Teoria

W matematyce często używa się tzw. ilorazu różnicowego funkcji (ang. difference quotient), który definiujemy jako:

Jeśli zmienimy nieco punkt podejścia, to iloraz różnicowy wyrazi się wzorem:

Jest to tangens kąta, który tworzy z osią OX sieczna przechodząca przez punkty wykresu funkcji dla argumentów a i b. Po co nam ten tangens? Otóż okazuje się, że jest bardzo użyteczny. Informuje nas on o tym, jak rośnie funkcja pomiędzy punktami o współrzędnych x równych a i b. Jeśli tangens jest dodatni, to mamy wzrost wartości funkcji. Jeśli tangens jest ujemny, to mamy spadek wartości funkcji. A jeśli tangens wynosi zero, to funkcja ani nie rośnie, ani nie maleje.

Wracając do pierwotnego zapisu, otrzymujemy:

Iloraz różnicowy funkcji jest ilorazem przyrostu wartości funkcji do przyrostu jej argumentu.

Jak zachowuje się iloraz różnicowy funkcji, gdy b będzie się zbliżało do a? Prześledźmy to na wykresie:

Dostajemy wiązkę prostych, które przechodzą przez punkt (a,f(a)) i zmierzają do stycznej w punkcie (a,f(a)). Styczną osiągniemy w granicy, gdy b będzie równe a. Granica ta nazywa się wartością pierwszej pochodnej funkcji f w punkcie x = a. Formalnie zapisujemy to jako:

Zastępując a i b odpowiednio przez x₀ oraz x, otrzymamy:

Wzór ten definiuje pochodną funkcji f  w punkcie x₀. Wartość pochodnej jest granicą ilorazu różnicowego, gdy x zbliża się do punktu x₀.

Operując przyrostami argumentu oraz funkcji, mamy alternatywną definicję pochodnej w punkcie x₀:

Wyrażenia tego nie można normalnie obliczyć, ponieważ w granicy mamy w mianowniku ułamka zero. Dzielenie przez zero jest działaniem nieokreślonym. Należy zatem postępować wg reguł obliczania granic. Aby granica ta istniała, funkcja musi posiadać granice lewo i prawostronną w punkcie x = a i obie te granice muszą być równe. Jak pamiętamy z rozdziału o  funkcjach, oznacza to, że funkcja w punkcie x = a jest ciągła.

Przykład:

Obliczyć pochodną funkcji:

w punkcie x₀ = 1.

Liczymy:

Pochodną funkcji f nazywamy taką funkcję g, która dla każdego x z dziedziny funkcji f przyjmuje wartość pochodnej funkcji f w punkcie x:

Funkcję taką wyprowadziliśmy w podanym powyżej przykładzie:

Funkcję pochodną oznaczamy znakami apostrofów. Często jednak stosuje się alternatywne zapisy:

Wyznaczanie funkcji pochodnej z definicji jest dosyć żmudne i łatwo popełnić tutaj błąd. Zagadnienie to jest opracowywane przez matematyków już od czasu Newtona. Wypracowano dobre i szybkie metody obliczania pochodnych. Musisz się jedynie nauczyć ich na pamięć.

Na początek pochodne funkcji podstawowych:

Pochodne funkcji złożonych:

Obliczanie pochodnych

Pokażemy kilka przykładów obliczania pochodnych na podstawie podanych powyżej wzorów.

Przykład:

Oblicz pochodną funkcji:

Przed przystąpieniem do obliczeń zawsze rozpoznajemy rodzaj przypadku, z którym mamy do czynienia. Tutaj jest to suma dwóch funkcji składowych:

Skoro tak, to pochodną liczymy wg wzoru:

Liczymy zatem pochodne funkcji składowych.  Najpierw pochodna funkcji g(x):

Wykorzystaliśmy wzór pochodnej funkcji mnożonej przez stałą oraz pochodną funkcji potęgowej.

A następnie pochodna funkcji h(x):

Gdy mamy obie pochodne funkcji składowych, przechodzimy do pochodnej funkcji głównej:

Przykład:

Obliczyć pochodną funkcji:

Tutaj mamy do czynienia z iloczynem dwóch funkcji składowych:

Stosujemy zatem wzór na pochodną iloczynu funkcji:

Przykład:

Obliczyć pochodną funkcji:

Funkcja jest ilorazem funkcji składowych:

Liczymy pochodną ilorazu funkcji:

Przykład:

Oblicz pochodną funkcji:

A tutaj mamy do czynienia ze złożeniem dwóch funkcji:

Liczymy zatem pochodną złożenia funkcji:

Obliczając pochodne bardziej złożonych funkcji staramy się je rozbić na sumy, iloczyny, ilorazy lub złożenia. Następnie liczymy pochodne poszczególnych funkcji składowych i z nich składamy pochodną funkcji wejściowej. Ponieważ obliczenia są żmudne, zaopatrz się w odpowiedni program w stylu MathCAD. W sieci Internet są wersje darmowe.

Przykład:

Obliczyć pochodną funkcji:

Dokonujemy analizy:

Liczymy pochodne funkcji składowych i syntezujemy z nich pochodne następnych funkcji aż dojdziemy do funkcji podstawowej:

Pochodne wyższych rzędów

Pierwsza pochodna funkcji f jest otrzymywana z obliczania granicy ilorazu różnicowego. Drugą pochodną otrzymamy obliczając pochodną pochodnej.

Przykład:

Obliczyć 2 pochodną funkcji:

Liczymy pierwszą pochodną:

Teraz obliczamy pochodną pochodnej:

W podobny sposób otrzymujemy pochodne wyższych rzędów. Np. pochodna trzeciego stopnia z funkcji f jest pochodną jej drugiej pochodnej. Największe zastosowanie w matematyce mają pochodne pierwszego i drugiego stopnia.

Zastosowanie pochodnych

O zastosowaniu pochodnych napisano całe tomy dzieł matematycznych. W matematyce stosuje się je do badania przebiegu funkcji, czyli do określania przedziałów, w których funkcja rośnie, maleje, posiada maksima i minima.

Przykład:

Zbadać przebieg funkcji:

Obliczamy pierwszą pochodną:

Znajdujemy pierwiastki pochodnej, czyli takie x, dla których f '(x) = 0:

W tych miejscach funkcja przyjmuje tzw. lokalne maksimum lub lokalne minimum. Mamy zatem trzy przedziały zmienności funkcji:

Teraz należy rozstrzygnąć, jak zachowuje się funkcja f w każdym z tych przedziałów. Wystarczy naszkicować sobie wykres pierwszej pochodnej, która jest zwykłą funkcją kwadratową. Nie musi być dokładny. Chodzi tylko o stwierdzenie, w których przedziałach pochodna jest dodatnia, a w których ujemna. Wiemy, że wykresem jest parabola. Znamy punkty przecięcia tej paraboli z osią OX – to nasze pierwiastki x₁ i  x₂. Ramiona paraboli będą zwrócone w  górę, ponieważ współczynnik a (stojący przy x²) jest dodatni:

 Z wykresu odczytujemy, że:

Oznacza to, że funkcja f :

W punkcie x₁ jest lokalne maximum, czyli miejsce, w którym funkcja przestaje rosnąć a zaczyna maleć. Rozpoznajemy je po tym, że przy przejściu przez x₁ (idziemy zawsze wzdłuż kierunku osi liczbowej) pierwsza pochodna zmienia znak z + na -.

W punkcie x₂ jest lokalne minimum, czyli miejsce, w którym funkcja przestaje maleć a zaczyna rosnąć. Rozpoznajemy je po tym, że przy przejściu przez x₂ pierwsza pochodna zmienia znak z - na +.

Porównajmy teraz wykres funkcji (kreska niebieska) z wykresem jej pochodnej (kreska pomarańczowa):

Pochodną można też traktować jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x,f(x)). Pokazaliśmy to przy prezentowaniu pochodnej funkcji w punkcie.

Przykład:

Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji:

w punkcie x₀ = ^π/₄.

Liczymy pochodną:

Liczymy wartość tangensa kierunkowego, który jest równy wartości pochodnej w wybranym punkcie:

Styczna jest prostą o równaniu:

Musimy znaleźć wartość c. Wiemy jednak, że prosta ta przechodzi przez punkt (x₀,f(x₀)), ponieważ w tym punkcie styka się z wykresem funkcji. Zatem funkcja stycznej musi mieć wartość f(x₀) w punkcie x₀. Układamy równanie:

I ostatecznie:

W fizyce pochodne stosowane są w dynamice. Jeśli znamy funkcję drogi w czasie s(t), to prędkość  v(t) i przyspieszenie a(t) obliczymy jako:

Przykład:

Ciało o masie m pokonuje drogę s(t), którą wyraża następująca funkcja czasu:

Wyznaczyć w funkcji czasu prędkość tego ciała, jego przyspieszenie oraz działającą nań siłę.

Liczymy:

W dalszej części materiału spotkasz się z wielkościami wektorowymi. Funkcja wektorowa jest funkcją parametryczną współrzędnych wektora. Wektor (swobodny) przedstawiamy w przestrzeni jako sumę iloczynów współrzędnych jego końca przez wersory osi:

Współrzędne x, y i z są zwykłymi wartościami skalarnymi i możemy je przedstawić w postaci funkcji pewnego parametru t :

Wtedy otrzymamy funkcję wektorową:

Dla takiej funkcji można obliczać pochodne wg podanych wyżej zasad:

Pochodna funkcji wektorowej jest równa sumie iloczynów wersorów osi przez pochodne funkcji współrzędnych.

Obowiązują następujące wzory:

Przykład:

Z działa umieszczonego na wysokości h wystrzelono poziomo pocisk z prędkością początkową v₀. Wyprowadź funkcje wektorowe prędkości i przyspieszenia.

W kierunku osi OX ciało porusza się ze stałą prędkością v₀, pokonuje zatem drogę:

W kierunku osi OY ciało spada pod wpływem siły ciążenia i jego wysokość zmienia się zgodnie ze wzorem:

Wektor położenia ciała ma postać:

Wektor prędkości otrzymamy jako pierwszą pochodną wektora położenia:

Wektor przyspieszenia jest pierwszą pochodną wektora prędkości (drugą pochodną wektora położenia):

Przyspieszenie jest wektorem stałym i skierowanym pionowo w dół (składowa pozioma jest równa 0).

Podsumujmy:

Jeśli opanujesz zasady różniczkowania (obliczania pochodnych), to obliczenia wektorowe nie sprawią ci większych trudności.

Całka (ang. integral) jest pojęciem, które pojawiło się w matematyce za sprawą dwóch wielkich uczonych, Newtona i  Leibniza. Najogólniej mówiąc, całka jest pojęciem odwrotnym do pochodnej:

Mówimy, że funkcja F(x) jest całką funkcji f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna funkcji F(x) jest funkcją f(x). Całkę oznaczamy specjalnym znakiem, który pochodzi od sumy S. Funkcję  F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji  f(x). Z podanej definicji wynika od razu, że funkcji pierwotnych może być nieskończenie wiele i różnią się one o stałą C, ponieważ:

Stałą C nazywamy stałą całkowania i musimy pamiętać, aby dołączyć ją do podstawowej funkcji pierwotnej.

Wzory na niektóre całki otrzymujemy bezpośrednio z wzorów na pochodne funkcji:

Do obliczania całek wykorzystuje się kilka podstawowych własności:

Jest tego całkiem sporo. Nauczenie się całkowania wymaga długiego czasu i mnóstwa ćwiczeń. Dobrą inwestycją (co ciągle powtarzam) jest program MathCAD, który liczy symbolicznie całki funkcji całkowalnych. Nie wszystkie funkcje daje się scałkować i tutaj nawet MathCAD nic nie poradzi. Jeśli nie stać cię na MathCAD'a, to w sieci znajdziesz wiele tzw. Integral Calculators, które całkiem sprawnie liczą różne całki. Istnieje kilka metod całkowania, bazujących na podanych wyżej wzorach.

Przykład:

Obliczyć całkę:

Zasadą jest sprowadzenie całki do postaci podstawowej, którą policzymy ze wzorów. W tym przypadku w funkcji podcałkowej mamy mnożenie przez stałą 3, którą możemy wyprowadzić przed znak całki, a wtedy operacja stanie się banalnie prosta:

Przykład:

Obliczyć całkę:

Funkcja podcałkowa złożona jest z sumy dwóch funkcji. Całka sumy funkcji jest równa sumie całek tych funkcji, zatem:

Całkowanie przez części

Stosujemy tę metodę, gdy pod całką występuje iloczyn funkcji. Wykorzystujemy wzór:

Przykład:

Obliczyć całkę:

Ustalamy i liczymy:

Przykład:

Obliczyć całkę:

Przykład:

Obliczyć całkę:

Przykład:

Obliczyć całkę:

Całkowanie przez podstawienie

Ten rodzaj całkowania stosujemy, jeśli funkcję podcałkową można zapisać w postaci:

Wtedy stosujemy podstawienie:

Przykład:

Obliczyć całkę:

Stosujemy podstawienie:

Przykład:

Obliczyć całkę:

Przykład:

Obliczyć całkę:

Całka oznaczona

Opisana wyżej całka nosi nazwę całki nieoznaczonej (ang. indefinite integral). Jest to funkcja pierwotna. W zastosowaniu są również tzw. całki oznaczone (ang. definite integral). Nieformalnie mówiąc, całka oznaczona jest polem pomiędzy osią OX a wykresem funkcji, które jest dodatnie nad osią i ujemne pod nią. Całkę oznaczoną zawsze liczy się w pewnych granicach, które określają przedział całkowania:

Jeśli potrafimy policzyć całkę nieoznaczoną funkcji f, to wartość pola S można policzyć za pomocą wzoru Newtona:

Przykład:

Obliczyć całkę oznaczoną:

Liczymy całkę nieoznaczoną:

Jeśli nie potrafimy obliczyć całki nieoznaczonej (niektóre funkcje nie są całkowalne), to stosuje się metody przybliżone, np. metodę prostokątów, trapezów lub Simpsona. W naszym serwisie jest osobny artykuł na temat tych metod. Najprostsza jest metoda prostokątów. Polega ona na tym, iż pole pod wykresem funkcji w przedziale [x_p,x_k] przybliżamy polami prostokątów:

W przedziale całkowania wyznaczamy n równoodległych punktów x₁,x₂,...,x_n. Odległość pomiędzy tymi punktami wynosi dx:

Następnie wyznaczamy punkty:

Dla każdego z tych punktów obliczamy wartość całkowanej funkcji:

Pole i-tego prostokąta jest równe:

Przybliżona wartość całki oznaczonej jest sumą pól tych prostokątów. Zwróć uwagę, że tak wyliczone pola są dodatnie, jeśli y_i jest dodatnie, a ujemne, jeśli y_i jest ujemne:

Dokładność przybliżenia zwiększa się przy wzroście n. Zaletą tej metody jest to, że pozwala ona znaleźć wartość całki oznaczonej dla dowolnej funkcji ciągłej w przedziale całkowania. Wadą natomiast jest to, iż musimy wykonywać żmudne obliczenia, ale to akurat mogą za nas zrobić komputery.

Przykład:

Obliczyć całkę oznaczoną:

Z poprzednich obliczeń wiemy, że dokładna wartość tej całki wynosi 1. Przyjmujemy n = 4:

Otrzymaliśmy wynik 0,8, co jest dosyć bliskie 1. Większą dokładność uzyskalibyśmy przy zwiększeniu n. Nie chcę zanudzać czytelnika obliczeniami. W poniższej tabelce zebrałem ich wyniki dla kilku wartości n. Obliczenia wykonałem w arkuszu kalkulacyjnym:

Drobna modyfikacja metody prostokątów prowadzi do metody trapezów, która posiada o wiele lepszą dokładność. Pole pod wykresem funkcji przybliżamy za pomocą trapezów, które dokładniej odwzorowują przebieg funkcji:

Zasada jest prawie identyczna jak dla metody prostokątów. Przedział całkowania dzielimy na n+1 równo odległych od siebie punktów. Punkt x_p staje się punktem x₀:

Dla tak policzonych punktów x_i obliczamy wartości całkowanej funkcji. Pola trapezów będą równe:

Przybliżona wartość całki oznaczonej jest sumą tych pól:

Przykład:

Obliczyć całkę oznaczoną:

W obliczeniach wykorzystamy wyniki pośrednie wyliczone w poprzednim przykładzie:

Przykład pokazuje wyraźnie, że metoda trapezów daje dużo lepsze wyniki od metody prostokątów. Nie jest przy tym specjalnie bardziej żmudna obliczeniowo. Z tego powodu poleca się ją do wyliczania wartości całek oznaczonych.

Więcej na ten temat znajdziesz w  osobnych artykułach: "Całkowanie numeryczne" i "Metody numeryczne".