Analiza geometryczna biegu promieni w płytce

Ponieważ - przy opisie zjawiska dwójłomności występują współczynniki załamania światła - jako wprowadzenie przypomnijmy klasyczne zadanie z optyki geometrycznej z płytką płasko-równoległą. Posłuży nam ono jednocześnie do sprawdzenia poprawności działania pierwszego fragmentu programu (listing 1).

Promień światła monochromatycznego pada pod kątem α  = 30° na płasko-równoległą płytkę szklaną o grubości d  = 3 cm. Współczynnik załamania materiału płytki n  = 1,5. Ile wynosi przesunięcie promienia świetlnego w płytce? (Ryc. 1).

Odp. 0,58 cm [4].

Ryc.1

Listing 1²

'DO RYSUNKU 1
'PŁYTKA PŁASKO-RÓWNOLEGŁA

Cls

'WPROWADZANIE DANYCH

Dim As Double f, f1, BD, BC, DE   

Const pi = 3.1415926535
Const n = 1.5
Const d = 3.0

For f = pi / 2 To 0 Step -.01
  f1 = Asin(Sin(f) / n)
  BD = d * Tan(f)
  BC = d * Tan(f1)
  DE = (BD - BC) * Cos(f)
  Print f, DE
  Sleep
Next
End

W przypadku zjawiska dwójłomności mamy – jak wspomniano wyżej - do czynienia z dwoma współczynnikami załamania promieni świetlnych. Jako punkt wyjścia przypomnijmy tutaj zjawisko, które geometrycznie przypomina bieg promieni świetlnych w płytce anizotropowej. Chodzi o zależność współczynnika załamania od długości fali (dyspersja światła). Poniższe zadanie przybliży nas wizualnie do zjawiska dwójłomności i jednocześnie pozwoli przetestować następny fragment tworzonego programu (listing 2).

Promień światła białego pada pod kątem α  = 30° na płasko-równoległą płytkę szklaną o współczynnikach załamania dla promieni fioletowych i czerwonych równych odpowiednio n_f  = 1,53 i n_cz  = 1,50. Grubość płytki wynosi d  = 3 cm. Jaka jest szerokość wiązki światła wychodząca płytki? (Ryc. 2).

Odp. 0,2 mm [4]

Ryc.2

Listing 2

'DO RYSUNKU 2
'PŁYTKA PŁASKO-RÓWNOLEGŁA

Cls

'WPROWADZANIE DANYCH

Dim As Double f, f1, f2, BC, BC1, EE1   

Const pi = 3.1415926535
Const n1 = 1.53
Const n2 = 1.5
Const d  = 3.0

For f = pi / 2 To 0 Step -.01
  f1  = Asin(Sin(f) / n1)
  f2  = Asin(Sin(f) / n2)
  BC  = d * Tan(f1)
  BC1 = d * Tan(f2)
  EE1 = (BC1 - BC) * Cos(f)
  Print f,EE1
  Sleep
Next
End

Niech teraz n₁, n₂ - oznaczają współczynniki załamania promienia nadzwyczajnego i zwyczajnego. Geometria zjawiska jest taka sama jak na Ryc. 2, ale będzie nas interesowało przesunięcie fazowe wywołane różnicą przebytych dróg optycznych.

Ryc. 2 wykorzystajmy:

z Δ CDE  → DE  = CDsinφ, ale CD = BD - BC, zatem:

CE = (BD - BC)sinφ.

Przesunięcie fazowe:

Uzupełniamy poprzedni fragment programu (listing 2) i od razu sprawdzamy poprawność jego działania na przykładzie konkretnej sytuacji fizycznej (listing 3).

Listing 3

'RÓŻNICA DRÓG OPTYCZNYCH
'PRZESUNIĘCIE FAZOWE

Cls

'WPROWADZANIE DANYCH

Dim As Double r
Dim As Double f, f1, f2, BC, BC1      
Dim As Double CE, AC, AC1, delta    

Const pi = 3.1415926535
Const n1 = 1.54426
Const n2 = 1.55337
Const d  = 0.04

For f = pi / 2 To 0 Step -.01
  f1  = Asin(Sin(f) / n1)
  f2  = Asin(Sin(f) / n2)
  BC  = d * Tan(f1)
  BC1 = d * Tan(f2)
  CE  = (BC1 - BC) * Sin(f)
  AC  = d / Cos(f1)
  AC1 = d / Cos(f2)
  r   = AC * n1 - AC1 * n2 - CE

  'delta = 2 * pi / l * r

  Print f, r
  Sleep
Next
End

Wiązka światła pada prostopadle na płytkę kwarcu wyciętą równolegle do osi optycznej. Wyznaczyć różnicę dróg optycznych promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego po przejściu przez płytkę, jeżeli grubość płytki wynosi 0.04 mm. Współczynniki załamania dla promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego są odpowiednio równe 1,54426 oraz 1,55337.

Odp. Δ = d(n₁ - n₂) = 0,04(1,55337 - 1,54426) = 0,36 µm [5].

Niech na kryształ pada zbieżna wiązka promieni świetlnych φ  ∈ <0,^π/₂>. Możemy wówczas zaobserwować skomplikowane figury interferencyjne powstające wskutek tego, że każdemu kątowi padania wiązki przechodzącej przez kryształ odpowiada inna różnica faz drgań promienia nadzwyczajnego i zwyczajnego. W tej sytuacji dla każdej wartości kąta φ  mamy określone wartości różnic dróg optycznych. Zbadajmy teraz zależność pomiędzy różnicą faz δ, a kątem padania promieni φ  na płytkę; inaczej będziemy szukać takich wartości δ, dla których spełnione są warunki:

Przyjmijmy, że natężenie światła fali spolaryzowanej liniowo padającej na płytkę będzie I₀ i niech z  i n  oznaczają prostopadłe do siebie kierunki drgań promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego w materiale dwójłomnym. Przez α  oznaczymy kąt pomiędzy płaszczyzną polaryzacji drgania padającego na płytkę, a płaszczyzną polaryzacji promienia zwyczajnego z, a przez β  kąt pomiędzy płaszczyzną polaryzacji analizatora z płaszczyzną polaryzacji drgania z (Ryc. 3a).

Amplitudy drgań wytworzone w płytce wynoszą:

Każdemu z punktów płytki odpowiada inna różnica faz między interferującymi ze sobą promieniami świetlnymi. W miarę oddalania się od prostej AB  różnica faz wzrasta. W punktach jednakowo oddalonych od prostej AB  różnica faz δ ma stałą wartość. Punkty te leżą na okręgach o środku A  i mają promień BC  (ryc. 2).

Niech teraz promienie wychodzące z płytki podają na analizator tak ustawiony, aby jego kierunek drgań tworzył z kierunkiem drgań promienia zwyczajnego kąt β (Ry3. b). Wówczas:

I'₁ = I₁cosβ,    I'₂ = I₂sinβ.

Uwzględniając (1) otrzymujemy:

Promienie wychodzące z płytki padają na analizator, który wycina składowe wzdłuż kierunku swojej osi. Drganie te odbywają się w tym samym kierunku, mają ten sam okres i są ze sobą spójne (koherentne), a więc po wyjściu z analizatora mogą z sobą interferować.

W tym momencie pojawia się problem, jak znaleźć wypadkową dwóch drgań o amplitudach I₁ oraz I₂ odbywających się w jednym kierunku o różnicy faz δ ?. Postępujemy tak jak w kursie fizyki szkoły średniej, rzutując dodawane drgania na odpowiednie osie (Ryc. 4) lub stosując twierdzenie cosinusów. Niezwykle efektowne jest wykonanie tych obliczeń przy pomocy liczb zespolonych, ale nie zawsze jest to możliwe w szkole średniej.

Ryc.4

Listing 4

'POLARYZATOR+ANALIZATOR

Cls

'WPROWADZANIE DANYCH

Screen 9
Window(-320, 175)-(319, -174)

Dim As Double f, f1, f2, BC, BC1
Dim As Double CE, AC, AC1, delta
Dim As Double a, b, I, I1, I2    

Const pi = 3.14
Const n1 = 1.498
Const n2 = 1.683
Const d  = 1.0
Const l  = 0.0004

Line (-300,0)-(300,0): Line (0,175)-(0,-175)
Color 3

For f = pi / 2 To 0 Step -.01
  f1    = Asin(Sin(f) / n1)
  f2    = Asin(Sin(f) / n2)
  BC    = d * Tan(f1)
  BC1   = d * Tan(f2)
  CE    = (BC1 - BC) * Sin(f)
  AC    = d / Cos(f1)
  AC1   = d / Cos(f2)
  delta = 2 * pi / l * (AC1 * n1 - AC * n2 - CE)
  If delta Mod(2 * pi) = 0 Then 

'ANALIZATOR

    For a = 0 To 2 * pi Step 0.001
      b  = a + pi / 2
      I  = 100
      I1 = Sqr(I) * Cos(a) * Cos(b)
      I2 = Sqr(I) * Sin(a) * Sin(b)

'DRGANIA WYPADKOWE

      I = (I1 + I2 * Cos(delta))^2 + (I2 * Cos(delta))^2
      If I > 3 Then Pset(200 * BC1 * Sin(a), 200 * BC1 * Cos(a))
    Next

  Endif
Next
Sleep
End

Przystępujemy do skomentowania przedstawionego wyżej listingu. Rozpatrzymy niejako ”po drodze” kilka szczególnych sytuacji fizycznych, a odpowiadające im modyfikacje programu, mogą posłużyć do sprawdzenia poprawności działania przepisanego programu lub dostosowania algorytmu do innego języka programowania.

W pętli 1 wprowadzamy niezbędne stałe: długość fali świetlnej λ  (l), grubości płytki krystalicznej d, współczynniki załamania dla promienia zwyczajnego n₁ (n1) i nadzwyczajnego n₂ (n2). Na razie przyjmujemy, że współczynnik n₁ ma stałą wartość. W zależności od relacji pomiędzy wspomnianymi współczynnikami rozróżniamy kryształy optycznie ujemne (n₁ < n₂) oraz optycznie dodatnie (n₁ > n₂). W omawianym programie ko-lejność wprowadzania tych współczynników nie ma znaczenia z uwagi na symetrię zjawiska.

Dalej, w pętli 1, liczymy kąty załamania φ₁ (f1) promienia zwyczajnego i φ₂ (f2) promienia nadzwyczajnego; wartości te uzyskujemy z prawa załamania światła.

Przerwijmy na chwilę opisywanie programu i sprawdźmy poprawność działania tej części programu dla następujących sytuacji fizycznych:

•  φ  = 0, wiązka pada prostopadle na płytkę: φ₁ = φ₂ = 0 oraz AC  = AD  = d  - grubość płytki,
•  n₁ = n₂, δ  = 0; oczywiście zjawisko dwójłomności nie zachodzi; wówczas odcinek DE  = 0, oraz , AC  = AD, φ₁ = φ₂.
•  d = 0 (usuwamy płytkę) - δ  = AC  = AD  = 0.
  

Ryc. 5, 6, 7 pokazują figury interferencyjne dla różnych materiałów i różnych parametrów fizycznogeometrycznych. Dane dotyczące rysunków zamieszczamy w Tabeli I, co pozwala w prosty sposób - przez po-równanie - uchwycić związki i zależności pomiędzy stałymi charakteryzującymi substancje dwójłomne [6].

Tabela 1

Jeśli zmniejszymy grubość płytki, taką samą różnicę faz δ  znajdujemy dla promieni padających pod większym kątem na płytkę. Wobec tego, w miarę zmniejszania grubości płytki, rosną grubości pierścieni ciemnych i odstępy miedzy nimi (Ryc. 7a-d). załamania promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego.

Dla płytki umieszczonej między równoległymi polaroidami uzyskujemy krzyż na przekątnych skośnych. W tym celu wystarczy położyć b  = a w pętli 2 (Ryc. 8).

W pętli 2 występuje skok warunkowy, który ma związek z natężeniem wiązki świetlnej opuszczającej układ. Jak pokazują powyższe przykłady wartości natężenia zależą od wielu parametrów, ale przecież nie uwzględniają pochłaniania i rozpraszania energii świetlnej w płytce krystalicznej. Zjawisko to dostatecznie złożone dla substancji izotropowych komplikuje się jeszcze bardziej w ośrodkach optycznie aktywnych. Wspomnimy tutaj tylko o tzw. pleochronizmie, polegającym na różnym pochłanianiu światła w zależności od orientacji wektora świetlnego (anizotropia absorpcji), czy dichronizmie, gdy jedna ze składowych światła spolaryzowanego jest pochłaniana znaczne silniej niż druga. A przecież straty energii zależą jeszcze od długości fali świetlnej, gęstości substancji, rozproszenia wiązki padającej, emisji wymuszonej itp.[6]. Zagadnienia te wypełniają stronice wielu monografii i dla-tego w niniejszej pracy nie uwzględniano tych zjawisk. Przyjęto stały współczynnik pochłaniania k  = 0,03 (Ryc. 5, 6, 7, 8) i tylko dla porównania k  = 0,1 (Ryc. 9). Widać, że pochłanianie ma na przykład wpływ na szerokość ciemnego krzyża.

Program daje możliwości przewidywania i modelowana zjawisk. Wydaje się, że z dydaktycznego punktu widzenia cenne byłoby następujące podejście. Jak wyglądałaby figura interferencyjna, gdybyśmy rzucili na nią monochromatyczną wiązkę światła nadfioletowego (Ryc. 9a - λ  = 0,2µm) czy podczerwonego (Ryc. 9b - λ  = 1µm) ? Jak zmieniać się będzie ilość prążków?

Uprzednio, dla przejrzystości tworzonego programu, założyliśmy, że współczynnik załamania promienia nadzwyczajnego ma stałą wartość. Tymczasem wiadomo, że istotną cechą substancji optycznie aktywnych jest zależność tego współczynnika od kata padania. Możemy pójść dalej; zależność tę ująć w dowolną formułę ma-tematyczną, spełniająca oczywiście warunki fizyczne. Na przykład: niech wartość współczynnika załamani promienia nadzwyczajnego będzie następującą funkcją kąta padania promieni świetlnych:

- n₂ = 1 + φ,

- n₂ = 1 + √φ.