Fotometria gwiazd

Rozpatrując przesłaniające się koła możemy to uczynić np. w języku algebry zbiorów. Jak wiadomo dwa zbiory (koła) są albo rozłączne, bądź też mają część wspólną (koniunkcja zbiorów)[3]. Oczywiście najbardziej będzie nas interesować powierzchnia części wspólnej. Najczęściej jest ona sumą dwóch odcinków kół. Dlatego też zaczniemy najpierw od numerycznego obliczenia pola koła. Zastosujemy tutaj najprostszą z punktu widzenia dydaktycznego metodę całkowania numerycznego. tj. metodę prostokątów. Czytelnikowi pragnącemu pogłębić ten temat proponuję zapoznanie się z metodą trapezów, metodą parabol (Simpsona), czy metodami losowymi np. Monte Carlo^[4].

Rys. 2

obrazek

Listing 2 Program 2

'KRZYWE BLASKU
'POLE KOŁA

Screen 9
Color 4,45:Locate 12,58:Print "x":Locate 2,42:Print "y"  'Komentarz graficzny programu
Window(-320, 175)-(319, -174):Color 3,63
Line (-150,0)-(150,0),40: Line (0,170)-(0,-170),40

Const PI=3.1415926535                                    'Deklarujemy stałe      
Const R=100
Const dx=10                                              'Krok rysunków

Dim As Double x,y,S                                      'Deklarujemy zmienne

S=0

For x=-R TO R Step dx            
        
        y=Sqr(R^2-x^2)
       
        S=(S+2*y*dx)                                     'Sumujemy prostokąty elementarne,
        Line (x,y)-(x,-y):Color 5                        'wykorzystując symetrie koła
        Locate 5,5:'Print "S=";S                         'Wypełnienie koła  

Next
Sleep
End

Jak ważna jest wartość kroku rachunków ilustrują Rys 2a-c i tabela:

Rys. 2a
dx = 10

obrazek

Rys. 2b
dx = 4

obrazek

Rys. 2c
dx = 1

obrazek

W zależności od kroku rachunków uzyskujemy następujące przybliżenia, np. pole koła o jednostkowym promieniu: S = πR² = π•1².

TAB.

dx	S	π = 3,1415926535897932384626433832795
0,1	3,141640735550
0,01	3,14159264845924
0,001	3,14159265373663
0,0001	3,14159265359196

Wykorzystując niektóre instrukcje listingów 1 i 2 tworzymy program, który pozwala kreślić i wyliczać cześć wspólną kół

Listing 3 Program 3

'KRZYWE BLASKU                                                            'Wykorzystujemy tutaj znane uczniowi
'POLE WSPÓLNE DLA OBU OKRĘGÓW                                             'ze szkoły średniej równanie okręgu
                                                                          'w postaci ogólnej
                                                                          '(x - x₀)²+(y - y₀)² = R². Do rysowania
Screen 9                                                                  'okręgów używamy zmiennych
Color 1,45:Locate 12,70:Print "x": Locate 2,42:Print "y"                  'y₁ i y₂. Każdy okrąg składa się
Window(-320, 175)-(319, -174):Color 3,63                                  'z dwóch połówek "+" i "-" y₁, y₂.
Line (-250,0)-(250,0),40: Line (0,170)-(0,-170),40
 
Dim As Single R
Const R1=100:Const R2=50
R=R1+R2

Const dx=1:Const dy=1
Dim As Double x,y,y1,y2,x0,y0

 x0=150:y0=0            

For x=-R TO R Step dx                                                     'Płaszczyzna jest przeglądana w podwójnej
                                                                          'pętli FOR x, FOR y.
    For y=-R TO R Step dy
        y1=Sqr(R1^2-x^2):y2=Sqr(R2^2-x^2)                                 'W rzeczywistości przy pomocy podwójnej  
                                                                          'pętli jest przeglądane pole prostokąta
        Pset (x,y1),23:Pset (x+x0,y0+y2),4                                'o wymiarach (R₁+R₂)(R₁+R₂) - celowe jest  
        Pset (x,-y1),23:Pset (x+x0,y0-y2),4                               'więc wprowadzenie zmiennej R = R₁+R₂ typu Single.
                                                                          'Rysowanie okręgów
        IF x^2+y^2<R1^2 And (x-x0)^2+(y-y0)^2<R2^2  Then Pset (x,y),7     'Warunek liczenia i kreślenia części wspólnej
                                                                          'okręgów  
    Next
Next

Sleep
End

Rys. 3a

x₀ = 150, y₀ = 0
R₁ = 100, R₂ = 50

Rys. 3b

x₀ = 120, y₀ = 60
R₁ = 100, R₂ = 50

Rys. 3c

x₀ = 50, y₀ = -40
R₁ = 100, R₂ = 80

Rys. 3d

obrazek

x₀ = -40, y₀ = 40
R₁ = 100, R₂ = 40

Rys. 3e

obrazek

x₀ = 0, y₀ = 0
R₁ = 100, R₂ = 90

Rys. 3f

obrazek

x₀ = 0, y₀ = 20
R₁ = 100, R₂ = 80

Oznaczmy przez d odległość między środkami okręgów. Wzajemne położenie tych okręgów :

- d > R₁ + R₂ - okręgi rozłączne,
- d = R₁ + R₂- okręgi są styczne zewnętrznie (Rys. 3a),
- |R₁ - R₂| < d < R₁ + R₂.- istnieje cześć wspólna, przy czym możemy mówić (umownie) o zakryciu płytkim (shallow eclipse) lub głębokim (deep eclipse) (Rys. 3b, c),
- d = |R₁ + R₂| - okręgi są styczne wewnętrznie (Rys. 3f),
- d < |R₁ + R₂| - jeden z okręgów zawiera się w drugim (Rys. 3d),
- d = 0 - okręgi współśrodkowe (Rys. 1e).

Łączymy algorytmy programów 1, 2 oraz 3:

Listing 4 Program 4

'KRZYWE BLASKU
'RYSOWANIE KRZYWYCH BLASKU

Screen 9
Color 1,45:Locate 12,72:Print "t":Locate 2,42:
Window(-320, 175)-(319, -174):Color 3,63
Line (-250,0)-(250,0),40: Line (0,170)-(0,-5),40

Const R1=100:Const R2=100

Dim As Double x,y,x1,x2,y1,y2,x0,y0,t,S
Color 3,63
R=R1+R2
For t=0 TO 300 Step 60
    
   For x=-R TO R Step 0.001
        
        x0=150:y0=50                                                    'Tworzenie animacji przesłaniania
        vx=1:vy=0
        x0=x0-vx*t:y0=y0-vy*t  
        
        y1=Sqr(R1^2-x^2):y2=1.3*Sqr(R2^2-x^2)
    
        Pset (x,y1),2:Pset (x+x0,y0+y2),4
        Pset (x,-y1),2:Pset (x+x0,y0-y2),4
   
   Next

Next

    R=R1+R2:
    Const dx=1:Const dy=1

FOR t=0 to 500 Step 1
    x0=250:y0=50                                                        'Rysowanie krzywych blasku
    vx=1:vy=0
    x0=x0-vx*t:y0=y0-vy*t:
    
    S=0
    For x=-R To R Step dx
        For y=-R To R Step dy
                                    
           y1=Sqr(R1^2-x^2):y2=Sqr(R2^2-x^2)
           IF x^2+y^2<R1^2 And (x-x0)^2+(y-y0)^2<R2^2 Then S=S+dx*dy
        
        Next
    Next
    Pset(x0,-0.008*S+120),8
  
Next                                                                    'Krzywa blasku

Sleep
End

Takie “mechaniczne” połączenie programów z pewnością jest nie do przyjęcia dla informatyka-fachowca. Przecież obydwa programy można zamknąć jakąś wspólną pętlą. Ale proszę jednak pamiętać do kogo jest adresowana ta praca.

CZĘŚĆ WSPÓLNA PRZESŁANIAJĄCYCH SIĘ FIGUR