Zagadnienie liczb zmiennoprzecinkowych (ang. floating point numbers - FP) opisaliśmy szczegółowo w poprzednich rozdziałach. Tutaj zajmiemy się ich konkretną realizacją w systemie binarnym. Przypomnijmy, wartość liczby zmiennoprzecinkowej obliczamy według wzoru:

gdzie:

L_(FP) - wartość liczby zmiennoprzecinkowej
m - mantysa
p - podstawa
c - cecha

W systemie dwójkowym wszystkie trzy elementy m, p i c będą zapisane dwójkowo za pomocą odpowiednio dobranego systemu kodowania liczb. Podstawa p zawsze będzie równa 2, zatem wzór obliczeniowy przyjmie postać:

Jak widać, do określenia formatu zmiennoprzecinkowego pozostaje nam podanie sposobu kodowania mantysy i cechy, ponieważ podstawa p = 2 będzie zawsze znana.

Na potrzeby tego artykułu zdefiniujemy bardzo prosty dwójkowy system zmiennoprzecinkowy. Pozwoli nam on w zrozumiały sposób przedstawić wszystkie podstawowe właściwości rzeczywistych systemów zmiennoprzecinkowych, które dla zaawansowanych czytelników opisujemy szczegółowo w następnym rozdziale.

Słowo kodowe FP będzie zbudowane z 8 bitów ponumerowanych od 0 do 7, które podzielimy na dwie części:

Cecha zawarta będzie w bitach od b₄ do b₇. Ustalmy, iż cecha jest liczbą całkowitą ze znakiem w kodzie U2 (Uwaga - ten sposób kodowania przyjęliśmy dla prostoty - rzeczywiste systemy zmiennoprzecinkowe stosują tutaj kodowanie z nadmiarem).  Wartość cechy obliczamy wg wzoru:

Przykład:

W słówku kodowym 10111101_(FP) cecha ma wartość 1011_(U2) = -8 + 2 + 1 = -5₍₁₀₎.

Mantysa zawarta jest w bitach od b₀ do b₃. Ustalamy, iż mantysa jest 4-bitową liczbą stałoprzecinkową w kodzie U2 (rzeczywiste systemy stosują kodowanie mantysy w stałoprzecinkowym kodzie ZM) Pozycję przecinka umieszczamy pomiędzy bitami b₁ i b₂ (jest to tylko taka nasza umowa, w rzeczywistości przecinek nie jest umieszczany w zapisie liczby, ale my wiemy, gdzie on powinien być i o to właśnie chodzi!). Zatem wartość mantysy obliczamy według wzoru:

Przykład:

W słówku kodowym 10111101_(FP) mantysa ma wartość

Znając sposób kodowania cechy i mantysy możemy już obliczyć wartość dowolnej liczby zapisanej w tym systemie zmiennoprzecinkowym. W tym celu należy ze słowa kodu wydobyć bity cechy i mantysy. Na podstawie podanych definicji z wydobytych bitów uzyskujemy wartości cechy i mantysy, a następnie obliczamy wartość liczby zmiennoprzecinkowej zgodnie ze wzorem

Przykład:

Obliczyć wartość liczby zmiennoprzecinkowej 00010100_(FP).

Przykład:

Obliczyć wartość liczby zmiennoprzecinkowej 11010111_(FP).

Przykład:

Obliczyć wartość liczby zmiennoprzecinkowej 11111001_(FP).

Z podanych powyżej przykładów widzimy jasno, iż nasz system pozwala kodować liczby ułamkowe zarówno dodatnie jak i ujemne.

Wzór L_(FP) = m · 2^c przyjmuje wartość maksymalną dla maksymalnej cechy i maksymalnej mantysy. Cecha przyjmie wartość maksymalną dla kodu:

Mantysa największą wartość przyjmie dla kodu:

Zatem:

Wartość najmniejszą uzyskamy dla maksymalnej cechy i minimalnej mantysy. Cechę maksymalną policzyliśmy już powyżej. Minimalną mantysę reprezentuje kod:

Zatem:

Stąd wszystkie liczby reprezentowane przez nasz kod zawierają się w przedziale:

W poniższej tabeli zebraliśmy wszystkie możliwe wartości, które może reprezentować nasz kod zmiennoprzecinkowy. Po lewej stronie mamy wszystkie możliwe cechy. U góry mamy wszystkie możliwe mantysy. Wartość liczby dla danej cechy i mantysy otrzymujemy na przecięciu wiersza cechy z kolumną mantysy.

Zwróć uwagę, iż pewne liczby występują wielokrotnie (0, 1, 2, 4), a pewnych liczb tutaj nie ma (9, 11, 13, 15). A przecież leżą one w wyliczonym wcześniej zakresie od -256 do 224. Dlaczego więc ich brakuje?

Przykład:

Aby to zrozumieć, spróbujmy zakodować liczbę 9 w naszym systemie zmiennoprzecinkowym. W tym celu musimy wyznaczyć cechę i mantysę. Cecha musi się zawierać w zakresie od -8 do 7, a mantysa w zakresie od -2 do 1³/₄. Początkowo przyjmiemy mantysę równą 9, a cechę równą 0. Następnie mantysę sprowadzimy do pożądanego zakresu dzieląc ją przez 2. Aby liczba zachowała po takim podziale swoją wartość, cecha musi być zwiększona o 1:

Otrzymaliśmy c = 3 oraz m = 1¹/₈. Przeliczamy otrzymane wartości na kod U2:

Zwróć uwagę, iż mantysa jest o 1 bit za długa - ma 5 bitów, a w naszej liczbie zmiennoprzecinkowej możemy zapamiętać tylko 4 bity mantysy. Życie jest okrutne, skoro nasz format wymaga 4 bitów, musimy odrzucić ostatni bit mantysy.

Zatem do kodu powędruje wartość 01,00_(U2) zamiast wyliczonej 01,001_(U2). Otrzymamy kod 00110100_(FP). Szukamy w naszej tabelce i znajdujemy:

Zatem z wartości 9 zrobiło się nam 8. Dlaczego? Po prostu wystąpiło zjawisko zwane utratą precyzji lub błędem zaokrąglenia. Liczba 9 wymaga większej precyzji niż oferuje nasz system i nie może w nim zostać przedstawiona dokładnie - zostanie zaokrąglona do 8.

// Precyzja

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

main()
{
  float x;  // 32-bitowa zmienna fp
  char  z[1];

  cout << setprecision(0) << fixed;
  x = 100000001;     // tego zmienna nie zapamięta dokładnie!
  cout << x << endl; // ups, utrata precyzji !!!
  cout << "\nNacisnij ENTER...\n";
  cin.getline(z,1);
}

program precyzja;

var
  x : single;     // 32-bitowa zmienna fp

begin
  x := 100000001; // tego zmienna nie zapamięta dokładnie!
  writeln(x:0:0); // ups, utrata precyzji !!!
  readln;
end.

Sprawdź wyniki pracy tego prostego programu. Czy teraz cię to dziwi?

Dla liczb dodatnich ilość bitów znaczących uzyskamy usuwając wszystkie początkowe i końcowe zera. To, co pozostanie, jest właśnie bitami znaczącymi.

Przykład:

Dla liczb ujemnych usuwamy początkowe jedynki i końcowe zera.

Przykład:

Po tych ustaleniach już łatwo możemy określić, czy liczba da się zapisać w danym systemie zmiennoprzecinkowym. W tym celu wystarczy przeliczyć ją na system dwójkowy i obliczyć ilość bitów znaczących. Jeśli mantysa może przechować te bity, to liczba będzie przedstawiona dokładnie. Jeśli nie, mamy utratę precyzji zapisu - liczba będzie zapamiętana z zaokrągleniem.

Dodawanie i odejmowanie

Wbrew pozorom zasady arytmetyki zmiennoprzecinkowej nie są wcale trudne - jak zwykle diabeł tkwi w szczegółach. Mamy dane dwie liczby zmiennoprzecinkowe:

gdzie

Suma lub różnica tych dwóch liczb wynosi:

Z wyliczeń tych wynika, iż mantysa sumy (lub różnicy) jest sumą (lub różnicą) mantys liczb wyjściowych po sprowadzeniu ich do wspólnej cechy (operacja ta nosi nazwę wyrównania cech liczb zmiennoprzecinkowych). Cecha sumy (lub różnicy) jest równa sumie cech dodawanych (lub odejmowanych) liczb. Po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest sprowadzana do postaci znormalizowanej i zapamiętywana w kodzie liczby zmiennoprzecinkowej.

W systemie dwójkowym operacja dzielenia przez 2 jest równoważna przesunięciu wszystkich bitów zapisu liczby o jedną pozycję w prawo (tak jak w systemie dziesiętnym podział przez 10). Z kolei mnożenie przez 2 odpowiada przesunięciu wszystkich cyfr o jedną pozycję w lewo.

Dzielenie lub mnożenie przez potęgi liczby 2 jest zatem przesuwaniem bitów o odpowiednią ilość pozycji (równą wykładnikowi potęgi liczby 2) w prawo (dzielenie) lub w lewo (mnożenie). Obie operacje są bardzo proste i nie wymagają wykonywania żadnych działań arytmetycznych (w procesorze realizują je układy zwane rejestrami przesuwnymi - ang. shift registers).

Przykład:

Obliczyć 11110100_(FP) + 11100110_(FP).

Z zapisu zmiennoprzecinkowego wydobywamy cechy i mantysy obu liczb:

Pierwszą mantysę musimy podzielić przez 2^-2, co odpowiada mnożeniu przez 2². Zatem wszystkie jej bity przesuwamy o 2 pozycje w lewo:

Drugą mantysę musimy podzielić przez 2^-1, co odpowiada mnożeniu przez 2¹. Wszystkie jej bity przesuwamy o 1 pozycję w lewo:

Obliczamy mantysę sumy:

Obliczamy cechę sumy:

Mantysę sumy sprowadzamy do postaci znormalizowanej:

Otrzymaną cechę i mantysą łączymy w jeden kod i otrzymujemy wynik operacji dodawania:

Sprawdźmy, czy wynik jest prawidłowy. W tym celu posługując się tabelką wyznaczamy wartości poszczególnych liczb zmiennoprzecinkowych:

Przykład:

A teraz spróbujmy zsumować liczbę dużą i małą: 01000110_(FP) + 00010110_(FP)  (24 + 3):

Wydobywamy cechy i mantysy:

Pierwszą mantysę przesuwamy o 1 bit w prawo, a drugą o 4 bity w prawo:

Sumujemy cechy i mantysy:

Normalizujemy mantysę wyniku:

Łączymy otrzymaną cechę i mantysę w jeden kod zmiennoprzecinkowy otrzymując wynik dodawania:

Zwróć uwagę, iż suma jest równa pierwszej z sumowanych liczb. Zatem dodanie drugiej liczby nie wpłynęło na wynik sumowania. Nastąpiła utrata precyzji. Wynika stąd bardzo ważny wniosek:

Aby się przekonać, iż kolejność sumowania jest bardzo istotna, uruchom poniższy program i sprawdź jego wynik - w obu przypadkach sumuje on te same liczby, jednak raz od najmniejszej do największej, a za drugim razem od największej do najmniejszej. Czy otrzymujemy ten sam wynik sumowania?

// Precyzja

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

main()
{
  float s;
  int   i;
  char  z[1];

  cout << setprecision(0) << fixed;
  s = 0;
  for(i = 1; i <= 100000000; i++) s += i/10000;
  cout << s << endl;
  s = 0;
  for(i = 100000000; i >= 1; i--) s += i/10000;
  cout << s << endl;
  cout << "\nNacisnij ENTER...\n";
  cin.getline(z,1);
}

program precyzja;

var
  s : single;
  i : integer;
begin
  s := 0;
  for i := 1 to 100000000 do     s := s + i/10000;
  writeln(s:0:0);
  s := 0;
  for i := 100000000 downto 1 do s := s + i/10000;
  writeln(s:0:0);
  readln;
end.

Dzielenie i mnożenie

Teraz wyprowadzimy reguły mnożenia i dzielenia liczb zmiennoprzecinkowych. Mamy dane dwie liczby:

gdzie

Wykonując proste przekształcenia algebraiczne otrzymujemy wzory na iloczyn i iloraz tych dwóch liczb:

Wynika z nich, iż mantysa iloczynu jest iloczynem mantys, cecha iloczynu jest sumą cech. Mantysa ilorazu jest ilorazem mantys, a cecha ilorazu jest różnicą cech. Po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysę wynikową normalizujemy i łączymy z cechą otrzymując gotowy kod zmiennoprzecinkowy. Co ciekawe, operacje mnożenia i dzielenia są koncepcyjnie prostsze w systemie zmiennoprzecinkowym od operacji dodawania i odejmowania.

Sprawdzenie poprawności tych wzorów pozostawiam ambitnym czytelnikom jako zadanie domowe.

Zadanie 1 (łatwe)