Teoria

Uczniowie w szkole średniej znają trygonometrię na różnym poziomie. Z reguły ten dział matematyki nie jest zbytnio lubiany. Z gustami walczyć nie będę, ale uważam, że podstawowe fakty i wzory z trygonometrii każdy elektronik powinien znać. Trygonometria jest działem geometrii, który zajmuje się związkami pomiędzy bokami figur oraz funkcjami trygonometrycznymi. Podstawowym pojęciem jest kąt, który najczęściej oznacza się literami greckimi (α, β, γ, θ, φ, ... ).

Kąt płaski (ang. planar angle) jest figurą geometryczną, która powstaje przez połączenie końców dwóch półprostych:

Połączenie tych półprostych nazywamy wierzchołkiem kata (ang. angle vertex), półproste nazywamy ramionami kąta (ang. angle rays). Kąt może być również zdefiniowany przez trzy punkty A, B i C:

Jeden z punktów definiuje wierzchołek kata (tutaj jest to punkt A), a pozostałe definiują ramiona (B i C). Tak określony kąt będziemy zapisywali jako:

---

Drugim ważnym pojęciem jest miara kąta (ang. angle measure). Istnieje kilka systemów wyrażania miary kąta. W matematyce króluje miara łukowa, dlatego nią się głównie zajmiemy. Aby zmierzyć kąt (czyli wyrazić go liczbowo), postępujemy w sposób następujący:

Rysujemy okrąg o promieniu r, tak aby jego środek znalazł się dokładnie w wierzchołku kąta. Następnie mierzymy długość łuku tego okręgu pomiędzy promieniami. Wartość kąta jest równa:

Jednostka kąta w mierze łukowej nazywa się radianem. Jeśli okrąg użyty do pomiaru kąta będzie posiadało promień r = 1, to będzie to tzw. koło jednostkowe. W kole jednostkowym długość łuku bezpośrednio określa miarę kąta. Zatem jeden radian jest kątem, dla którego łuk koła jednostkowego ma długość 1.

Przypominam, że długość całego obwodu koła liczymy ze wzoru:

Liczba π jest stałą matematyczną, która jest równa stosunkowi obwodu koła do jego średnicy:

Od wieków starano się wyznaczyć wartość tej liczby. Niestety jest to liczba niewymierna i nie daje się jej przedstawić za pomocą skończonego ciągu cyfr. W zwykłych rachunkach wystarcza nam wartość 3,1415926535. W sieci Internet bez trudu znajdziesz rozwinięcia tej liczby do tysięcy cyfr. Gdy nie było jeszcze komputerów, niektórzy szaleńcy (a może całkiem rozsądni matematycy) poświęcali lata życia na wyznaczanie cyfr liczby pi. Rekordzistą był niejaki Wiliam Shanks.

Gdy mamy miarę, możemy wyrażać kąty liczbowo. Określmy kilka użytecznych, często używanych kątów:

Trójkąt jest bardzo użyteczną figurą geometryczną. Powstaje ona przez połączenie odcinkami trzech punktów na płaszczyźnie (punkty oznaczamy dużymi literami alfabetu, odcinki małymi literami):

Powyższy trójkąt zawiera:

• 3 wierzchołki w punktach A, B, C.
• 3 boki jako odcinki o końcach w wierzchołkach: AB, BC, CA lub oznaczone małymi literami alfabetu: a, b, c.
• 3 kąty w wierzchołkach: α, β, γ:
  

Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta jest kątem półpełnym:

---

Pole powierzchni dowolnego trójkąta liczymy wzorem Herona:

Wzór Herona pozwala również prosto sprawdzić, czy dana trójka punktów A, B, C jest współliniowa. Jeśli tak, to mamy:

Pole wynosi 0, gdy punkty A, B i C leżą na jednej prostej, czyli są współliniowe.

---

Wybierzmy jeden z boków trójkąta i nazwijmy go podstawą. Wysokość trójkąta (ang. triangle altitude) jest najkrótszym odcinkiem, który łączy wierzchołek przeciwległy podstawie z prostą zawierającą podstawę:

Jeśli a jest podstawą trójkąta, a h jego wysokością, to pole tego trójkąta liczymy ze wzoru:

Jeśli znamy długości boków trójkąta, to jego wysokość h względem wybranego boku a można wyznaczyć korzystając ze wzoru Herona:

---

Trójkąt nazywamy równobocznym, jeśli ma on wszystkie boki równe:

W trójkącie równobocznym zachodzą następujące związki (pole wyprowadziłem ze wzoru Herona, a z pola wyprowadziłem wysokość):

---

Bardzo ważną rolę odgrywają trójkąty, których jeden z kątów jest kątem prostym. Nazywamy je trójkątami prostokątnymi (ang. right triangle):

Boki a i b tego trójkąta nazywamy przyprostokątnymi, bok c to przeciwprostokątna. Ponieważ suma katów wewnętrznych trójkąta jest kątem półpełnym, to w trójkącie prostokątnym zachodzi:

W trójkącie prostokątnym obowiązuje słynne twierdzenie Pitagorasa – kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych:

Funkcja trygonometryczna jest funkcją której wartość zależy od wartości kąta. Na początku zdefiniujemy cztery podstawowe funkcje trygonometryczne posiłkując się trójkątem prostokątnym.

Zakładamy, że kąt α zmienia się w granicach od 0 do ^π/₂.

Funkcja sinus

Sinus kąta α definiujemy jako iloraz boków b i c, czyli jest to stosunek długości boku leżącego naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej:

Sinus kąta β jest definiowany jako:

Z wzorów tych wynikają bezpośrednio następne wzory:

Funkcja cosinus

Cosinus kata α jest stosunkiem przyprostokątnej będącej ramieniem kąta α do przeciwprostokątnej:

Funkcja tangens

Tangens kata α jest stosunkiem przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej będącej jego ramieniem:

Funkcja cotangens

Cotangens kata α jest stosunkiem przyprostokątnej będącej ramieniem kata do przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego:

Wartości funkcji trygonometrycznych

Wyprowadzimy wartości funkcji trygonometrycznych dla kilku kątów:

Zbierzmy te wyniki w tabelce:

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi

Jeśli przyjrzymy się bliżej definicjom poszczególnych funkcji trygonometrycznych, to okaże się, że istnieją pomiędzy nimi proste związki, których warto się nauczyć na pamięć, ponieważ wykorzystuje się je w przekształcaniu wzorów.

Otrzymaliśmy tzw. jedynkę trygonometryczną (ang. Pythagorean trigonometric identity). Suma kwadratów funkcji sinus i cosinus tego samego kąta jest równa 1. Jest to tożsamość trygonometryczna, która pozwala wyliczyć wartość bezwzględną funkcji trygonometrycznej sinus lub cosinus, jeśli znamy drugą z nich (zaraz zobaczysz, że wartości funkcji trygonometrycznych mogą posiadać znaki):

Istnieją również związki pomiędzy tangensem, kotangensem, sinusem i kosinusem danego kata α:

W trójkącie prostokątnym kąty α i β są od siebie zależne:

Funkcje trygonometryczne jako funkcje matematyczne

W trójkącie prostokątnym kąt α ograniczał się do zakresu od 0 do ^π/₂. A co z kątami większymi? Narysujmy osie układu współrzędnych i w środku umieśćmy koło jednostkowe:

Na obwodzie koła jednostkowego umieśćmy punkt P, który w tym układzie posiada współrzędne ( P_x, P_y ). Od środka układu poprowadźmy promień wodzący do punktu P. Promień ma długość 1, ponieważ koło jest jednostkowe. Długość łuku koła od osi OX do punktu P jest miarą kąta, który tworzy promień r z osią OX. Umawiamy się, że kąt jest dodatni, jeśli łuk przebywamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Inaczej kąt będziemy traktować jako kąt ujemny. Na rysunku mamy pokazany kąt dodatni. Punkt P może znajdować się w dowolnym miejscu na obwodzie koła jednostkowego. Zatem kąt α pokrywa zakres od 0 do 2π.

Współrzędne punktu P na kole jednostkowych zawierają się w zakresie od -1 do 1 na osiach OX i OY. Umówmy się, że dwa kąty są równe, gdy zachodzą warunki:

Oznacza to, że współrzędne punktu P_α dla kata α muszą być równe współrzędnym punktu P_β dla kąta β. Przy takiej definicji kąty 0 [rad] i 2π [rad] są równe. Co więcej:

Jak to interpretować? Jeśli z danego punktu P obiegniemy koło jednostkowe dookoła, czyli zatoczymy kąt pełny 2π, to wrócimy z powrotem do punktu P, zatem otrzymamy ten sam kąt. Zależność ta pozwala nam zredukować kąt o dowolnej wartości do zakresu głównego od 0 do 2π. Mówimy, że kąt zmienia się z okresem 2π.

Po tych ustaleniach możemy podać wzory funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta:

---

Współrzędne P_x oraz P_y punktu P na obwodzie koła jednostkowego mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne w zależności od tego, w której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się punkt P. Dlatego wartości funkcji trygonometrycznych mogą być ujemne. W poniższej tabelce przedstawiamy znaki funkcji trygonometrycznych dla 4 ćwiartek układu współrzędnych:

---

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi, których wartości powtarzają się dla kątów o odstępach 2π:

Wzory te pozwalają wyznaczyć wartość funkcji trygonometrycznej przez sprowadzenie kata do zakresu podstawowego od 0 do 2π. Idąc dalej, wartość funkcji trygonometrycznej można wyznaczyć przez zredukowanie kąta do I ćwiartki:

---

Jeśli kąt α potraktujemy jako argument x, to otrzymamy funkcję matematyczną kąta x. Dla każdej funkcji należy określić dziedzinę, czyli zbiór argumentów x, dla których funkcja posiada określoną wartość.

Funkcje sinus i cosinus są określone dla argumentów z całego zbioru liczb rzeczywistych. Natomiast tangens i cotangens nie mają określonej wartości w tych punktach zbioru liczb rzeczywistych, dla których odpowiednio cosinus i sinus przyjmują wartość 0. Wynika to bezpośrednio z definicji tych funkcji:

Funkcje sinus i cosinus przyjmują wartość 0 dla kątów:

Dlatego tg x ma nieokreśloną wartość, gdy cos x = 0. Podobnie, ctg x ma nieokreśloną wartość, gdy sin x = 0.

---

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Oznacza to, że wartości funkcji powtarzają się dla argumentów odległych o wielokrotność okresu funkcji:

Okres funkcji sinus i cosinus wynosi 2π. Dla funkcji tangens i cotangens okres skraca się do π. Dlaczego? Zwróć uwagę, że współrzędne punktu P leżącego na obwodzie koła jednostkowego powtarzają się w ćwiartkach układu współrzędnych:

Skoro tak, to wartości funkcji tangens i cotangens również muszą się powtarzać, co wynika bezpośrednio z wzorów redukcyjnych:

---

Przez argument główny funkcji trygonometrycznej będziemy rozumieli wartość kąta x z przedziału podstawowego od -π do π lub od 0 do 2π.

 

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Poniżej przedstawiamy wykresy funkcji trygonometrycznych. Na osi poziomej są argumenty x, na osi pionowej są wartości funkcji. Funkcja sinus ma linię czerwoną, funkcja cosinus ma linię niebieską:

Wykresy funkcji sinus i cosinus są takie same co do kształtu. Wykres cosinus jest przesunięty o - ^π_/2 w stosunku do wykresu funkcji sinus. Funkcja sinus jest nieparzysta, ponieważ sin x = -sin ( – x ) (jest symetryczna względem środka układu współrzędnych). Funkcja cosinus jest parzysta, ponieważ cos x = cos ( – x ) (jest symetryczna względem osi OY). Funkcje sin i cosinus są ograniczone i przyjmują wartości z przedziału od -1 do 1.

Funkcje tangens i cotangens wyglądają inaczej. Na wykresie tangens ma linię czerwoną, a cotangens niebieską:

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste i nieograniczone (przyjmują wartości z całego zbioru liczb rzeczywistych).

Funkcja g ( x ) jest funkcją odwrotną funkcji f ( x ), jeśli g ( f ( x ) ) = x. Jak rozumieć tę definicję? Załóżmy, że dla pewnego x funkcja f  daje wartość y = f  ( x ). Jeśli teraz tę wartość podstawimy do funkcji g jako jej argument, to powinniśmy otrzymać z powrotem x. Jeśli tak jest dla dowolnego x należącego do dziedziny funkcji f, to funkcja g jest jej funkcją odwrotną.

Przykład:

Funkcję odwrotną do f ( x ) oznaczamy symbolem f ^-1 ( x ). Nie myl go z odwrotnością funkcji f ( x ) ^-1, gdyż są to dwa różne pojęcia matematyczne:

Nie każda funkcja posiada funkcję odwrotną. Jeśli ma, to wyznaczamy ją rozwiązując równanie y = f ( x ) względem x. Nie zawsze jest to proste.

Funkcja trygonometryczna wiąże długość łuku koła jednostkowego od osi OX do punktu P (braną dodatnio dla kierunku zakreślania przeciwnego do kierunku obrotu wskazówek zegara, a ujemnie w przypadku przeciwnym) z funkcjami współrzędnych tego punktu. Argumentem funkcji trygonometrycznej jest kąt w radianach. Przypomnijmy sobie wzory:

Funkcja odwrotna do funkcji trygonometrycznej będzie przyporządkowała funkcję współrzędnych punktu P do długości łuku na kole jednostkowym. Wartością tej funkcji jest zatem kąt w radianach.

Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi lub kołowymi. Oznaczamy je przez dodanie przedrostka arc (łac. arcus = koło) do nazwy funkcji trygonometrycznej, dla której dana funkcja cyklometryczna jest odwrotną. Zwróć uwagę, że odwzorowanie wartości funkcji trygonometrycznej w kąt α nie jest jednoznaczne, ponieważ funkcje trygonometryczne przyjmują te same wartości dla różnych kątów. Na przykład:

Widzimy wyraźnie, że wartości zwracane przez funkcję cyklometryczną nie pokryją wszystkich możliwych wartości kątów (chociażby z tego powodu, iż funkcja zwraca dla danego argumentu tylko jedną wartość). Poniżej przedstawiamy zakresy wartości dla każdej funkcji cyklometrycznej:

Poniżej kilka przykładowych wartości dla funkcji cyklometrycznych:

Wykresy funkcji cyklometrycznych (jak każdej funkcji odwrotnej) są symetryczne do wykresów swoich funkcji trygonometrycznych względem prostej y = x:

Równanie trygonometryczne zawiera niewiadomą w funkcji trygonometrycznej. Ponieważ funkcje te są okresowe, to rozwiązaniem jest zwykle nieskończony ciąg wartości, które różnią się stałym okresem. Aby rozwiązać takie równanie, często należy znać różne wzory trygonometryczne (wiele z nich zebrano w podsumowaniu). Rozwiązując równanie trygonometryczne, staramy się je tak przekształcić, aby otrzymać równanie elementarne:

Rozwiążmy dla przykładu proste równanie trygonometryczne:

Równanie posiada dwa ciągi rozwiązań, które posiadają okres π.

Podobnie rozwiązujemy równania dla pozostałych dwóch funkcji trygonometrycznych:

Przykład:

Równanie ma jeden ciąg rozwiązań o okresie ^π/₂.

Miara łukowa

Obwód koła

Suma kątów wewnętrznych trójkąta

Pole powierzchni trójkąta – wzór Herona

Trójkąt równoboczny

Trójkąt prostokątny

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Definicje funkcji trygonometrycznych

Znaki wartości funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach układu współrzędnych

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Funkcje cyklometryczne

Dziedziny i przeciwdziedziny funkcji cyklometrycznych

Przydatne wzory trygonometryczne

Tożsamości

Wzory redukcyjne

Sumy i różnice kątów

Podwojony kąt

Połowa kąta

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Iloczyn funkcji trygonometrycznych