Całkowanie numeryczne: Metoda trapezów

obrazek

Opisana w poprzednim rozdziale metoda prostokątów nie jest zbyt dokładna, ponieważ pola użytych w niej prostokątów źle odwzorowują powierzchnię pola pod krzywą (dokładność odwzorowania rośnie wraz ze wzrostem liczby prostokątów). Dużo lepszym rozwiązaniem jest zastosowanie zamiast nich trapezów o wysokości dx i podstawach równych odpowiednio wartości funkcji w punktach krańcowych.. Sama zasada nie zmienia się.

Przedział całkowania [x_p,x_k] dzielimy na n+1 równo odległych punktów x₀,x₁,x₂,...,x_n. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:

dla i = 0,1,2,...,n

Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - będzie to wysokość każdego trapezu:

obrazek

Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie:

obrazek

Pole pod wykresem funkcji przybliżane jest polami n trapezów. Pole i-tego trapezu obliczamy wg wzoru:

dla i=1,2,...,n
obrazek

Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów:

czyli

Wyprowadzony na końcu wzór jest podstawą przybliżonego wyliczania całki w metodzie trapezów.

Przykład:

Obliczymy ręcznie przybliżoną wartość całki oznaczonej z funkcji f(x) = sin(x)w przedziale [0,π].

Przedział podzielimy na n+1 = 5 punktów:

Odległość między dwoma sąsiednimi punktami wynosi:

Dla każdego z wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x) = sin(x):

Obliczamy sumę pól trapezów:

Otrzymaliśmy wynik identyczny jak w przypadku metody prostokątów - dlaczego?

Na początek: podrozdziału strony

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

x_p	- początek przedziału całkowania, x_p ∈ R
x_k	- koniec przedziału całkowania, x_k ∈ R
n	- liczba punktów podziałowych, n ∈ N
f (x)	- funkcja rzeczywista, której całkę liczymy

Dane wyjściowe

s	- przybliżona wartość całki oznaczonej funkcji f (x) w przedziale [x_p,x_k], s ∈ R

Zmienne pomocnicze

dx	- odległość między dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi, dx ∈ R
i	- licznik punktów podziałowych, i ∈ N

Lista kroków

K01:	s ← 0
K02:
K03:	Dla i = 1,2,...,n : wykonuj: s ← s + f (x_p+ i ·dx)
K04:
K05:	Zakończ

Schemat blokowy

obrazek

Po odczytaniu informacji o krańcach x_p i x_k przedziału całkowania ustawiamy sumę s na 0, obliczamy odległość dx pomiędzy sąsiednimi punktami podziałowymi i ustawiamy ich licznik na 1.

Rozpoczynamy pętlę iteracyjną, która wykona się (n-1)-razy. Wewnątrz pętli obliczamy i-ty punkt podziałowy oraz wartość funkcji w tym punkcie, którą dodajemy do sumy s.

Po zakończeniu pętli do sumy s dodajemy średnią wartość funkcji na krańcach przedziału i całość przemnażamy przez dx Po tej operacji s zawiera wartość przybliżoną całki. Zwracamy ją użytkownikowi i kończymy algorytm.

Na początek: podrozdziału strony

Prezentowane poniżej programy wyliczają całkę oznaczoną funkcji f(x) = x² + 2x. Przedział całkowania jest dzielony na n=1000 punktów. W przedziale [0,1] całka oznaczona ma wartość dokładną równą ⁴/₃ = 1.3333...

C++

//****************************************************
//**  Obliczanie całki oznaczonej  metodą trapezów  **
//** ---------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek     I LO w Tarnowie **
//****************************************************

#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

double f(double x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

//********************
//** Program główny **
//********************

int main()
{
  const int N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych
  double xp,xk,s,dx;
  int i;

  cout << setprecision(3)      // 3 cyfry po przecinku
       << fixed;               // format stałoprzecinkowy

  cout << "Obliczanie  calki oznaczonej\n"
          " za pomoca  metody trapezow\n"
          "----------------------------\n"
          "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO\n\n"
          "f(x) = x * x + 2 * x\n\n"
          "Podaj poczatek przedzialu calkowania\n\n"
          "xp = ";
  cin >> xp;
  cout << "\nPodaj koniec przedzialu calkowania\n\n"
          "xk = ";
  cin >> xk;
  cout << endl;
  s  = 0;
  dx = (xk - xp) / N;
  for(i = 1; i < N; i++) s += f(xp + i * dx);
  s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx;
  cout << "Wartosc calki wynosi : " << setw(8) << s
       << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

Pascal

//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
//** ------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek  I LO w Tarnowie **
//*************************************************

program int_trapez;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x : double) : double;
begin
  f := x * x + 2 * x;
end;

//********************
//** Program główny **
//********************

const N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych

var
  xp,xk,s,dx : double;
  i : integer;

begin
  writeln('Obliczanie  calki oznaczonej');
  writeln(' za pomoca  metody trapezow');
  writeln('----------------------------');
  writeln('(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO');
  writeln;
  writeln('f(x) = x * x + 2 * x');
  writeln;
  writeln('Podaj poczatek przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xp = '); readln(xp);
  writeln;
  writeln('Podaj koniec przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xk = '); readln(xk);
  writeln;
  s  := 0;
  dx := (xk - xp) / N;
  for i := 1 to N - 1 do s := s + f(xp + i * dx);
  s := (s + (f(xp) + f(xk)) / 2)* dx;
  writeln('Wartosc calki wynosi : ',s:8:3);
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz Enter...');
  readln;
end.

Basic

'*************************************************
'** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
'** ------------------------------------------- **
'** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek  I LO w Tarnowie **
'*************************************************

Declare Function f(x as Double) As Double

'********************
'** Program główny **
'********************

const N = 1000 'liczba punktów/trapezów podziałowych

Dim As Double xp,xk,s,dx
Dim As Integer i

Print "Obliczanie  calki oznaczonej"
Print " za pomoca  metody trapezow"
Print "----------------------------"
Print "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO"
Print
Print "f(x) = x * x + 2 * x"
Print
Print "Podaj poczatek przedzialu calkowania"
Print
input "xp = ", xp
Print
Print "Podaj koniec przedzialu calkowania"
Print
Input "xk = ", xk
Print
s  = 0
dx = (xk - xp) / N
for i = 1 to N - 1: s = s + f(xp + i * dx): Next
s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx
print Using "Wartosc calki wynosi : #####.###";s
Print
Print "Nacisnij klawisz Enter..."
Sleep
End

'*******************************
'** Tutaj definiujemy funkcję **
'*******************************

function f(x as Double) As Double
  f = x * x + 2 * x
End Function

JavaScript

<html>
<head>
  <title>Całkowanie numeryczne metodą trapezów</title>
</head>
<body>
<script language="JavaScript">

//****************************************************
//**  Obliczanie całki oznaczonej  metodą trapezów  **
//** ---------------------------------------------- **
//**  (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek   I LO w Tarnowie  **
//****************************************************

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

function js_trapez()
{
  var N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych
  var xp,xk,s,dx,i,t;

  xp = parseFloat(document.frm_trapez.xp_inp.value);
  xk = parseFloat(document.frm_trapez.xk_inp.value);
  if(isNaN(xp) || isNaN(xk))
    t = "<font color=red><b>Popraw dane wejściowe!</b></font>";
  else
  {
    s = 0;
    dx = (xk - xp) / N;
    for(i = 1; i < N; i++) s += f(xp + i * dx);
    s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx;
    t = Math.floor(s * 1000) / 1000;
  };
  document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script>

<form method="POST"
      name="frm_trapez"
      style="border: 2px solid #FF9900;
             padding-left: 4px;
             padding-right: 4px;
             padding-top: 1px;
             padding-bottom: 1px;
             background-color: #FFFFCC">
  <h2 style="text-align: center">
    Obliczanie całki oznaczonej<br>
    za pomocą metody prostokątów
  </h2>
  <hr>
  <p style="text-align: center">
    (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Całkowana funkcja:
  </p>
  <p style="text-align: center">
    <i>f(x) = x<sup>2</sup> + 2x</i>
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Tutaj określ przedział całkowania
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Początek <i>x<sub>p</sub></i> =
    <input type="text" name="xp_inp" size="20" value="0">
    i koniec <i>x<sub>k</sub> </i>=
    <input type="text" name="xk_inp" size="20" value="1">
  </p>
  <p style="text-align: center">
    <input onclick="js_trapez();" type="button"
           value="Oblicz całkę" name="B1">
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Wartość całki wynosi
  </p>
  <p id="t_out" style="text-align: center">...</p>
</form>
</body>
</html>

Wynik:

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody trapezów
----------------------------
(C)2006 mgr J.Wałaszek I LO

f(x) = x * x + 2 * x

Podaj początek przedziału całkowania

xp = 0

Podaj koniec przedziału całkowania

xk = 1

Wartość całki wynosi : 1,333

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...

Na początek: podrozdziału strony

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.

Metoda trapezów

Algorytm całkowania metodą trapezów

Opis algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Przykładowe programy

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody trapezów

Metoda trapezów

Algorytm całkowania metodą trapezów

Opis algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Przykładowe programy

Obliczanie całki oznaczonejza pomocą metody trapezów

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody trapezów