Serwis Edukacyjny w I-LO w Tarnowie Materiały dla uczniów liceum |
Wyjście Spis treści Wstecz Dalej
Autor artykułu: mgr Jerzy
Wałaszek |
©2024 mgr Jerzy Wałaszek
|
Jeśli zmienimy nieco punkt podejścia, to iloraz różnicowy wyrazi się wzorem:
W tej postaci łatwo
zinterpretować iloraz różnicowy: |
Jest to tangens kąta, który tworzy z osią OX sieczna przechodząca przez punkty wykresu funkcji dla argumentów a i b. Po co nam ten tangens? Otóż okazuje się, że jest bardzo użyteczny. Informuje nas on o tym, jak rośnie funkcja pomiędzy punktami o współrzędnych x równych a i b. Jeśli tangens jest dodatni, to mamy wzrost wartości funkcji. Jeśli tangens jest ujemny, to mamy spadek wartości funkcji. A jeśli tangens wynosi zero, to funkcja ani nie rośnie, ani nie maleje.
Wracając do pierwotnego zapisu, otrzymujemy:
Iloraz różnicowy funkcji jest ilorazem przyrostu wartości funkcji do przyrostu jej argumentu.
Dostajemy wiązkę prostych, które przechodzą przez punkt
Zastępując a i b odpowiednio przez x0 oraz x, otrzymamy:
Wzór ten definiuje pochodną funkcji f w punkcie x0. Wartość pochodnej jest granicą ilorazu różnicowego, gdy x zbliża się do punktu x0.
Operując przyrostami argumentu oraz funkcji, mamy alternatywną definicję pochodnej w punkcie x0:
Wyrażenia tego nie można normalnie obliczyć, ponieważ w
granicy mamy w mianowniku ułamka zero. Dzielenie przez zero jest
działaniem nieokreślonym. Należy zatem postępować wg reguł
obliczania granic. Aby granica ta istniała, funkcja musi
posiadać granice lewo i prawostronną w punkcie
Przykład:
Obliczyć pochodną funkcji:
w punkcie x0 = 1.
Liczymy:
Pochodną funkcji f nazywamy taką funkcję g, która dla każdego x z dziedziny funkcji f przyjmuje wartość pochodnej funkcji f w punkcie x:
Funkcję taką wyprowadziliśmy w podanym powyżej przykładzie:
Funkcję pochodną oznaczamy znakami apostrofów. Często jednak stosuje się alternatywne zapisy:
Wyznaczanie funkcji pochodnej z definicji jest dosyć żmudne i łatwo popełnić tutaj błąd. Zagadnienie to jest opracowywane przez matematyków już od czasu Newtona. Wypracowano dobre i szybkie metody obliczania pochodnych. Musisz się jedynie nauczyć ich na pamięć.
Na początek pochodne funkcji podstawowych:
Pochodne funkcji złożonych:
Pokażemy kilka przykładów obliczania pochodnych na podstawie podanych powyżej wzorów.
Przykład:
Oblicz pochodną funkcji:
Przed przystąpieniem do obliczeń zawsze rozpoznajemy rodzaj przypadku, z którym mamy do czynienia. Tutaj jest to suma dwóch funkcji składowych:
Skoro tak, to pochodną liczymy wg wzoru:
Liczymy zatem pochodne funkcji składowych. Najpierw
pochodna funkcji
Wykorzystaliśmy wzór pochodnej funkcji mnożonej przez stałą oraz pochodną funkcji potęgowej.
A następnie pochodna funkcji
Gdy mamy obie pochodne funkcji składowych, przechodzimy do pochodnej funkcji głównej:
Przykład:
Obliczyć pochodną funkcji:
Tutaj mamy do czynienia z iloczynem dwóch funkcji składowych:
Stosujemy zatem wzór na pochodną iloczynu funkcji:
Przykład:
Obliczyć pochodną funkcji:
Funkcja jest ilorazem funkcji składowych:
Liczymy pochodną ilorazu funkcji:
Przykład:
Oblicz pochodną funkcji:
A tutaj mamy do czynienia ze złożeniem dwóch funkcji:
Liczymy zatem pochodną złożenia funkcji:
Obliczając pochodne bardziej złożonych funkcji staramy się je rozbić na sumy, iloczyny, ilorazy lub złożenia. Następnie liczymy pochodne poszczególnych funkcji składowych i z nich składamy pochodną funkcji wejściowej. Ponieważ obliczenia są żmudne, zaopatrz się w odpowiedni program w stylu MathCAD. W sieci Internet są wersje darmowe.
Przykład:
Obliczyć pochodną funkcji:
Dokonujemy analizy:
Liczymy pochodne funkcji składowych i syntezujemy z nich pochodne następnych funkcji aż dojdziemy do funkcji podstawowej:
Pierwsza pochodna funkcji f jest otrzymywana z obliczania granicy ilorazu różnicowego. Drugą pochodną otrzymamy obliczając pochodną pochodnej.
Przykład:
Obliczyć 2 pochodną funkcji:
Liczymy pierwszą pochodną:
Teraz obliczamy pochodną pochodnej:
W podobny sposób otrzymujemy pochodne wyższych rzędów. Np. pochodna trzeciego stopnia z funkcji f jest pochodną jej drugiej pochodnej. Największe zastosowanie w matematyce mają pochodne pierwszego i drugiego stopnia.
O zastosowaniu pochodnych napisano całe tomy dzieł matematycznych. W matematyce stosuje się je do badania przebiegu funkcji, czyli do określania przedziałów, w których funkcja rośnie, maleje, posiada maksima i minima.
Przykład:
Zbadać przebieg funkcji:
Obliczamy pierwszą pochodną:
Znajdujemy pierwiastki pochodnej, czyli takie x,
dla których
W tych miejscach funkcja przyjmuje tzw. lokalne maksimum lub lokalne minimum. Mamy zatem trzy przedziały zmienności funkcji:
Teraz należy rozstrzygnąć, jak zachowuje się funkcja f w każdym z tych przedziałów. Wystarczy naszkicować sobie wykres pierwszej pochodnej, która jest zwykłą funkcją kwadratową. Nie musi być dokładny. Chodzi tylko o stwierdzenie, w których przedziałach pochodna jest dodatnia, a w których ujemna. Wiemy, że wykresem jest parabola. Znamy punkty przecięcia tej paraboli z osią OX – to nasze pierwiastki x1 i x2. Ramiona paraboli będą zwrócone w górę, ponieważ współczynnik a (stojący przy x2) jest dodatni:
Z wykresu odczytujemy, że:
Oznacza to, że funkcja f :
W punkcie x1 jest lokalne maximum, czyli miejsce, w którym funkcja przestaje rosnąć a zaczyna maleć. Rozpoznajemy je po tym, że przy przejściu przez x1 (idziemy zawsze wzdłuż kierunku osi liczbowej) pierwsza pochodna zmienia znak z + na -.
W punkcie x2 jest lokalne minimum, czyli miejsce, w którym funkcja przestaje maleć a zaczyna rosnąć. Rozpoznajemy je po tym, że przy przejściu przez x2 pierwsza pochodna zmienia znak z - na +.
Porównajmy teraz wykres funkcji (kreska niebieska) z wykresem jej pochodnej (kreska pomarańczowa):
Pochodną można też traktować jako współczynnik kierunkowy
stycznej do wykresu funkcji w punkcie
Przykład:
Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji:
w punkcie x0 = π/4.
Liczymy pochodną:
Liczymy wartość tangensa kierunkowego, który jest równy wartości pochodnej w wybranym punkcie:
Styczna jest prostą o równaniu:
Musimy znaleźć wartość c. Wiemy jednak, że
prosta ta przechodzi przez punkt
I ostatecznie:
W
fizyce pochodne stosowane są w dynamice. Jeśli znamy funkcję
drogi w czasie s
Przykład:
Ciało o masie m
pokonuje drogę
Wyznaczyć w funkcji czasu prędkość tego ciała, jego przyspieszenie oraz działającą nań siłę.
Liczymy:
Współrzędne x, y i z są zwykłymi wartościami skalarnymi i możemy je przedstawić w postaci funkcji pewnego parametru t :
Wtedy otrzymamy funkcję wektorową:
Dla takiej funkcji można obliczać pochodne wg podanych wyżej zasad:
Pochodna funkcji wektorowej jest równa sumie iloczynów wersorów osi przez pochodne funkcji współrzędnych.
Obowiązują następujące wzory:
Przykład:
Z działa umieszczonego na wysokości h wystrzelono poziomo pocisk z prędkością początkową v0. Wyprowadź funkcje wektorowe prędkości i przyspieszenia.W kierunku osi OX ciało porusza się ze stałą prędkością v0, pokonuje zatem drogę:
W kierunku osi OY ciało spada pod wpływem siły ciążenia i jego wysokość zmienia się zgodnie ze wzorem:
Wektor położenia ciała ma postać:
Wektor prędkości otrzymamy jako pierwszą pochodną wektora położenia:
Wektor przyspieszenia jest pierwszą pochodną wektora prędkości (drugą pochodną wektora położenia):
Przyspieszenie jest wektorem stałym i skierowanym pionowo w dół (składowa pozioma jest równa 0).
Podsumujmy:
Jeśli opanujesz zasady różniczkowania (obliczania pochodnych), to obliczenia wektorowe nie sprawią ci większych trudności.
Mówimy, że funkcja
Stałą C nazywamy stałą całkowania i musimy pamiętać, aby dołączyć ją do podstawowej funkcji pierwotnej.
Wzory na niektóre całki otrzymujemy bezpośrednio z wzorów na pochodne funkcji:
Do obliczania całek wykorzystuje się kilka podstawowych własności:
Jest tego całkiem sporo. Nauczenie się całkowania wymaga długiego czasu i mnóstwa ćwiczeń. Dobrą inwestycją (co ciągle powtarzam) jest program MathCAD, który liczy symbolicznie całki funkcji całkowalnych. Nie wszystkie funkcje daje się scałkować i tutaj nawet MathCAD nic nie poradzi. Jeśli nie stać cię na MathCAD'a, to w sieci znajdziesz wiele tzw. Integral Calculators, które całkiem sprawnie liczą różne całki. Istnieje kilka metod całkowania, bazujących na podanych wyżej wzorach.
Przykład:
Obliczyć całkę:
Zasadą jest sprowadzenie całki do postaci podstawowej, którą policzymy ze wzorów. W tym przypadku w funkcji podcałkowej mamy mnożenie przez stałą 3, którą możemy wyprowadzić przed znak całki, a wtedy operacja stanie się banalnie prosta:
Przykład:
Obliczyć całkę:
Funkcja podcałkowa złożona jest z sumy dwóch funkcji. Całka sumy funkcji jest równa sumie całek tych funkcji, zatem:
Stosujemy tę metodę, gdy pod całką występuje iloczyn funkcji. Wykorzystujemy wzór:
Przykład:
Obliczyć całkę:
Ustalamy i liczymy:
Przykład:
Obliczyć całkę:
Przykład:
Obliczyć całkę:
Przykład:
Obliczyć całkę:
Ten rodzaj całkowania stosujemy, jeśli funkcję podcałkową można zapisać w postaci:
Wtedy stosujemy podstawienie:
Przykład:
Obliczyć całkę:
Stosujemy podstawienie:
Przykład:
Obliczyć całkę:
Przykład:
Obliczyć całkę:
Opisana wyżej całka nosi nazwę całki nieoznaczonej (ang. indefinite integral). Jest to funkcja pierwotna. W zastosowaniu są również tzw. całki oznaczone (ang. definite integral). Nieformalnie mówiąc, całka oznaczona jest polem pomiędzy osią OX a wykresem funkcji, które jest dodatnie nad osią i ujemne pod nią. Całkę oznaczoną zawsze liczy się w pewnych granicach, które określają przedział całkowania:
Jeśli potrafimy policzyć całkę nieoznaczoną funkcji f, to wartość pola S można policzyć za pomocą wzoru Newtona:
Przykład:
Obliczyć całkę oznaczoną:
Liczymy całkę nieoznaczoną:
Jeśli nie potrafimy obliczyć
całki nieoznaczonej
(niektóre funkcje nie są całkowalne),
to stosuje się metody przybliżone, np. metodę prostokątów, trapezów lub
Simpsona. W naszym serwisie jest
osobny artykuł na temat tych metod. Najprostsza jest metoda prostokątów.
Polega ona na tym, iż pole pod wykresem funkcji w przedziale
W przedziale całkowania wyznaczamy n
równoodległych punktów
Następnie wyznaczamy punkty:
Dla każdego z tych punktów obliczamy wartość całkowanej funkcji:
Pole i-tego prostokąta jest równe:
Przybliżona wartość całki oznaczonej jest sumą pól tych prostokątów. Zwróć uwagę, że tak wyliczone pola są dodatnie, jeśli yi jest dodatnie, a ujemne, jeśli yi jest ujemne:
Dokładność przybliżenia zwiększa się przy wzroście n. Zaletą tej metody jest to, że pozwala ona znaleźć wartość całki oznaczonej dla dowolnej funkcji ciągłej w przedziale całkowania. Wadą natomiast jest to, iż musimy wykonywać żmudne obliczenia, ale to akurat mogą za nas zrobić komputery.
Przykład:
Obliczyć całkę oznaczoną:
Z poprzednich obliczeń wiemy, że dokładna wartość tej całki wynosi 1.
Przyjmujemy
Otrzymaliśmy wynik 0,8, co jest dosyć bliskie 1. Większą dokładność uzyskalibyśmy przy zwiększeniu n. Nie chcę zanudzać czytelnika obliczeniami. W poniższej tabelce zebrałem ich wyniki dla kilku wartości n. Obliczenia wykonałem w arkuszu kalkulacyjnym:
n | S |
10 | 0,9194032 |
100 | 0,9921255 |
1000 | 0,9992144 |
Drobna modyfikacja metody prostokątów prowadzi do metody trapezów, która posiada o wiele lepszą dokładność. Pole pod wykresem funkcji przybliżamy za pomocą trapezów, które dokładniej odwzorowują przebieg funkcji:
Zasada jest prawie identyczna jak dla metody prostokątów. Przedział całkowania
dzielimy na
Dla tak policzonych punktów xi obliczamy wartości całkowanej funkcji. Pola trapezów będą równe:
Przybliżona wartość całki oznaczonej jest sumą tych pól:
Przykład:
Obliczyć całkę oznaczoną:
W obliczeniach wykorzystamy wyniki pośrednie wyliczone w poprzednim przykładzie:
Przykład pokazuje wyraźnie, że metoda trapezów daje dużo lepsze wyniki od metody prostokątów. Nie jest przy tym specjalnie bardziej żmudna obliczeniowo. Z tego powodu poleca się ją do wyliczania wartości całek oznaczonych.
Więcej na ten temat znajdziesz w osobnych artykułach: "Całkowanie numeryczne" i "Metody numeryczne".
Zespół Przedmiotowy Chemii-Fizyki-Informatyki w I Liceum Ogólnokształcącym im. Kazimierza Brodzińskiego w Tarnowie ul. Piłsudskiego 4 ©2024 mgr Jerzy Wałaszek |
Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email:
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe.