I LO w Tarnowie
|
|
©2008 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie |
Już pobieżna analiza wzorów (2.2), (2.3), (2.4) i (2.5) przekonuje nas, że przedstawione dotąd figury wykazują pewne symetrie. Udowodnimy na początku, że wszystkie figury (2.1) w rozpatrywanym układzie współrzędnych są środkowo symetryczne (środek układu jest środkiem symetrii, czyli punktem stałym przekształcenia). W tym celu wystarczy wykazać:
|
Aby dowieść równości (3.1) należy udowodnić tożsamość:
|
Dowód przeprowadzamy przenosząc wyrażenia na jedną stronę i stosując wzory na sumę i różnicę sinusów. Posługując się powyższym wzorem i rozpatrując parzyste i nieparzyste m, n dowodzimy słuszności równości (3.1).
Z kursu geometrii szkoły średniej wiadomo, że symetria środkowa jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o prostych prostopadłych. Dla niektórych z pokazanych już figur takimi prostymi mogą być osie układu współrzędnych (Rys. 2c,d, p. także Rys. 3a,b), np. dla m = 3, n = 1 f(x,y) = f(-x,-y) = 0 oraz f(x,y) = f(x,-y) = 0, a np. dla m = 3, n = 2 osie układu nie są osiami symetrii (Rys. 2f, p. także Rys. 4a,b). Ciekawe symetrie można również uzyskać pozostając przy tych samych wartościach m,n lub m,n, ale zmieniając parametr a (Rys.9a-d).
Rys. 9
|
a)
|
b)
|
|
c)
|
d)
|
Przy odwzorowaniu przestrzennym sytuacja jest nieco inna. Mamy tutaj do czynienia nie z liniami funkcyjnymi, ale z powierzchniami funkcyjnymi rozpiętymi nad obszarem zmienności funkcji (1.3). Aby taka figura przestrzenna była środkowo symetryczna musi być spełniony warunek:
f(x,y) = -f(-x,-y)
Symetria względem środka przestrzennego układu współrzędnych (punkt O) jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych względem płaszczyzn xy, xz, yz parami prostopadłych, które mają punkt wspólny O [5]. Natomiast żadna z tych płaszczyzn nie jest płaszczyzną symetrii (mówimy też o antysymetrii) figury, tzn.
f(x,y) ≠ f(-x,y) ≠ f(x,-y) ≠ -f(x,y),
Możemy zaobserwować także inne ciekawe własności omawianych powierzchni funkcyjnych, np. zmieniając wartość parametru a na p + a uzyskujemy zwierciadlane odbicie w płaszczyźnie xy (Rys. 10a,b).
Rys. 10
|
a)
|
b)
|
Jeżeli w równaniu krzywych oprócz współrzędnych bieżących x i y występuje jeden lub kilka parametrów, to zbiór wszystkich krzywych nazywa się jedno- lub wieloparametrową rodziną krzywych, a równanie tych krzywych - równaniem rodziny [6].
Rozpatrzmy taką rodzinę dla m = 4, n = 1. Wówczas dla a Î <0,p/2> (Rys. 11a-i) równanie (1.2) przedstawia jednoparametrową rodzinę krzywych, ponieważ sina i cos a są związane tożsamościowo (jedynka trygonometryczna).
Rys. 11
|
a)
|
b)
|
c)
|
|
d)
|
e)
|
f)
|
|
g)
|
h)
|
i)
|
Nietrudno zauważyć, że przy odpowiednio małym kroku zmian parametru a następuje w miarę płynne przejście jednej figury w drugą. Takie przekształcenie płaszczyzny można uznać jako namiastkę modnej ostatnio w grafice komputerowej metamorfozy, tzw. morfingu.
Jednocześnie na nasze przekształcenie możemy popatrzeć jak na obrót dookoła początku układu o kąt a = -p/4. Chociaż rezultat obydwu przekształceń jest taki sam, nie można doszukiwać się analogii między nimi. Obrót zawsze można sprowadzić do przekształcenia liniowego, a zaprezentowaną na Rys. 11 transformację - nie [7].
 | I Liceum Ogólnokształcące |
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,
zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe
