Komputery Colossus

W pierwszym rozdziale tego opracowania wspomniałem, iż klucz wiadomości (pełna i dokładna konfiguracja maszyny w jej pozycji startowej) należało przekazać zamierzonemu odbiorcy wiadomości. Zgodnie z oryginalnymi propozycjami twórcy Enigmy, Scherbiusa, Niemcy zdecydowali, iż w każdym okresie 24-godzinnym określone będzie wszystko za wyjątkiem startowej pozycji bębnów szyfrujących. Arkusze ustawień drukowano - na każdym znajdowały się konfiguracje maszyny Enigma na cały miesiąc. Arkusze dostarczano specjalnym kurierem do jednostek wojskowych.

Dla każdego dnia miesiąca na arkuszu ustawień drukowano wiersz danych. W pierwszej kolumnie mamy dzień miesiąca (pierwszy wiersz zawiera ostatni dzień, tj. 31).

W drugiej widzimy obowiązującą w tym dniu kolejność bębnów szyfrujących - I V III.

W trzeciej kolumnie znajdują się trzy liczby określające ustawienia pierścieni alfabetycznych względem rdzeni bębnów szyfrujących. Arkusz ustawień określa tu, iż pierścień alfabetyczny na lewym bębnie powinien być obrócony dotąd, aż przy wskaźniku zapadkowym pojawi się liczba 06 (lub litera F), pierścień na środkowym bębnie należy ustawić na pozycję 20 (litera T), a na prawym bębnie pierścień należy obrócić na pozycję 24 (litera X).

W następnej kolumnie widzimy Steckenverbindungen, czyli połączenia na łącznicy wtyczkowej, które należy wykonać za pomocą zewnętrznych kabli z wtyczkami, w które wyposażone były maszyny Enigma. Wtyczki tych przewodów muszą być wetknięte we wskazane gniazda. Na przykład pierwszy przewód powinien łączyć gniazdo U z gniazdem A, drugi gniazdo P z gniazdem F itd.

Chwilowo zignorujemy ostatnią kolumnę (Kenngruppe), która w różny sposób była wykorzystywana w różnych okresach czasu przez armię niemiecką.

Zarówno nadawca jak i zamierzony odbiorca posiadają identyczne kopie arkusza ustawień, zatem oboje mogą ustawić swoje maszyny na dokładnie taką samą "bazową konfigurację" dla danego okresu 24 godzin.

Teraz pozostaje nadawcy jedynie wybór i przekazanie odbiorcy startowych pozycji bębnów. Zasadą było to, iż pozycja ta powinna być inna dla każdej wysyłanej wiadomości. Stosowano metodę szyfrowania głównej części klucza przez samą maszynę Enigma. W różnym czasie różne siły zbrojne stosowały różne systemy przekazywania klucza wiadomości, lecz my opiszemy prosty system stosowany przed wojną przez niemiecką armię i lotnictwo.

Najpierw przy podstawowej konfiguracji maszyny bębny były obracana na pozycję startową wybieraną przez operatora, lecz przekazywaną klerem (niezaszyfrowanym tekstem)  w nagłówku wiadomości. Następnie operator wpisywał do maszyny jedną po drugiej trzy litery, które w rzeczywistości tworzyły właściwy klucz wiadomości. W nagłówku umieszczano litery lampek (czyli szyfr), które się zapaliły przy tej operacji. Jednakże Niemcy popełnili w tym miejscu bardzo poważną pomyłkę. Wymagano od operatora, aby klucz wiadomości wprowadził kolejno dwukrotnie  i wysłał w wyniku sześć liter odczytanych z lampek. Była to prymitywna forma kodu korekcyjnego, która zapewniała poprawny odczyt istotnego klucza wiadomości nawet w złych warunkach odbioru radiowego.

Lecz oznaczało to przesyłanie nadmiarowej informacji i ta pomyłka pozwoliła polskim kryptologom odnieść sukces w złamaniu kodu Enigmy przed wybuchem wojny.

Wysyłanie wiadomości za pomocą prostego systemu indykatorowego Enigmy

Odbiór wiadomości za pomocą prostego systemu indykatorowego Enigmy

Jak wspomniano na początku zakłada się, iż łamacz szyfru posiada maszynę Enigma. Ochrona przed rozszyfrowaniem zależy wtedy od liczby kombinacji ustawień, które muszą być wypróbowane w celu rozszyfrowania wiadomości.

Podstawowa 3-bębnowa Enigma posiada 26 · 26 · 26 = 17576 możliwych stanów bębnów dla każdej z 6 kombinacji ich kolejności co daje w sumie 6 · 17576 = 105456 stanów maszyny.

Dla każdego z tych stanów łącznica wtyczkowa (z dziesięcioma parami połączonych liter) może znajdować się w 150738274937250 możliwych stanach.

Aby zrozumieć sposób otrzymania tych wyników, musisz poznać niektóre podstawowe fakty o permutacjach i kombinacjach.

• Mając dane n różnych elementów istnieje n! sposobów ułożenia ich w ciągu, gdzie n! oznacza iloczyn:
  
  n! = n · (n-1) · (n-2)... 3 · 2 · 1.
  

  Na przykład sześć cyfr 1,2,3,4,5,6 można ustawić na 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 różnych sposobów.

• Mając dany zbiór n różnych elementów istnieje C(n,r) sposobów podzielenia go na dwa zbiory o rozmiarze r i (n-r), gdzie
  
  
  

Jednakże nie jest od razu jasne jak zastosować te wzory do problemu łącznicy wtyczkowej Enigmy, gdzie 26 liter ma zostać podzielone na 6 niesparowanych liter oraz 10 par połączonych ze sobą liter. Można to zrobić na przykład tak:

Załóżmy, że posiadamy dziesięć przewodów o różnych kolorach: czerwony, niebieski, zielony itd. Wtedy istnieje C(26,2) sposobów wyboru pary wtyczek dla przewodu czerwonego. Dla przewodu niebieskiego pozostaje C(24,2) sposobów wyboru pary, itd. Otrzymujemy zatem iloczyn:

C(26,2) · C(24,2) · C(22,2) · ... · C(8,2)

Wyrażenie to można uprościć redukując wiele wspólnych czynników do

Lecz rzeczywiste przewody łącznicy wtyczkowej Enigmy nie są kolorowe. Oznacza to, iż wynik musimy podzielić przez ilość permutacji 10 kolorowych przewodów (ponieważ chodzi nam o połączenia wtyczek, a nie jest istotny przewód, którym to robimy, np. połączenie przewodem czerwonym wtyczek A i B ma ten sam efekt co połączenie tych wtyczek dowolnym innym przewodem, jest to to samo połączenie i liczymy je jeden raz), tzn. podzielić przez kolejny czynnik 10!. W ten sposób otrzymujemy odpowiedź:

Bardziej abstrakcyjnie rzecz ujmując można zapisać, iż liczba sposobów wybrania m par z n elementów wynosi:

Jeśli chcesz przekonać się do tego wzoru, to sprawdź sobie, że

• istnieją 3 różne sposoby połączenia 2 par przewodów z 4 gniazdkami łącznicy
• istnieje 15 różnych sposobów połączenia 3 par przewodów z 6 gniazdkami łącznicy

Dzięki temu wzorowi możemy odkryć coś, co często powoduje zdziwienie u ludzi, a mianowicie, iż liczba możliwych połączeń par gniazd na łącznicy wtyczkowej jest największa dla 11 przewodów (jeden przewód łączy jedną parę gniazdek, czyli zamienia miejscami dwie wybrane litery), a później maleje.

Jeśli cię to nie przekonuje, to sprawdź ilość sposobów, na które można połączyć dwoma przewodami 6 gniazdek: jest ich 45, czyli trzy razy tyle ile dla 3 przewodów (wskazówka - wyobraź sobie, iż mając trzy połączenia jedno z nich rozłączasz - dla każdego połączenia trzech przewodów możesz to zrobić na trzy sposoby).

Stąd nawet dla najprostszej wojskowej Enigmy otrzymujemy liczbę kombinacji rzędu 15000000000000000000, a mamy jeszcze do dyspozycji możliwość regulacji ustawień pierścieni alfabetycznych. Dla łamacza szyfrów pozostaje zadanie znalezienia właściwej kombinacji użytej do zaszyfrowania wiadomości z 15·10¹⁸ różnych ustawień maszyny Enigma.

Niemcy uważali to zadanie za niemożliwe do wykonania i z pewnością nawet nowoczesny komputer straciłby rok czasu na przeliczenie wszystkich ustawień maszyny, gdyby sprawdzał je kolejno jedne po drugich.

Jednakże wspomnieliśmy już, iż pomimo kolosalnych ilości alfabetycznych podstawień i tak można złamać proste szyfrogramy stosując podejścia statystyczne, jak np. fakt, iż litera E jest najczęściej używaną literą języka, co natychmiast eliminuje olbrzymią ilość możliwości.

Zatem rozmiar możliwej przestrzeni kluczy wiadomości nie jest jedyną istotną rzeczą w dobrym systemie kryptograficznym

W następnych rozdziałach pokażemy, w jaki sposób najpierw polscy matematycy a później łamacze szyfrów z Bletchley Park osiągnęli sukces w czymś, co wydawało się w oczywisty sposób niemożliwe.