Całkowanie numeryczne: Metoda Simpsona

obrazek

Metoda Simpsona jest najdokładniejszą z opisanych tutaj metod przybliżonego całkowania. W metodzie prostokątów całka oznaczona przybliżana była funkcjami stałymi - liczyliśmy sumę pól prostokątów. W metodzie trapezów całkę przybliżaliśmy za pomocą funkcji liniowych - obliczaliśmy sumy pól trapezów. W metodzie Simpsona stosujemy jako przybliżenie parabolę - będziemy obliczali sumy wycinków obszarów pod parabolą. Zasada jest następująca:

Przedział całkowania [x_p,x_k] dzielimy na n + 1 równo odległych punktów x_o, x₁, x₂,..., x_n:

dla i = 0,1,2,...,n
obrazek

Dla każdych dwóch sąsiednich punktów wyznaczamy punkt środkowy t_i wg wzoru:

dla i = 1,2,...,n

Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami.

obrazek

Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie:

punkty podziałowe
dla i = 0,1,2,...,n f_i = f(x_i)
punkty środkowe
dla i = 1,2,...,n f_ti = f(t_i)

W każdym podprzedziale [x_i-1,x_i] przybliżamy funkcję za pomocą paraboli g(x) o następującej postaci:

dla i = 1,2,...,n

Parabola g_i(x) musi przechodzić przez punkty: (x_i-1,f_i-1), (t_i,f_ti), (x_i,f_i). Współczynniki a_i, b_i i c_i wyznaczymy zatem z układu trzech równań:

dla i = 1,2,...,n

Uwaga:

W metodzie Simpsona chodzi o wyznaczenia pola pod parabolą w danym podprzedziale, a nie jej współczynników. Możemy zatem pójść inną drogą. Załóżmy, iż powyższe współczynniki są znane (ostatecznie możemy je przecież wyliczyć).

Pole pod parabolą w przedziale [x_i-1,x_i] będzie równe całce oznaczonej:

dla i = 1,2,...,n

Funkcja pierwotna jest bardzo prosta w tym przypadku i ma wzór następujący:

dla i = 1,2,...,n

Wartość całki obliczymy zgodnie z definicją Newtona-Leibniza:

dla i = 1,2,...,n

Teraz postaramy się uprościć maksymalnie otrzymane wyrażenie. W tym celu wyciągamy przed nawias wspólny czynnik i całość dzielimy przez 6:

dla i = 1,2,...,n

Zwróćcie uwagę, iż wyrażenia w nawiasach są odpowiednio wartościami funkcji f_i-1, f_i oraz f_ti. Natomiast różnica

jest odległością dx pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi. Zatem po uproszczeniu otrzymujemy ostateczny wzór:

dla i = 1,2,...,n

Wzór ten pozwala wyliczyć pole obszaru pod parabolą aproksymującą funkcję f(x) w przedziale [x_i-1,x_i]. Wartość całej całki otrzymamy sumując te pola, czyli:

Jest to wzór wyliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej za pomocą metody Simpsona. Ponieważ w obliczanych sumach wartości funkcji się powtarzają dwukrotnie (z wyjątkiem pierwszej i ostatniej), do obliczeń komputerowych stosujemy efektywniejszy wzór otrzymywania powyższej sumy:

do podrozdziału do strony

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

x_p	- początek przedziału całkowania, x_p ∈ R
x_k	- koniec przedziału całkowania, x_k ∈ R
n	- liczba punktów podziałowych, n ∈ N
f (x)	- funkcja rzeczywista, której całkę liczymy

Dane wyjściowe

s	- przybliżona wartość całki oznaczonej funkcji f (x) w przedziale [x_p,x_k], s ∈ R

Zmienne pomocnicze

s_t	- suma wartości funkcji w punktach środkowych, s_t ∈ R
dx	- odległość między dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi, dx ∈ R
x	- pozycja punktu podziałowego, x ∈ R
i	- licznik punktów podziałowych, i ∈ N

Lista kroków

K01:	s ← 0; s_t ← 0
K02:
K03:	Dla i = 1,2,...,n: wykonuj kroki K04...K06
K04:	x ← x_p + i ·dx
K05:
K06:	Jeśli i < n, to s ← s + f (x)
K07:
K08:	Zakończ

Schemat blokowy

obrazek

Odczytujemy krańce przedziału całkowania [x_p,x_k]. Do obliczenia całki metodą Simpsona musimy zliczyć dwie sumy - wartości funkcji w punktach podziałowych x_i oraz wartości funkcji w punktach środkowych przedziałów t_i. Pierwszą sumę będziemy obliczać w zmiennej s, drugą w s_t. Obie na początku przyjmują wartość 0. Wyznaczamy dalej odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi dx i rozpoczynamy pętlę, w której zmienna i pełni rolę numeru punktu podziałowego i środkowego. Pętla ta wykonuje się n-razy od i=1 do i=n włącznie, czyli jest to zwykła pętla iteracyjna typu FOR.

W pętli wyznaczamy wartość punktu podziałowego x_i i umieszczamy ją w zmiennej x. Następnie obliczamy wartość funkcji w punkcie środkowym t_i, który jest odległy o połowę dx od wyznaczonego wcześniej punktu x_i. Wartość tę dodajemy do sumy s_t.

Drugą sumę tworzymy w zmiennej s. Jednakże powinna ona zawierać jedynie wartości funkcji dla punktów podziałowych od x₁ do x_n-1. Dlatego przed sumowaniem sprawdzamy, czy indeks i jest w odpowiednim zakresie.

Po zakończeniu pętli wyznaczamy wartość całki w zmiennej s zgodnie z podanym wzorem, wyprowadzamy ten wynik dla użytkownika i kończymy wykonywanie algorytmu.

do podrozdziału do strony

W celu zobrazowania dokładności metody Simpsona zmniejszyliśmy w naszych przykładach liczbę punktów podziałowych do n=10. Wynik obliczenia całki jest niezmieniony w stosunku do metod prostokątów i trapezów. Zachęcamy do eksperymentów z liczbą N.

C++

//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
//** ------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek  I LO w Tarnowie **
//*************************************************

#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

double f(double x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

//********************
//** Program główny **
//********************

int main()
{
  const int N = 10; //liczba punktów podziałowych
  double xp,xk,s,st,dx,x;
  int i;

  cout << setprecision(3)      // 3 cyfry po przecinku
       << fixed;               // format stałoprzecinkowy

  cout << "Obliczanie calki oznaczonej\n"
          " za pomoca metody Simpsona\n"
          "---------------------------\n"
          "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO\n\n"
          "f(x) = x * x + 2 * x\n\n"
          "Podaj poczatek przedzialu calkowania\n\n"
          "xp = ";
  cin >> xp;
  cout << "\nPodaj koniec przedzialu calkowania\n\n"
          "xk = ";
  cin >> xk;
  cout << endl;
  s  = 0; st = 0;
  dx = (xk - xp) / N;
  for(i = 1; i <= N; i++)
  {
    x = xp + i * dx;
    st += f(x - dx / 2);
    if(i < N) s += f(x);
  }
  s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st);
  cout << "Wartosc calki wynosi : " << setw(8) << s
       << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

Pascal

//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
//** ------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek  I LO w Tarnowie **
//*************************************************

program int_simpson;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x : double) : double;
begin
  f := x * x + 2 * x;
end;

//********************
//** Program główny **
//********************

const N = 10; //liczba punktów podziałowych

var
  xp,xk,s,st,dx,x : double;
  i : integer;

begin
  writeln('Obliczanie calki oznaczonej');
  writeln(' za pomoca metody Simpsona');
  writeln('---------------------------');
  writeln('(C)2004 mgr J.Walaszek I LO');
  writeln;
  writeln('f(x) = x * x + 2 * x');
  writeln;
  writeln('Podaj poczatek przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xp = '); readln(xp);
  writeln;
  writeln('Podaj koniec przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xk = '); readln(xk);
  writeln;
  s  := 0; st := 0;
  dx := (xk - xp) / N;
  for i := 1 to N do
  begin
    x  := xp + i * dx;
    st := st + f(x - dx / 2);
    if i < N then s := s + f(x);
  end;
  s := dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st);
  writeln('Wartosc calki wynosi : ',s:8:3);
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz Enter...');
  readln;
end.

Basic

'*************************************************
'** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
'** ------------------------------------------- **
'** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek  I LO w Tarnowie **
'*************************************************

Declare Function f(x as Double) As Double

'********************
'** Program główny **
'********************

const N = 10 'liczba punktów/trapezów podziałowych

Dim As Double xp,xk,s,st,x,dx
Dim As Integer i

Print "Obliczanie  calki oznaczonej"
Print " za pomoca  metody Simpsona"
Print "----------------------------"
Print "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO"
Print
Print "f(x) = x * x + 2 * x"
Print
Print "Podaj poczatek przedzialu calkowania"
Print
input "xp = ", xp
Print
Print "Podaj koniec przedzialu calkowania"
Print
Input "xk = ", xk
Print
s  = 0: st = 0
dx = (xk - xp) / N
for i = 1 to N
  x  = xp + i * dx
  st = st + f(x - dx / 2)
  if i < N then s = s + f(x)
Next
s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st)
print Using "Wartosc calki wynosi : #####.###";s
Print
Print "Nacisnij klawisz Enter..."
Sleep
End

'*******************************
'** Tutaj definiujemy funkcję **
'*******************************

function f(x as Double) As Double
  f = x * x + 2 * x
End Function

JavaScript

<html>
<head>
  <title>Całkowanie numeryczne metodą Simpsona</title>
</head>
<body>
<script language="JavaScript">

//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
//** ------------------------------------------- **
//**  (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
//*************************************************

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

function js_simpson()
{
  var N = 10; //liczba punktów podziałowych
  var xp,xk,s,st,dx,x,i,t;

  xp = parseFloat(document.frm_simpson.xp_inp.value);
  xk = parseFloat(document.frm_simpson.xk_inp.value);
  if(isNaN(xp) || isNaN(xk))
    t = "<font color=red><b>Popraw dane wejściowe!</b></font>";
  else
  {
    s  = 0; st = 0;
    dx = (xk - xp) / N;
    for(i = 1; i <= N; i++)
    {
      x = xp + i * dx;
      st += f(x - dx / 2);
      if(i < N) s += f(x);
    };
    s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st);
    t = Math.floor(s * 1000) / 1000;
  };
  document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script>

<form method="POST"
      name="frm_simpson"
      style="border: 2px solid #FF9900;
             padding-left: 4px;
             padding-right: 4px;
             padding-top: 1px;
             padding-bottom: 1px;
             background-color: #FFFFCC">
  <h2 style="text-align: center">
    Obliczanie całki oznaczonej<br>
    za pomocą metody Simpsona
  </h2>
  <hr>
  <p style="text-align: center">
    (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Całkowana funkcja:
  </p>
  <p style="text-align: center">
    <i>f(x) = x<sup>2</sup> + 2x</i>
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Tutaj określ przedział całkowania
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Początek <i>x<sub>p</sub></i> =
    <input type="text" name="xp_inp" size="20" value="0">
    i koniec <i>x<sub>k</sub> </i>=
    <input type="text" name="xk_inp" size="20" value="1">
  </p>
  <p style="text-align: center">
    <input onclick="js_simpson();" type="button"
           value="Oblicz całkę" name="B1">
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Wartość całki wynosi
  </p>
  <p id="t_out" style="text-align: center">...</p>
</form>
</body>
</html>

Wynik:

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody Simpsona
----------------------------
(C)2006 mgr J.Wałaszek I LO

f(x) = x * x + 2 * x

Podaj początek przedziału całkowania

xp = 0

Podaj koniec przedziału całkowania

xk = 1

Wartość całki wynosi : 1,333

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...

do podrozdziału do strony

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.

Metoda Simpsona

Algorytm całkowania metodą Simpsona

Uwaga:

Opis algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Przykładowe programy

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody Simpsona

Metoda Simpsona

Algorytm całkowania metodą Simpsona

Uwaga:

Opis algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Przykładowe programy

Obliczanie całki oznaczonejza pomocą metody Simpsona

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody Simpsona