość pierwsza
Bit 0: wiadomość druga

Jakie to mogą być wiadomości? Takie, jakie będziesz potrzebował. Na przykład:

Bit 1: przycisk nie jest naciśniety
Bit 0: przycisk jest naciśnięty

Albo:

Bit 1: silnik pracuje
Bit 0: silnik nie pracuje

Skąd będzie wiadomo, co dany bit oznacza? Jeśli przeczytałeś dokładnie to, co napisałem powyżej, to rozumiesz, że takie rzeczy nie są dane z góry, tylko się je ustala. Konstruując układ z mikrokontrolerem, sam określisz znaczenia różnych bitów. Co więcej, ten sam bit w innym układzie może posiadać zupełnie inne znaczenie. Wszystko zależy od konstrukcji układu elektronicznego i to ty będziesz decydował, co w tym układzie znaczą przetwarzane bity.

Jeden bit jest małą jednostką. Co zrobić, gdy liczba wiadomości jest większa od 2? Odpowiedź jest prosta: bity łączysz w grupy i traktujesz taką grupę jak jeden sygnał. Jeśli połączysz ze sobą dwa bity, to otrzymasz 4 różne sygnały bitowe:

00: sygnał nr 1
01: sygnał nr 2
10: sygnał nr 3
11: sygnał nr 4

Cztery sygnały, to cztery wiadomości. Dla 3 bitów otrzymasz już 8 sygnałów, czyli będziesz w stanie działać na 8 różnych wiadomościach:

000: sygnał nr 1
001: sygnał nr 2
010: sygnał nr 3
011: sygnał nr 4
100: sygnał nr 5
101: sygnał nr 6
110: sygnał nr 7
111: sygnał nr 8

Dodając następny bit, otrzymasz 16 sygnałów. Każdy następny bit podwaja liczbę sygnałów:

2 → 4 → 8 → 16 → 32

Zwróć uwagę, że jest to ciąg potęg liczby 2. Wykładnik potęgi określa liczbę bitów w sygnale:

liczba bitów liczba sygnałów potęga 2
1 2 21
2 4 22
3 8 23
4 16 24
5 32 25
... ... ...
8 256 28
... ... ...
16 65536 216
... ... ...
32 4294967296 232
... ... ...
64 18446744073709551616 264
... ... ...

Ciąg ten nie ma końca. Dla każdej skończonej liczby wiadomości zawsze możemy dobrać tyle bitów w paczce, aby otrzymać pożądaną liczbę sygnałów. Na tym spostrzeżeniu opiera się cała współczesna technika cyfrowa.

Dlaczego wybrano akurat bity na jednostki informacji w komputerach? Odpowiedź jest prosta: pieniądze. Bity są proste, zatem przetwarzające je układy również są proste (w miarę), a zatem tanie w produkcji. Dodatkowo bity są bardziej odporne na zakłócenia od innych sygnałów. A na koniec, i tak przetwarzają je komputery, a nie my, ludzie. Więc co nam to szkodzi?

W pamięci komputera bity zapamiętuje się w paczkach po 8. Taką grupę ośmiu bitów nazywamy bajtem (ang. byte). Bity oznaczamy małą literą b, a bajty dużą literą B. Jeden bajt może przyjąć 256 różnych kombinacji swoich bitów.

W informatyce stosujemy następujące jednostki informacji:

bit b najmniejsza jednostka, dwa stany 0 i 1
kilobit Kb 1024 bity
megabit Mb 1024 Kb = 1048576 b
bajt B grupa 8 bitów, 256 stanów od 00000000 do 11111111
kilobajt KB 1024 B
megabajt MB 1024 KB = 1048576 B
gigabajt GB 1024 MB = 1048576 KB = 1073741824 B
terabajt TB 1024 GB = 1048576 MB = 1073741824 KB = 1099511627776 B
petabajt PB 1024 TB = 1048576 GB = 1073741824 MB = 1099511627776 KB = 1125899906842624 B

Jednostki wielokrotne odpowiadają w przybliżeniu jednostkom stosowanym w fizyce, jednak w informatyce oparte są one na potęgach liczby 2, a nie na potęgach liczby 10:

kilo K 210
mega M 220
giga G 230
tera T 240
peta P 250

Dlaczego pojawia się tutaj liczba 2? Komputery są maszynami binarnymi. Potęgi liczby 2 są dla nich bardziej naturalne od potęg liczby 10 i lepiej wpisują się w ich architekturę.

W celu zaznaczenia tej różnicy, wielokrotności informatyczne pisze się dużą literą.


Na początek:  podrozdziału   strony 

Kodowanie informacji za pomocą bitów

Jak zaraz zobaczysz, bity pomimo swej prostoty nadają się doskonale do kodowania informacji.

Kodowanie grafiki

Cyfrowe urządzenia wyświetlają grafikę w postaci tzw. rastra:

obrazek obrazek

Raster jest siatką punktów graficznych, które mogą przybierać różne kolory. Nazywamy je pikselami (ang. pixel = picture element – element obrazu). Piksele są zwykle tak małe, że oko ich nie zauważa jako osobny element obrazu – wyjątkiem są proste wyświetlacze o małej rozdzielczości, jak na powyższych obrazkach.

Załóżmy, że chcemy zakodować przy pomocy bitów poniższy obrazek:

obrazek

W tej skali piksele nie są dobrze widoczne. Powiększy zatem ten obrazek, a uzyskamy widok tworzących go pikseli:

obrazek

Tutaj wyraźnie widać, że piksele są tylko dwóch rodzajów: biały i czarny. Informacją do zakodowania jest właśnie kolor pikseli. Dwa kolory wymagają jednego bitu. Zróbmy następujące przypisanie:

   – bit 0
   – bit 1

Teraz można już zakodować kolor każdego piksela obrazka za pomocą bitów. Powstanie tzw. mapa bitowa, czyli odwzorowanie pikseli w bity:

0000111111110000
0011111111111100
0111111111111110
0111111111111110
1100000000000111
1000000000000011
1001111001111001
1000110000110001
1000000000000001
1000000000000001
1000001111000001
1000100000010001
0100011111100010
0100000000000010
0011100000011100
0000011111100000

Co zrobić w przypadku, gdy bity muszą przybierać więcej niż dwa kolory? Odpowiedzieliśmy na to pytanie w poprzednim podrozdziale: należy wziąć grupę bitów. Niech nasz obrazek wygląda następująco:

obrazek

Powiększmy go odpowiednio, aby zobaczyć piksele:

obrazek

Piksele na tym obrazku przyjmują cztery różne kolory. Mamy zatem do zakodowania cztery wiadomości o kolorze każdego piksela. Potrzebne są grupy dwubitowe:

     - 00
   - 01
   - 10
   - 11

Po przetworzeniu na bity powstaje mapa bitowa:

00000000010101010101010100000000
00000101010101010101010101010000
00010101010101010101010101010100
00010101010101010101010101010100
01011010101010101010101010010101
01101010101010101010101010100101
01101011111111101011111111101001
01101010111110101010111110101001
11101010101010101010101010101011
11101010101010101010101010101011
11101010101011111111101010101011
11101010111010101010101110101011
00111010101111111111111010101100
00111010101010101010101010101100
00001111111010101010101111110000
00000000001111111111110000000000

Jeśli kolorów jest więcej, to po prostu kodujemy je słówkami zbudowanymi z większej liczby bitów. Są to sprawy techniczne związane z implementacją grafiki. Poniższy obrazek jest zbudowany z pikseli o 256 kolorach, czyli każdy piksel jest kodowany za pomocą 8 bitów (u dołu obrazka pokazana jest paleta użytych kolorów):

obrazek

Tzw. grafikę True color (prawdziwy kolor) tworzą piksele kodowane za pomocą 24 bitów, co daje paletę 16 milionów kolorów. W programach graficznych stosuje się grafikę nawet 48 bitową (w celu uzyskania płynnych przejść tonalnych na profesjonalnych wydrukach).


Kodowanie liczb

Do zapisu liczb oraz do obliczeń ludzie stosują tzw. system dziesiętny, który rozpowszechnił się w Europie w czasach średniowiecza za sprawą kupców arabskich, którzy przywieźli go z Indii. Genialność tego systemu polega na tym, iż za pomocą skończonej liczby symboli można zapisywać dowolne liczby. O wszystkim tym uczyłeś się w szkole, jednak uporządkujmy tę wiedzę.

W systemie dziesiętnym mamy dziesięć cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisujemy za pomocą ciągu tych cyfr (na razie pominiemy przecinek dziesiętny). Jednakże w zapisie tym cyfry posiadają różne wagi w zależności od swojej pozycji. Ostatnia pozycja ma wagę 1, poprzedzająca ją pozycja ma wagę 10, kolejne 100, 1000, 10000... Każda następna pozycja ma wagę 10 razy większą. Liczba 10 pełni ważną funkcję w tym systemie – nazywamy ją podstawą systemu. Dla przykładu zapiszmy pewną liczbę dziesiętną:

wagi: ... 103
1000
102
100
101
10
100
1
cyfry: ... 4 7 3 5
pozycje: ... 3 2 1 0

Zwróć uwagę, że waga pozycji ma wartość równą podstawie podniesionej do potęgi numeru pozycji. Cyfry informują nas, ile razy waga pozycji występuje w liczbie. I tak w naszej liczbie mamy 4 tysiące, 7 setek, 3 dziesiątki oraz 5 jednostek. Matematycznie wartość tej liczby można obliczyć mnożąc cyfry przez wagi ich pozycji i dodając otrzymane iloczyny:

4735 = 4 · 103 + 7 · 102 + 3 · 101 + 5 · 100
4735 = 4 · 1000 + 7 · 100 + 3 · 10 + 5 · 1

Z pozoru rachunki te mogą ci się wydać bezsensowne. Masz rację, w systemie dziesiętnym nie ma to wielkiego sensu. Jednak zasada obliczania wartości liczby będzie również obowiązywała, jeśli zmienimy podstawę, np. na 5. Co się w tedy stanie? Otrzymamy system piątkowy, w którym występuje tylko 5 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4. Dlaczego? Wynika to z konstrukcji systemu pozycyjnego. W systemie dziesiętnym też nie mamy cyfr o wartościach większych od 9 (podstawa - 1). Zatem w systemie piątkowym liczby będziemy zapisywali za pomocą tylko tych pięciu cyfr. Zmianie ulegną również wagi pozycji, które teraz będą potęgami liczby 5, czyli nowej podstawy. Zapiszmy jakąś liczbę piątkową:

wagi: ... 53
125
52
25
51
5
50
1
cyfry: ... 3 4 2 4
pozycje: ... 3 2 1 0

Wszystkie systemy pozycyjne zbudowane są wg takiego samego schematu. Cyfry oznaczają zawsze liczbę wag pozycji, które wchodzą w skład liczby. Tutaj mamy:

3424(5) = 3 · 53 + 4 · 52 + 2 · 51 + 4 · 50
3424(5) = 3 · 125 + 4 · 25 + 2 · 5 + 4 · 1
3424(5) = 375 + 100 + 10 + 4
3424(5) = 489

Indeks przy liczbie informuje, że jest to liczba piątkowa i należy jej cyfry interpretować wg wag piątkowych, a nie dziesiętnych. W naszym systemie, liczba ta ma wartość 489. W systemie piątkowym można zapisywać wszelkie liczby równie dobrze jak w systemie dziesiętnym.

Jeśli za podstawę systemu przyjmiemy 2, to otrzymamy system dwójkowy zwany również systemem binarnym (ang. binary system). Ilość cyfr zredukuje się do 2: 0 i 1. Wagi pozycji będą teraz potęgami liczby 2.

wagi: ... 23
8
22
4
21
2
20
1
cyfry: ... 1 1 0 1
pozycje: ... 3 2 1 0

Wartość liczby dwójkowej obliczamy identycznie jak wartość liczby w dowolnym innym systemie pozycyjnym (mnożymy cyfry przez ich wagi i dodajemy te iloczyny):

1101(2) = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
1101(2) = 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 2
1101(2) = 8 + 4 + 0 + 1
1101(2) = 13

W systemie dwójkowym jest nawet prościej niż w innych systemach, ponieważ waga albo występuje w liczbie (cyfra 1), albo nie występuje (cyfra 0). Zatem wcale nie trzeba nic mnożyć: wystarczy zsumować wagi tych pozycji, na których stoi cyfra 1. Wagi można dla ułatwienia sumować od końca zapisu liczby, wtedy kolejne wagi otrzymamy przez podwojenie wagi poprzedzającej, zaczynając od 1:

111010101(2) = 1 + 4 + 16 + 64 + 128 + 256
111010101(2) = 469

Cyfry liczby dwójkowej można reprezentować bezpośrednio bitami. Co więcej, nazwa bit oznacza właśnie cyfrę dwójkową: (ang. binary digit).


Kodowanie tekstu

Kodowanie tekstu nie różni się od kodowania kolorów pikseli w grafice. Tam kodowaną informacją był kolor piksela, tutaj kodowaną informacją będzie litera, a właściwie symbol drukarski. Koncepcja jest taka, aby każdemu znakowi przypisać inny kod bitowy. Istnieje wiele praktycznych systemów kodowania znaków. Mikrokontrolery najczęściej stosują kody ASCII, ponieważ są one 8-bitowe, a, jak zobaczymy dalej, jest to podstawowy rozmiar jednostki pamięci w mikrokontrolerach 8-bitowych.

ASCII (ang. American Standard Code for Information Interchange – Amerykański Standardowy Kod do Wymiany Informacji)

W ASCII każdy znak kodowany jest za pomocą 1 bajtu, czyli 8 bitów. Poniższa tabelka przedstawia kody podstawowego zestawu znaków ASCII:
Bin Dec Znak Skrót
00000000 0 Null NUL
00000001 1 Start of Heading SOH
00000010 2 Start of Text STX
00000011 3 End of Text ETX
00000100 4 End of Transmission EOT
00000101 5 Enquiry ENQ
00000110 6 Acknowledge ACK
00000111 7 Bell BEL
00001000 8 Backspace BS
00001001 9 Horizontal Tab HT
00001010 10 Line Feed LF
00001011 11 Vertical Tab VT
00001100 12 Form Feed FF
00001101 13 Carriage Return CR
00001110 14 Shift Out SO
00001111 15 Shift In SI
00010000 16 Data Link Escape DLE
00010001 17 Device Control 1 (XON) DC1
00010010 18 Device Control 2 DC2
00010011 19 Device Control 3 (XOFF) DC3
00010100 20 Device Control 4 DC4
00010101 21 Negative Acknowledge NAK
00010110 22 Synchronous Idle SYN
00010111 23 End of Transmission Block ETB
00011000 24 Cancel CAN
00011001 25 End of Medium EM
00011010 26 Substitute SUB
00011011 27 Escape ESC
00011100 28 File Separator FS
00011101 29 Group Separator GS
00011110 30 Record Separator RS
00011111 31 Unit Separator US
   
Bin Dec Znak
00100000 32 Spacja
00100001 33  !
00100010 34 "
00100011 35 #
00100100 36 $
00100101 37  %
00100110 38 &
00100111 39 '
00101000 40 (
00101001 41 )
00101010 42 *
00101011 43 +
00101100 44 ,
00101101 45 -
00101110 46 .
00101111 47 /
00110000 48 0
00110001 49 1
00110010 50 2
00110011 51 3
00110100 52 4
00110101 53 5
00110110 54 6
00110111 55 7
00111000 56 8
00111001 57 9
00111010 58  :
00111011 59  ;
00111100 60 <
00111101 61 =
00111110 62 >
00111111 63  ?
   
Bin Dec Znak
01000000 64 @
01000001 65 A
01000010 66 B
01000011 67 C
01000100 68 D
01000101 69 E
01000110 70 F
01000111 71 G
01001000 72 H
01001001 73 I
01001010 74 J
01001011 75 K
01001100 76 L
01001101 77 M
01001110 78 N
01001111 79 O
01010000 80 P
01010001 81 Q
01010010 82 R
01010011 83 S
01010100 84 T
01010101 85 U
01010110 86 V
01010111 87 W
01011000 88 X
01011001 89 Y
01011010 90 Z
01011011 91 [
01011100 92 \
01011101 93 ]
01011110 94 ^
01011111 95 _
   
Bin Dec Znak Skrót
01100000 96 `
01100001 97 a
01100010 98 b
01100011 99 c
01100100 100 d
01100101 101 e
01100110 102 f
01100111 103 g
01101000 104 h
01101001 105 i
01101010 106 j
01101011 107 k
01101100 108 l
01101101 109 m
01101110 110 n
01101111 111 o
01110000 112 p
01110001 113 q
01110010 114 r
01110011 115 s
01110100 116 t
01110101 117 u
01110110 118 v
01110111 119 w
01111000 120 x
01111001 121 y
01111010 122 z
01111011 123 {
01111100 124 |
01111101 125 }
01111110 126 ~
01111111 127 Delete DEL

Podstawowy zestaw znaków ASCII kodowany jest za pomocą 7 najmłodszych bitów. Kod bitowy znaku masz w kolumnie BIN (ang. binary – dwójkowo). Wartość kodu jako liczba dziesiętna znajduje się w kolumnie DEC. Zwróć uwagę, że pierwszy bit (zwany najstarszym lub najbardziej znaczącym bitem – ang. msb = most significant bit) jest w tych kodach ustawiony na 0. Kod znaku potraktowany jak liczba daje wartości od 0 (00000000) do 127 (01111111). Jeśli przyjrzysz się tej tabeli, to zauważysz, że znaki nie są ułożone w niej chaotycznie, tylko w 4 grupach:

Znaki sterujące (0...31)

0 0 0 x x x x x
znaki sterujące

Pierwszą grupę kodów ASCII tworzą tzw. znaki sterujące (ang. control characters). Posiadają one różne znaczenia w zależności od urządzenia, do którego zostaną przesłane. Zwykle powodują jakieś działanie, np. przejście do początku następnego wiersza (znak LF i CR). W konsoli ekranowej niektóre z tych znaków mogą być wydrukowane, dając dodatkowe symbole. W przypadku mikrokontrolerów znaki będziesz wysyłał do różnych wyświetlaczy. Musisz dokładnie sprawdzić w instrukcji wyświetlacza, jaką funkcję realizują znaki z tej grupy kodów.

Znaki interpunkcyjne i cyfry (32...63)

Drugą grupę kodów ASCII tworzą znaki interpunkcyjne i cyfry. Znak o kodzie 32 (00100000) oznacza spację, czyli pusty odstęp.
0 0 1 1 x x x x
cyfry

Cyfry mają kody od 48 (00110000) do 57 (00110000). Zwróć uwagę, iż po odjęciu liczby 48 od kodu ASCII cyfry (albo wyzerowaniu 4 najstarszych bitów) otrzymasz kod równy wartości tej cyfry:

kod ASCII kod ASCII - 48
BIN DEC Znak BIN DEC
00110000 48 0 00000000 0
00110001 49 1 00000001 1
00110010 50 2 00000010 2
00110011 51 3 00000011 3
00110100 52 4 00000100 4
00110101 53 5 00000101 5
00110110 54 6 00000110 6
00110111 55 7 00000111 7
00111000 56 8 00001000 8
00111001 57 9 00001001 9

Odwrotnie też zadziała. Jeśli do wartości cyfry dodasz liczbę 48, to otrzymasz kod ASCII znaku tej cyfry. Informacje te są istotne, gdy spróbujesz samodzielnie napisać funkcje wypisujące liczby na wyświetlaczu lub w oknie konsoli. W dalszej części kursu pokażę, jak to się robi.

Znaki dużych liter (64...95)

Trzecią grupę tworzą głównie duże litery oraz kilka dodatkowych znaków. Litery mają kody od 65 (01000001 – A) do 90 (01011010 – Z). Litery są ułożone alfabetycznie (w celu ułatwienia operacji porównywania tekstów) od A do Z. Są to jednak znaki łacińskie. Nie znajdziesz wśród nich znaków polskich: Ą, Ć, Ę, ... Po prostu standard podstawowy ASCII ich nie przewiduje. Znaki narodowe trafiły do tzw. rozszerzonych kodów ASCII, w których najstarszy bit ma wartość 1. Dziesiętnie są to kody od 128 do 255 (o tych kodach przeczytasz poniżej).

Znaki małych liter (97...122)

W ostatniej, czwartej grupie kodów ASCII znalazły się małe litery oraz kilka dodatkowych znaków. Zwróć uwagę, że kod małej litery otrzymasz z kodu dużej litery po dodaniu liczby 32:
Litera A: kod 65

65
+ 32 = 97

Litera a: kod 97

Jeśli od kodu małej litery odejmiesz 32, to otrzymasz kod litery dużej. Spostrzeżenie to przyda ci się, gdy będziesz potrzebował zamieniać znaki w tekście z małych na duże lub odwrotnie. Bitowo kody małych i dużych liter różnią się tylko jednym bitem, b5:

Duże litery Małe litery
BIN DEC Litera BIN DEC Litera
01000001 65 A 01100001 97 a
01000010 66 B 01100010 98 b
01000011 67 C 01100011 99 c
... ... ... ... ... ...

W kodach dużych liter bit b5 ma wartość 0, w kodach małych liter bit b5 ma wartość 1.

 

Rozszerzony kod ASCII

0 x x x x x x x   1 x x x x x x x
podstawowy kod
ASCII
  rozszerzony kod
ASCII

Oprócz podstawowego zestawu 128 kodów ASCII (0...127) używa się również kodów rozszerzonych (128...255). W kodach podstawowych najstarszy bit, b7 ma wartość 0. W kodach rozszerzonych bit ten ma wartość 1. W rozszerzonym zestawie znaków ASCII są zdefiniowane znaki narodowe oraz różne dodatkowe znaki graficzne, np. do tworzenia tabelek. Tutaj mogą pojawić się kody polskich znaków, jednak w różnych standardach są to różne kody. Np. standard konsoli Windows (tzw. Latin II lub CP852) obsługuje następujące znaki rozszerzone:

znak(128) = Ç znak(160) = á znak(192) = └ znak(224) = Ó
znak(129) = ü znak(161) = í znak(193) = ┴ znak(225) = ß
znak(130) = é znak(162) = ó znak(194) = ┬ znak(226) = Ô
znak(131) = â znak(163) = ú znak(195) = ├ znak(227) = Ń
znak(132) = ä znak(164) = Ą znak(196) = ─ znak(228) = ń
znak(133) = ů znak(165) = ą znak(197) = ┼ znak(229) = ň
znak(134) = ć znak(166) = Ž znak(198) = Ă znak(230) = Š
znak(135) = ç znak(167) = ž znak(199) = ă znak(231) = š
znak(136) = ł znak(168) = Ę znak(200) = ╚ znak(232) = Ŕ
znak(137) = ë znak(169) = ę znak(201) = ╔ znak(233) = Ú
znak(138) = Ő znak(170) = ¬ znak(202) = ╩ znak(234) = ŕ
znak(139) = ő znak(171) = ź znak(203) = ╦ znak(235) = Ű
znak(140) = î znak(172) = Č znak(204) = ╠ znak(236) = ý
znak(141) = Ź znak(173) = ş znak(205) = ═ znak(237) = Ý
znak(142) = Ä znak(174) = « znak(206) = ╬ znak(238) = ţ
znak(143) = Ć znak(175) = » znak(207) = ¤ znak(239) = ´
znak(144) = É znak(176) = ░ znak(208) = đ znak(240) = ­
znak(145) = Ĺ znak(177) = ▒ znak(209) = Đ znak(241) = ˝
znak(146) = ĺ znak(178) = ▓ znak(210) = Ď znak(242) = ˛
znak(147) = ô znak(179) = │ znak(211) = Ë znak(243) = ˇ
znak(148) = ö znak(180) = ┤ znak(212) = ď znak(244) = ˘
znak(149) = Ľ znak(181) = Á znak(213) = Ň znak(245) = §
znak(150) = ľ znak(182) = Â znak(214) = Í znak(246) = ÷
znak(151) = Ś znak(183) = Ě znak(215) = Î znak(247) = ¸
znak(152) = ś znak(184) = Ş znak(216) = ě znak(248) = °
znak(153) = Ö znak(185) = ╣ znak(217) = ┘ znak(249) = ¨
znak(154) = Ü znak(186) = ║ znak(218) = ┌ znak(250) = ˙
znak(155) = Ť znak(187) = ╗ znak(219) = █ znak(251) = ű
znak(156) = ť znak(188) = ╝ znak(220) = ▄ znak(252) = Ř
znak(157) = Ł znak(189) = Ż znak(221) = Ţ znak(253) = ř
znak(158) = × znak(190) = ż znak(222) = Ů znak(254) = ■
znak(159) = č znak(191) = ┐ znak(223) = ▀ znak(255) =  

Polskie litery w różnych standardach mają kody:

  Ą Ć Ę Ł Ń Ó Ś Ź Ż ą ć ę ł ń ó ś ź ż
Windows 1250 165 198 202 163 209 211 140 143 175 185 230 234 179 241 243 156 159 191
CP852 164 143 168 157 227 224 151 141 189 165 134 169 136 228 162 152 171 190

Różne kodowanie polskich znaków jest przyczyną kłopotów przy wyświetlaniu tekstu w Windows (Linux stosuje konsekwentnie standard ISO-8852-2 w całym systemie). Gdy pracujesz w edytorze, polskie znaki są kodowane wg standardu Windows-1250. Gdy uruchamiasz swój program, to pracuje on wg CP852, jednakże do konsoli wciąż wysyła kody Windows 1250, ponieważ tak było w programie źródłowym. Załóżmy, że chcesz wypisać w konsoli wyraz żółć. Co otrzymasz:

Litera Windows 1250 CP852
ż 191
ó 243 ˇ
ł 179
ć 230 Š

Zamiast słówka żółć w oknie konsoli pojawi się ┐ˇ│Š. Podobnie może być w mikrokontrolerach, jeśli obsługiwany wyświetlacz działa w innym systemie kodowania polskich liter niż edytor. Musisz na to zwrócić w przyszłości uwagę, jeśli zechcesz obsługiwać w swoim programie język polski. Cóż, standardy są dla wielkich, małymi nikt się nie przejmuje.


Na początek:  podrozdziału   strony 

Liczby całkowite

Kod NBC

Liczby są podstawowym elementem przy programowaniu. Dlatego znajomość ich kodowania uważam za kluczową. W tym podrozdziale omówię podstawowe systemy kodowania liczb. Wcześniej podałem sposób kodowania liczb za pomocą bitów. Przypomnijmy:

Liczby kodujemy w systemie dwójkowym za pomocą dwóch cyfr 0 i 1. Wagi pozycji są kolejnymi potęgami liczby 2. Wartość liczby jest sumą wag pozycji zawierających cyfrę 1:

wagi: ... 28
128
26
64
25
32
24
16
23
8
22
4
21
2
20
1
cyfry: ... 1 1 0 0 1 0 1 1
pozycje: ... 7 6 5 4 3 2 1 0
11001011(2) = 1 + 2 + 8 + 64 + 128 = 203

Kod U2

Taki sposób zapisu liczb nosi nazwę naturalnego kodu binarnego czyli NBC (ang. Natural Binary Code). Kod NBC umożliwia kodowanie jedynie liczb dodatnich i zera. Jeśli chcemy również kodować liczby ujemne, to stosujemy tzw. kod uzupełnień do 2, zwany kodem U2. Kod U2 jest bardzo podobny do NBC, jedyną różnicą jest to, iż waga najstarszego bitu jest ujemna. Dzięki temu uzyskujemy możliwość kodowania liczb ujemnych. Zasada obliczania wartości liczby U2 jest identyczna jak dla liczby NBC: liczba jest sumą wag pozycji zawierających cyfry 1:

wagi: ... -28
-128
26
64
25
32
24
16
23
8
22
4
21
2
20
1
cyfry: ... 0 1 0 0 1 0 1 1
pozycje: ... 7 6 5 4 3 2 1 0
01001011(2) = 1 + 2 + 8 + 64 = 113
wagi: ... -28
-128
26
64
25
32
24
16
23
8
22
4
21
2
20
1
cyfry: ... 1 1 0 0 1 0 1 1
pozycje: ... 7 6 5 4 3 2 1 0
01001011(2) = 1 + 2 + 8 + 64 - 128 = -15

Najstarszy bit w liczbie U2 nosi nazwę bitu znaku (ang. sign bit). Jeśli bit znaku ma wartość 0, to liczba jest dodatnia, ponieważ żadna z pozostałych wag nie jest ujemna. Jeśli bit znaku ma wartość 1, to liczba jest ujemna, ponieważ suma pozostałych wag nie równoważy wartości wagi ujemnej.

Zakresy liczb

Liczby są przechowywane w pamięci komputera w postaci określonej liczby bitów. Najczęściej będzie to: 8, 16, 32 i 64 bity. Im więcej bitów w liczbie, tym większy zakres wartości może ona przybierać.

Policzmy zakres liczb NBC:

Najmniejszą wartość uzyskamy, gdy wszystkie bity będą zerami. Wtedy wartość liczby wynosi 0, ponieważ nie zawiera ona żadnej wagi.

Największą wartość otrzymamy, gdy wszystkie bity będą jedynkami. Wtedy każda waga wchodzi do liczby. Jaką wartość przyjmuje liczba NBC, jeśli składa się z n jedynek? Spójrz poniżej:

Ilość bitów Liczba NBC Wartość Związek
1 1 1 2 - 1 21 - 1
2 11 3 4 - 1 22 - 1
3 111 7 8 - 1 23 - 1
4 1111 15 16 - 1 24 - 1
5 11111 31 32 - 1 25 - 1
6 111111 63 64 - 1 26 - 1
7 1111111 127 128 - 1 27 - 1
8 11111111 255 256 - 1 28 - 1
... ... ... ... ...
16 1111...1111 65535   216 - 1
... ... ...   ...
32 1111...1111 4294967295   232 - 1
... ... ...   ...
64 1111...1111 18446744073709551615   264 - 1
... ... ...   ...
n 1111...1111 2n - 1    

W tabelce podane są wartości liczb binarnych zbudowanych z coraz większej liczby jedynek. Zauważamy, że wartość takiej liczby jest równa 2n - 1, gdzie n oznacza ilość jedynek. Na tej podstawie zapisujemy, że zakres n bitowych liczb w kodzie NBC jest równy:

0 ... 2n - 1

A teraz liczby U2. Najmniejszą wartość uzyskamy, gdy bit znaku będzie ustawiony na 1, a wszystkie pozostałe bity będą równe 0. Wartość takiej liczby składa się tylko z wagi ujemnej.

Ilość bitów Liczba U2 Wartość Związek
1 1 -1 -(20) -(21-1)
2 10 -2 -(21) -(22-1)
3 100 -4 -(22) -(23-1)
4 1000 -8 -(23) -(24-1)
5 10000 -16 -(24) -(25-1)
6 100000 -32 -(25) -(26-1)
7 1000000 -64 -(26) -(27-1)
8 10000000 -128 -(27) -(28-1)
... ... ... ... ...
16 1000...0000 -32768 -(215) -(216-1)
... ... ... ... ...
32 1000...0000 -2147483648 -(231) -(232-1)
... ... ... ... ...
64 1000...0000 -9223372036854775808 -(263) -(264-1)
... ... ... ... ...
n 1000...0000 -(2n-1)    

Liczba U2 przyjmuje największą wartość, gdy bit znaku jest ustawiony na 0, a wszystkie pozostałe bity mają wartość 1. Wtedy wartość liczby zawiera wszystkie wagi dodatnie.

Ilość bitów Liczba U2 Wartość Związek
1 0 0 20 - 1 21-1 - 1
2 01 1 21 - 1 22-1 - 1
3 011 3 22 - 1 23-1 - 1
4 0111 7 23 - 1 24-1 - 1
5 01111 15 24 - 1 25-1 - 1
6 011111 31 25 - 1 26-1 - 1
7 0111111 63 26 - 1 27-1 - 1
8 01111111 127 27 - 1 28-1 - 1
... ... ... ... ...
16 0111...1111 32767 215 - 1 216-1 - 1
... ... ... ... ...
32 0111...1111 2147483647 231 - 1 232-1 - 1
... ... ... ... ...
64 0111...1111 9223372036854775807 263 - 1 264-1 - 1
... ... ... ... ...
n 0111...1111 2n-1 - 1    

I ostatecznie otrzymujemy zakres n bitowej liczby U2:

-(2n-1)...2n-1 - 1

Porównajmy zakresy liczb NBC i U2 w typowych formatach:

Ilość bitów Zakres NBC Zakres U2
4 0...15 -8...7
8 0...255 -128...127
12 0...4095 -2048...2047
16 0...65535 -32768...32767
32 0...4294967295 -2147483648...2147483647
64 0...18446744073709551615 -9223372036854775808...9223372036854775807

Na początek:  podrozdziału   strony 

Liczby ósemkowe

Kody binarne są dla ludzi mało czytelne. Łatwo tu o pomyłkę. Dlatego programiści chętniej stosują inne systemy liczbowe, które jednak w prosty sposób odwzorowują kod dwójkowy. Takim systemem jest system ósemkowy zwany również oktalnym.

W systemie ósemkowym podstawa wynosi 8 i do zapisu liczby stosujemy 8 cyfr od 0 do 7. Ponieważ liczba 8 jest potęgą liczby 2 (8 = 23), to istnieje bardzo prosty sposób konwersji pomiędzy systemem ósemkowym a dwójkowym (konwersja polega na zapisaniu tej samej liczby w innym systemie liczbowym). Będzie potrzebna tabela wartości cyfr ósemkowych w systemie dwójkowym:

Cyfra ósemkowa Wartość dwójkowa
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111

Naucz się na pamięć tej tej tabelki lub zapamiętaj, że cyfrze ósemkowej zawsze będzie odpowiadała trzybitowa liczba NBC o wartości tej cyfry.

Liczbę dwójkową konwertujemy na ósemkową następująco:

Mamy liczbę dwójkową:
01111110100100010001000111(2)

Dzielimy ją na grupy po 3 bity poczynając od prawej strony:

01 111 110 100 100 010 001 000 111

Jeśli ostatnia grupa nie zawiera 3 bitów, to uzupełniamy je bitami 0 do trójki:

001 111 110 100 100 010 001 000 111

Każdą trójkę bitów zastępujemy odpowiadającą jej cyfrą ósemkową z tabelki:

001 111 110 100 100 010 001 000 111
1 7 6 4 4 2 1 0 7

Konwersja skończona:

01111110100100010001000111(2) = 176442107(8)

Otrzymana w ten sposób liczba ósemkowa posiada dokładnie taką samą wartość jak wyjściowa liczba dwójkowa. Czytelność liczby ósemkowej jest dużo większa od odpowiadającej jej liczby dwójkowej.

W odwrotną stronę postępujemy podobnie:

Mamy liczbę ósemkową:
2607531(8)

Zamieniamy każdą jej cyfrę na grupę 3 bitów zgodnie z tabelką:

2 6 0 7 5 3 1
010 110 000 111 101 011 001

Konwersja skończona:

2607531(8) = 010110000111101011001(2)

Gdy nabierzesz wprawy, będziesz wykonywał taką konwersję w locie.


Na początek:  podrozdziału   strony 

Liczby szesnastkowe

Drugim chętnie stosowanym systemem zapisu liczb jest system szesnastkowy zwany również heksadecymalnym. W systemie szesnastkowym podstawa wynosi 16 (24) i liczby zapisujemy za pomocą 16 cyfr. Ponieważ cyfry kończą się na 9, to za brakujące przyjęto 6 początkowych liter alfabetu od A do F. Wartości cyfr szesnastkowych są następujące:
Cyfra szesnastkowa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Wartość cyfry 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Do konwersji używamy tabelki zamiany cyfr szesnastkowych na bity. Każda cyfra szesnastkowa odpowiada 4 bitom. Naucz się tej tabelki na pamięć:

Cyfra szesnastkowa Wartość dwójkowa
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111

Konwersji dokonujemy podobnie jak przy konwersji ósemkowej:

Mamy liczbę dwójkową:
01111110100100010001000111(2)

Dzielimy ją na grupy po 4 bity poczynając od prawej strony:

01 1111 1010 0100 0100 0100 0111

Jeśli ostatnia grupa nie zawiera 4 bitów, to uzupełniamy je bitami 0 do czwórki:

0001 1111 1010 0100 0100 0100 0111

Każdą czwórkę bitów zastępujemy odpowiadającą jej cyfrą szesnastkową z tabelki:

0001 1111 1010 0100 0100 0100 0111
1 F A 4 4 4 7

Konwersja skończona:

01111110100100010001000111(2) = 1FA4447(16)

W drugą stronę:

Mamy liczbę szesnastkową:
6FB87A3(16)

Zamieniamy każdą jej cyfrę na grupę 4 bitów zgodnie z tabelką:

6 F B 8 7 A 3
0110 1111 1011 1000 0111 1010 0011

Konwersja skończona:

6FB87A3(16) = 0110111110111000011110100011(2)

Liczby szesnastkowe lepiej oddają wartości dwójkowe przetwarzane przez komputer niż liczby ósemkowe. Na przykład bajt można ładnie przedstawić za pomocą dwóch cyfr szesnastkowych (4 + 4 bity). Natomiast liczba ósemkowa bajt musi zakodować za pomocą 3 cyfr (2 + 3 + 3 bity).


Na początek:  podrozdziału   strony 

Liczby zmiennoprzecinkowe

Kod NBC pozwala zapisywać liczby całkowite dodatnie oraz liczbę zero.

Kod U2 pozwala zapisywać liczby całkowite dodatnie, ujemne oraz liczbę zero.

Jak zapisać za pomocą bitów liczby ułamkowe, które są potrzebne do różnych obliczeń naukowych? Reguły kodowania liczb ułamkowych wymyślono dawno temu. Już w roku 1936 Konrad Zuse zbudował pierwszy na świecie komputer dwójkowy, który pracował z takimi właśnie liczbami. Aby zrozumieć sposób zapisu liczb ułamkowych, posłużmy się liczbami dziesiętnymi. Przecinek rozdziela część całkowitą od ułamkowej:

wagi: ... 103
1000
102
100
101
10
100
1
  10-1
1/10
10-2
1/100
10-3
1/1000
10-4
1/10000
...
cyfry: ... 2 7 1 5 , 3 2 9 4  
pozycje: ... 3 2 1 0   -1 -2 -3 -4 ...
    część
całkowita
  część
ułamkowa
2 · 103 + 7 · 102 + 1 · 101 + 5 · 100 + 3 · 10-1 + 2 · 10-2 + 9 · 10-3 + 4 · 10-4

Cyfry po lewej stronie przecinka określają część całkowitą liczby. Ich pozycje numerujemy kolejno od zera w górę w kierunku z prawa na lewo. Wagi pozycji całkowitych są potęgami podstawy o wykładniku równym numerowi pozycji.

Cyfry po lewej stronie przecinka określają część ułamkową liczby. Ich pozycje numerujemy od -1 w kierunku coraz większych liczb ujemnych. Zwróć uwagę, że jest to zupełnie naturalne przedłużenie numeracji pozycji obecnej po stronie całkowitej. Wagi pozycji w części ułamkowej również są potęgami podstawy o wykładnikach równych numerom pozycji, tylko teraz te wykładniki to liczby ujemne. Z matematyki wiemy, że:

Stąd otrzymujemy wagi ułamkowe: 0,1 0,01 0,001 ... Zasada obliczania wartości liczby nie ulega zmianie: mnożymy cyfry przez ich wagi i sumujemy otrzymane iloczyny.

W systemie dwójkowym jest dokładnie tak samo. Zmieniają się tylko wartości wag pozycji, które teraz będą potęgami liczby 2, a nie 10.

wagi: ... 23
8
22
4
21
2
20
1
  2-1
1/2
2-2
1/4
2-3
1/8
2-4
1/16
...
cyfry: ... 1 1 0 1 , 1 1 0 1  
pozycje: ... 3 2 1 0   -1 -2 -3 -4 ...
    część
całkowita
  część
ułamkowa
1101,1101(2) = 8 + 4 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/16
1101,1101(2) = 13 + 13/16
1101,1101(2) = 13,8125

Taki zapis liczby nosi nazwę zapisu stałoprzecinkowego (ang. fixed point notation). Jeśli chcemy zakodować liczbę w tym systemie, musimy określić pozycję przecinka, ponieważ nie jest on bitem i nie można go sobie tak wstawić pomiędzy cyfry dwójkowe. Po prostu liczbę 1101,1101 zapisujemy w pamięci jako 11011101, lecz pamiętamy, że ostatnie cztery bity są bitami ułamkowymi.

Z zapisem zmiennoprzecinkowym spotkałeś się na pewno na fizyce, gdy należało zapisać jakieś bardzo duże lub bardzo małe liczby. Na przykład:

2,4 · 1067

Zwróć uwagę, że tak zapisana liczba składa się faktycznie z trzech osobnych liczb:
2,4 – mantysa m, określa wartość podstawową liczby
10 – podstawa systemu zapisu liczb p
67 – cecha c, określa wykładnik

Wartość liczby liczymy jako m · pc.

Liczba tak zapisana nosi nazwę liczby zmiennoprzecinkowej (ang. floating point number). Dlaczego? Zmieniając odpowiednio mantysę i cechę możemy ustawić przecinek w dowolnym miejscu:

2,4 · 1067 = 0,24 · 1068 = 0,024 · 1069 = 24,0 · 1066 = 240 · 1065 = ...

Dlatego umówiono się, że liczby takie będą zawsze prezentowane w postaci znormalizowanej, tzn. takiej, iż mantysa ma wartość pomiędzy 1 a 10. Z liczby zmiennoprzecinkowej wystarczy zapamiętać mantysę i cechę, ponieważ wiemy, że podstawą systemu dziesiętnego jest 10. Zatem w postaci znormalizowanej nasza liczba może być zapisana jako:

2,4 67

Niektóre kalkulatory w ten właśnie sposób prezentują liczby zmiennoprzecinkowe (zwane również inżynierskimi lub naukowymi):

obrazek

-1,234567809 · 10-35

Jak odnieść to do systemu dwójkowego? Prosto: w kodzie liczby należy zapamiętać cechę oraz znormalizowaną mantysę. Tutaj przyjęto, iż znormalizowana mantysa ma wartość mniejszą 1. Wagi mantysy dwójkowej są następujące:

wagi: ... 2-1
1/2
2-2
1/4
2-3
1/8
2-4
1/16
...
cyfry: ... 0/1 0/1 0/1 0/1 ...
pozycje: ... -1 -2 -3 -4 ...

Na początku dodajemy jeden bit znaku:
bit znaku 0 – mantysa jest dodatnia

bit znaku 1 – mantysa jest ujemna

Oprócz mantysy w kodzie liczby zostaje również umieszczona cecha, np. jako liczba U2. Dla przykładu stwórzmy taki "szkolny" kod zmiennoprzecinkowy. Umówmy się, że pierwsze cztery bity będą określały cechę liczby w kodzie U2, kolejny bit będzie bitem znaku mantysy, a ostatnie trzy bity będą reprezentowały  mantysę:

wagi: -(23)
-8
22
4
21
2
20
1

 

2-1
1/2
2-2
1/4
2-3
1/8
cyfry: c c c c z m m m
  cecha mantysa
c bit cechy
z bit znaku
m bit mantysy

Załóżmy, że mamy następujący kod:
00100101

Rozdzielamy go na części składowe:
0010 0 101

0010 – cecha = 2
0  – bit znaku, mantysa dodatnia

101 – bity ułamkowe mantysy, 1/2 + 1/8 = 5/8

Obliczamy wartość:
m · pc = 5/8 · 22 = 5/8 · 4 = 5/2 = 2,5

Inny przykład:
11011111
1101 1 111
1101 – cecha = -8 + 4 + 1 = -3
1 – bit znaku, mantysa ujemna
111 – bity ułamkowe mantysy, m =  -(1/2 + 1/4 + 1/8) = -(7/8)

Obliczamy wartość:
m · pc = -(7/8) · 2-3 = -(7/8) · 1/8 = -(7/64) = -0,109375

Liczba bitów mantysy określa tzw. precyzję liczby. Im tych bitów więcej, tym dokładniej można odwzorować daną wartość rzeczywistą. W naszym przykładowym systemie zmiennopozycyjnym mantysa posiada długość 3 bitów. Pozwala ona zakodować tylko takie liczby binarne, które można sprowadzić do tych 3 bitów przez usunięcie zer wiodących lub końcowych: np.: 111 1010  0,0111 itp. Natomiast nie da się zakodować liczb: 1001 111100 0,1011. Liczby te wymagają precyzji 4 bitów (po usunięciu zer wiodących i końcowych pozostają nam 4 bity, a mantysa potrafi zapamiętać tylko 3 bity).

Liczba bitów cechy wpływa na zakres wartości. Im tych bitów więcej, tym większy jest zakres liczb zmiennoprzecinkowych.

Zagadnienia związane z liczbami zmiennoprzecinkowymi są trudne dla początkujących. Dlatego zakończymy ich opis w tym miejscu, aby nie zanudzać cię zbędnymi ci w tym momencie szczegółami technicznymi. Jeśli chcesz wiedzieć więcej na ten temat, to proponuję ci przeczytanie artykułu o binarnym kodowaniu liczb.

Zapraszamy do następnego rozdziału.


Na początek:  podrozdziału   strony 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2024 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.