Klasa III - Drzewa binarne

Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node). Dane przechowuje się w węzłach drzewa. Węzły są ze sobą powiązane w sposób hierarchiczny za pomocą krawędzi (ang. edge), które zwykle przedstawia się za pomocą strzałki określającej hierarchię. Pierwszy węzeł drzewa nazywa się korzeniem (ang. root node). Od niego "wyrastają" pozostałe węzły, które będziemy nazywać synami (ang. child node). Synowie są węzłami podrzędnymi w strukturze hierarchicznej. Synowie tego samego ojca są nazywani braćmi (ang. sibling node). Węzeł nadrzędny w stosunku do syna nazwiemy ojcem (ang. parent node). Ojcowie są węzłami nadrzędnymi w strukturze hierarchicznej. Jeśli węzeł nie posiada synów, to nazywa się liściem (ang. leaf node), w przeciwnym razie nazywa się węzłem wewnętrznym (ang. internal node, inner node, branch node).

Struktura drzewa

A...H – węzły drzewa

strzałki – krawędzie. Zwrot określa kierunek hierarchii rodzić → dziecko.

A – korzeń drzewa
B,C,D – bracia, synowie węzła A, który jest dla nich ojcem
E,F,G – bracia, synowie węzła B, który jest dla nich ojcem
H – syn węzła D, który jest dla niego ojcem
A,B,D – węzły wewnętrzne
C,E,F,G,H – liście

Za wyjątkiem korzenia wszystkie pozostałe węzły w drzewie posiadają swojego ojca. W normalnym drzewie liczba synów dla dowolnego węzła nie jest ograniczona. Istnieje jednakże bardzo ważna klasa drzew, w których dany węzeł może posiadać co najwyżej dwóch synów. Noszą one nazwę drzew binarnych (ang. binary tree).

Ciąg węzłów połączonych krawędziami nazwiemy ścieżką (ang. path). Od korzenia do określonego węzła w drzewie wiedzie zawsze dokładnie jedna ścieżka prosta, tzn. taka, iż zawarte w niej węzły pojawiają się tylko jeden raz. Długością ścieżki (ang. path length) nazwiemy liczbę krawędzi łączących węzły w ścieżce. Dla naszego drzewa mamy następujące ścieżki proste od korzenia do kolejnych węzłów:

Struktura drzewa		Ścieżki
		ścieżka od A do A: długość 0: A ścieżka od A do B: długość 1: A→B ścieżka od A do C: długość 1: A→C ścieżka od A do D: długość 1: A→D ścieżka od A do E: długość 2: A→B→E ścieżka od A do F: długość 2: A→B→F ścieżka od A do G: długość 2: A→B→G ścieżka od A do H: długość 2: A→D→H

Długość ścieżki prostej od korzenia do danego węzła nazywa się poziomem węzła (ang. node level). Korzeń drzewa ma zawsze poziom 0. W naszym drzewie węzły B, C i D mają poziom 1, a E, F, G i H mają poziom 2. Wysokość drzewa (ang. tree height) jest równa największemu poziomowi węzłów (lub najdłuższej ścieżce rozpoczynającej się w korzeniu). Dla naszego drzewa wysokość jest równa 2. Wysokość węzła (ang. node height), to długość najdłuższej ścieżki od tego węzła do liścia. Dla korzenia wysokość węzła jest równa wysokości drzewa:

Struktura drzewa		Wysokości węzłów
		węzeł A: wysokość = 2 węzeł B: wysokość = 1 węzeł C: wysokość = 0 węzeł D: wysokość = 1 węzeł E: wysokość = 0 węzeł F: wysokość = 0 węzeł G: wysokość = 0 węzeł H: wysokość = 0

Poziom drzewa (ang. tree level, the level of a tree) dla danego węzła to długość ścieżki prostej od korzenia do danego węzła.

Struktura drzewa		Poziomy
		Poziom 0: A Poziom 1: B,C,D Poziom 2: E,F,G,H

Liczba krawędzi powiązanych z danym węzłem nosi nazwę stopnia węzła (ang. node degree). Krawędzie drzewa są krawędziami skierowanymi (ang. directed edge) i oznaczamy je za pomocą strzałek. Kierunek strzałki jednoznacznie określa pozycję w hierarchii – strzałka wychodzi od ojca i kończy się na synu. Z tego powodu stopień węzła rozbija się na dwa stopnie:

stopień wejściowy (ang. node in-degree) – liczba krawędzi wchodzących do węzła, dla drzewa nigdy nie przekracza 1, a jest równy 0 tylko dla korzenia,

stopień wyjściowy (ang. node out-degree) – liczba krawędzi wychodzących z węzła, określa liczbę synów.

Stopień węzła jest sumą stopnia wejściowego i wyjściowego.

Struktura drzewa
		węzeł A: we=0, wy=3, stopień węzła = 3 węzeł B: we=1, wy=3, stopień węzła = 4 węzeł C: we=1, wy=0, stopień węzła = 1 węzeł D: we=1, wy=1, stopień węzła = 2 węzeł E: we=1, wy=0, stopień węzła = 1 węzeł F: we=1, wy=0, stopień węzła = 1 węzeł G: we=1, wy=0, stopień węzła = 1 węzeł H: we=1, wy=0, stopień węzła = 1

Zwróć uwagę, że liście nie będące korzeniem (jeśli korzeń jest liściem, to jego stopień wynosi 0) mają zawsze stopień równy 1.

Drzewo binarne

Drzewo, w którym węzły mogą posiadać co najwyżej dwóch synów, nazywa się drzewem binarnym (ang. binary tree, B-tree). Węzły potomne nazywamy odpowiednio synem lewym (ang. left child node) i synem prawym (ang. right child node). Drzewa binarne mają ogromne znaczenie w informatyce, ponieważ za ich pomocą można odwzorować również drzewa, których węzły posiadają dowolną liczbę synów – sposób takiego odwzorowania podamy w dalszej części rozdziału.

Drzewo binarne
		A – korzeń, ojciec B i C B,C – synowie A, B – lewy syn A, C – prawy syn A D,E – liście, synowie B F,G – liście, synowie C

W drzewie binarnym stopień każdego węzła nie przekracza 3. Stopień korzenia nie przekracza 2.

Regularne drzewo binarne (ang. regular binary tree, proper binary tree) zawiera wyłącznie węzły, których stopień wyjściowy jest albo równy 2 (węzeł posiada dwóch synów – jest węzłem wewnętrznym), albo 0 (węzeł nie posiada synów – jest liściem).

Regularne drzewo binarne		Stopnie wyjściowe
		A – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny B – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny C – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny D – stopień wyjściowy 0, liść E – stopień wyjściowy 0, liść F – stopień wyjściowy 0, liść G – stopień wyjściowy 0, liść

Dla regularnego drzewa binarnego liczba węzłów na poziomie k-tym jest zawsze równa 2^k. Liczba wszystkich węzłów, czyli rozmiar drzewa (ang. binary tree size) jest równa 2^p - 1, gdzie p oznacza liczbę poziomów.

obrazek

Dla n węzłów liczba poziomów jest równa log₂(n+1).

Ponumerujmy poziomami kolejne węzły, idąc od strony lewej do prawej:

obrazek

Otrzymane numery węzłów są powiązane ze strukturą hierarchii drzewa prostymi zależnościami:

Jeśli węzeł o numerze k posiada synów, to:

lewy syn ma numer 2k+1
prawy syn ma numer 2k+2

Jeśli węzeł o numerze k posiada ojca, to:

ojciec ma numer [(k-1) / 2]

[...] oznacza część całkowitą.

Węzeł o numerze k znajduje się na poziomie o numerze [log₂(k+1)].

Węzeł o numerze k jest wewnętrzny, jeśli 2k+2 < n. W przeciwnym razie węzeł jest liściem.

Własności te pozwalają odwzorowywać regularne drzewo binarne w ciąg elementów i na odwrót

obrazek

Kompletne drzewo binarne (ang. complete binary tree) posiada zapełnione węzłami wszystkie poziomy z wyjątkiem ostatniego, jednakże na ostatnim poziomie węzły są zapełnione począwszy od lewej strony.

Kompletne drzewo binarne		Niekompletne drzewo binarne

Kompletne drzewo binarne również da się odwzorować w ciąg węzłów. W takim drzewie liczba elementów n może być mniejsza od maksymalnej liczby węzłów, ponieważ ostatni poziom nie musi posiadać kompletu węzłów. Jednakże w przeciwieństwie do drzewa regularnego węzeł wewnętrzny może posiadać tylko jednego, lewego syna (u nas węzłem takim jest węzeł 4). Dlatego w kompletnym drzewie binarnym o rozmiarze n dla węzła o numerze k zachodzi:

2k + 2 > n – węzeł jest liściem

2k + 2 = n – węzeł jest ostatnim węzłem wewnętrznym i posiada tylko lewego syna

2k + 2 < n – węzeł jest węzłem wewnętrznym i posiada obu synów.

Poddrzewo (ang. subtree) jest drzewem zawartym w drzewie, gdy jako korzeń przyjmiemy jeden z węzłów. Dla danego węzła drzewa binarnego mogą istnieć dwa poddrzewa: lewe poddrzewo (ang. left subtree) – korzeniem jest lewy syn i analogicznie prawe poddrzewo (ang. right subtree) – korzeniem jest prawy syn:

obrazek

Reprezentacja drzew binarnych w programie

Istnieje wiele różnych rozwiązań dla reprezentacji drzew binarnych w pamięci komputera. Tutaj podamy te najprostsze.

Kompletne drzewo binarne

W tym przypadku drzewo możemy odwzorować w tablicy n-elementowej. Każdy element tablicy jest węzłem. Hierarchię drzewa przedstawiamy przy pomocy indeksów i ich własności dla kompletnych drzew binarnych. Korzeniem drzewa jest element o indeksie 0. Jego dwoma synami są kolejno elementy o indeksach 1 (lewy syn) i 2 (prawy syn). Postępując podobnie z pozostałymi węzłami otrzymamy całe drzewo binarne:

obrazek

Niekompletne drzewo binarne

Drzewo odwzorowujemy podobnie jak listę. Każdy element jest strukturą, która oprócz danych zawiera dwa lub trzy wskaźniki:

Wersja uproszczona	struct BTNode { BTNode * left; BTNode * right; typ_danych data; };
Wersja pełna	struct BTNode { BTNode * up; BTNode * left; BTNode * right; typ_danych data; };

Gdzie:

up – wskazuje ojca danego węzła. Dla korzenia pole to zawiera wskazanie puste
left – wskazuje lewego syna
right – wskazuje prawego syna
data – dane dowolnego typu przechowywane przez węzeł

Wskaźniki pozwalają na przemieszczanie się po węzłach w strukturze drzewa. Wskaźniki left i right umożliwiają przechodzenie w dół drzewa. Wskaźnik up prowadzi w górę do ojca danego węzła. Jeśli ten kierunek nie jest istotny, to wskaźnik może zostać pominięty (wersja uproszczona).

Reprezentacja drzew dowolnych

Drzewo dowolne może posiadać węzły o dowolnej liczbie synów. Jeśli liczba możliwych węzłów potomnych nie jest duża, to do reprezentacji takiego drzewa można wykorzystać metodę z drzewa binarnego, zwiększając odpowiednio liczbę wskaźników. Na przykład dla drzew czwórkowych (ang. quadtree) możemy zaimplementować następującą strukturę danych:

struct QuadTreeNode
{
  QuadTreeNode * up;
  QuadTreeNode * ne;
  QuadTreeNode * nw;
  QuadTreeNode * se;
  QuadTreeNode * sw;
  typ_danych data;
};

Gdzie:

up – wskazuje ojca danego węzła. Dla korzenia pole to zawiera wskazanie puste
ne – wskazuje syna północnowschodniego
nw – wskazuje syna północnozachodniego
se – wskazuje syna południowowschodniego
sw – wskazuje syna południowozachodniego
data – dane dowolnego typu przechowywane przez węzeł

Gdy liczba synów jest duża, to rezerwowanie w każdym węźle pól na wskaźniki przestaje być efektywne. Zamiast prostych pól możemy umieścić w każdym węźle tablicę dynamiczną o wymaganym rozmiarze, której każdy element jest wskaźnikiem do syna danego węzła. Do obsługi takiej struktury będzie potrzebna jeszcze informacja o liczbie elementów w tablicy. Dodatkowo musimy pamiętać o zwolnieniu tablic dynamicznych, gdy drzewo jest usuwane z pamięci.

struct AnyTreeNode
{
  AnyTreeNode * up;
  AnyTreeNode * child;
  int n;
  typ_danych data;
};

Gdzie:

up – wskazuje ojca danego węzła. Dla korzenia pole to zawiera wskazanie puste
child – wskazuje tablicę zawierającą wskazania do węzłów synów
n – określa liczbę synów
data – dane dowolnego typu przechowywane przez węzeł

Alternatywnym rozwiązaniem jest zastosowanie listy jednokierunkowej, której elementy przechowują wskazania synów danego węzła. Wymaga to dołączenia do programu metod obsługi takiej listy, a najlepiej zastosowanie odpowiedniego obiektu.

typedef struct AnyTreeNode PAnyTreeNode;
 
struct slistEl
{
  slistEl * next;
  PAnyTreeNode * node;
};

struct AnyTreeNode
{
  AnyTreeNode * up;
  slistEl * child;
  typ_danych data;
};

Ostatnia metoda reprezentacji dowolnych drzew wykorzystuje drzewo binarne w pewien szczególny sposób. Zasada jest następująca:

Każdy węzeł drzewa dowolnego jest reprezentowany przez odpowiedni węzeł drzewa binarnego. Różnica występuje w interpretacji krawędzi. Otóż w drzewie binarnym lewy syn węzła oznacza pierwszego syna węzła w drzewie dowolnym. Prawy syn oznacza zawsze kolejnego brata, czyli węzeł posiadający tego samego ojca. Bracia tworzą listę prawych dowiązań. Prześledźmy krok po kroku przekształcenie drzewa dowolnego na drzewo binarne.

Drzewo dowolne	Drzewo binarne	Opis operacji
	?	Konstruujemy drzewo binarne.
		Korzeń drzewa dowolnego przechodzi w korzeń drzewa binarnego.
		Lewy syn węzła A w drzewie dowolnym staje się lewym synem węzła A w drzewie binarnym.
		Syn C węzła A staje się "prawym synem" węzła B w drzewie binarnym. jednakże tutaj prawi synowie są interpretowani jako bracia tego samego ojca, czyli węzła A.
		Syn D węzła A staje się "prawym synem" węzła C, czyli jego bratem. Zwróć uwagę, że bracia tworzą w ten sposób listę jednokierunkową za pomocą prawych dowiązań.
		Syn E węzła B w drzewie dowolnym staje się lewym synem węzła B w drzewie binarnym. Zwróć uwagę, że węzeł B wyczerpał już dostępne dla niego krawędzie wyjściowe, których może posiadać co najwyżej dwie.
		Węzły F i G dołączamy kolejno jako prawych braci węzła E. Wszystkie trzy worzą listę jednokierunkową.
		Węzeł H dołączamy jako lewego syna węzła C.
		Węzeł I dołączamy jako lewego syna węzła D.
		Węzeł J dołączamy jako prawego brata węzła I. Drzewo binarne zostało utworzone.

→

Podana transformacja pozwala przedstawić dowolne drzewo jako drzewo binarne. Zmianie ulega tutaj interpretacja krawędzi:

Lewy syn jest pierwszym synem węzła. Jeśli węzeł nie posiada lewego syna, to jest liściem.

Prawy syn jest bratem węzła, czyli węzłem posiadającym tego samego ojca. W strukturze wszystkich węzłów dołączonych poprzez prawe krawędzie pole up wskazuje ten sam węzeł nadrzędny. Prawostronne dowiązania tworzą listę jednokierunkową braci. Pierwszy element tej listy jest zawsze lewym synem ojca wszystkich węzłów na liście. Jeśli węzeł nie posiada prawego syna, to jest on ostatnim węzłem na liście braci.

Wynika stąd prosty wniosek – skoro każde drzewo da się sprowadzić do drzewa binarnego, to wystarczy opracować dobre metody obsługi drzew binarnych, aby móc przetwarzać dowolne drzewa. Dlatego właśnie drzewa binarne są tak ważne w informatyce.

Informatyka dla klas III - Drzewa binarne

Terminologia

Drzewo binarne

Reprezentacja drzew binarnych w programie

Kompletne drzewo binarne

Niekompletne drzewo binarne

Reprezentacja drzew dowolnych