Przeliczanie na zapis stałoprzecinkowy


Podrozdziały   Tematy pokrewne

 

Algorytm wyznaczania cyfr zapisu stałoprzecinkowego

Nasz problem polega na znalezieniu reprezentacji danej liczby dziesiętnej w docelowym systemie pozycyjnym o podstawie p. Część całkowitą przeliczamy wg poznanych zasad. Znalezienie kolejnych cyfr zapisu części ułamkowej w systemie docelowym jest zadziwiająco proste. Rozpiszmy wzór na część ułamkową liczby:

 

Lu = C-1 p-1 + C-2 p-2 + C-3 p-3 + ... + C-m+1 p-m+1 + C-m p-m

gdzie:

Lu - wartość części ułamkowej zapisu liczby
Ci , i = -1,-2,...,-m - kolejne cyfry zapisu części ułamkowej
p - podstawa systemu pozycyjnego zapisu liczby stałoprzecinkowej
m - liczba cyfr części ułamkowej

 

Pomnóżmy część ułamkową przez podstawę p. Otrzymamy:

 

Lu × p = (C-1 p-1 + C-2 p-2 + C-3 p-3 + ... + C-m+1 p-m+1 + C-m p-m) p
Lu × p = C-1 p-1p + C-2 p-2p + C-3 p-3p + ... + C-m+1 p-m+1p + C-m p-mp
Lu × p = C-1 p0 + C-2 p-1 + C-3 p-2 + ... + C-m+1 p-m+2 + C-m p-m+1

 

Co uzyskaliśmy w wyniku? Wynikowa liczba ma przesunięte wszystkie cyfry zapisu o jedną pozycję w lewo. Pierwsza cyfra ułamkowa stała się teraz cyfrą całkowitą. Aby ją wydobyć wystarczy wziąć część całkowitą wyniku mnożenia przez p. Za nową część ułamkową przyjmujemy część ułamkową wyniku mnożenia. Działanie to będziemy kontynuowali dotąd, aż wydobędziemy zadaną ilość cyfr ułamkowych.

 

Przykład:

Znaleźć zapis liczby dziesiętnej 234,13(10) w systemie czwórkowym z dokładnością do 10 cyfr po przecinku.

Rozdzielamy liczbę na część całkowitą i ułamkową:

 

Lc = 234, Lu = 0,13

 

Wyznaczamy cyfry zapisu części całkowitej w systemie czwórkowym:

 

234 div 4 =  58  i reszta 2
58 div 4 =  14  i reszta 2
14 div 4 =  3  i reszta 2
3 div 4 =  0  i reszta 3 - koniec

 

234(10) = 3222(4)

 

Teraz wyznaczamy 10 kolejnych cyfr części ułamkowej

 

0,13 × 4 =  0,52  - cyfra 0
0,52 × 4 =  2,08  - cyfra 2
0,08 × 4 =  0,32  - cyfra 0
0,32 × 4 =  1,28  - cyfra 1
0,28 × 4 =  1,12  - cyfra 1
0,12 × 4 =  0,48  - cyfra 0
0,48 × 4 =  1,92  - cyfra 1
0,92 × 4 =  3,68  - cyfra 3
0,68 × 4 =  2,72  - cyfra 2
0,72 × 4 =  2,88  - cyfra 2 - koniec, obliczyliśmy zadaną ilość cyfr po przecinku

 

0,13(10) = 0,0201101322...(4).

 

Łączymy wyznaczone cyfry części całkowitej i ułamkowej otrzymując wynik:

 

234,13(10) = 3222,0201101322...(4).

 

Zwróć uwagę, iż wyznaczając cyfry ułamkowe nie otrzymaliśmy wyniku równego 0. Oznacza to, iż znalezione rozwinięcie zapisu liczby w systemie czwórkowym jest przybliżone - z dokładnością do 10 cyfr ułamkowych systemu czwórkowego. Fakt ten sygnalizujemy w zapisie trzema kropeczkami za ostatnią cyfrą.

 

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

L - liczba rzeczywista, której reprezentację wyznaczamy w systemie docelowym,  L ∈ R+
p - podstawa docelowego systemu pozycyjnego,  p ∈ N,  p ∈ {2,3,...,10}
m - liczba cyfr części ułamkowej w systemie docelowym,  m ∈ N

Dane wyjściowe

Ciąg znaków ASCII reprezentujących zapis liczby L w systemie pozycyjnym o podstawie p.

Zmienne pomocnicze i funkcje

Lc - część całkowita liczby L,   Lc ∈ N
Lu - część ułamkowa liczby L,   Lu ∈ R+ + {0}
s - łańcuch znaków, w którym składowane są kolejne cyfry zapisu liczby
c - wartość wyliczonej cyfry, c ∈ N + {0}
znak(kod) - zwraca znak ASCII o podanym kodzie

 

Lista kroków

K01: Czytaj L, p, m
K02: Lc ← [L];   Lu ← L - Lc;   s ← ""
K03: c ← Lc mod p
K04: s ← znak(c + 48) + s
K05: Lc ← Lc div p
K06: Jeśli Lc ≠ 0, to idź do K03
K07: ss + ","
K08: Jeśli m ≤ 0, to pisz s i zakończ
K09: Lu ← Lu × p
K10: c ← [Lu]
K11: ss + znak(c + 48)
K12: mm - 1
K13: Idź do K08

 

Schemat blokowy

Odczytujemy liczbę L, podstawę docelowego systemu pozycyjnego p, na który mamy przeliczyć liczbę L oraz ilość cyfr po przecinku m, które mają się pojawić w rozwinięciu zapisu liczby L w systemie pozycyjnym o podstawie p.

Liczbę L rozdzielamy na dwie części - całkowitą Lc oraz ułamkową Lu.

W pierwszej pętli wyznaczamy kolejne cyfry (od tyłu) zapisu części całkowitej Lc w docelowym systemie pozycyjnym. Zastosowany tutaj algorytm opisaliśmy w rozdziale o przeliczaniu liczby na inny system pozycyjny.

Po wyznaczeniu tych cyfr dodajemy do zapisu znak przecinka.

Druga pętla wyznacza m cyfr rozwinięcia części ułamkowej Lu. Lu mnożymy przez podstawę p. Cyfrę otrzymujemy z części całkowitej wyniku tego iloczynu. Otrzymaną cyfrę zamieniamy na znak ASCII i dopisujemy do zmiennej s. Za nową część ułamkową Lu przyjmujemy część ułamkową iloczynu poprzedniej części ułamkowej Lu i podstawy p. Zmniejszamy licznik cyfr m o 1. Pętla jest kontynuowana aż do wyzerowania tego licznika.

Po zakończeniu obu pętli w zmiennej s mamy kompletny zapis liczby L w systemie pozycyjnym o podstawie p. Wypisujemy zawartość tej zmiennej i kończymy algorytm.

Zwróć uwagę, iż dla prostoty algorytm nie sprawdza poprawności wprowadzonych przez użytkownika danych. Zaproponuj odpowiednią modyfikację algorytmu, aby takie sprawdzenie było wykonywane. Szczególnie niebezpieczna jest sytuacja, gdy podstawa docelowego systemu pozycyjnego p otrzyma wartość 1. Wtedy pętla pierwsza stanie się pętlą nieskończoną (dlaczego?) i program po prostu się zawiesi.


DLA
GENIUSZA

Programy

Na podstawie algorytmu tworzymy programy przeliczające liczbę w zapisie dziesiętnym na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie od 2 do 10. Przy wprowadzaniu liczby zamiast przecinka używaj kropki do oddzielenia części całkowitej od ułamkowej - wymaga tego biblioteka we/wy języka Pascal.

 

Efekt uruchomienia programu
Przeliczanie stałoprzecinkowej liczby dziesiętnej
na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10
-------------------------------------------------
(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek            I LO Tarnów

Podaj liczbę L  = 17.127

Podaj p (2..10) = 2

Cyfry ułamkowe  = 10

17,127(10) = 10001,0010000010(2)

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...

 

Borland
Delphi 7.0
Personal
Edition
// Przeliczanie dziesiętnej liczby stałoprzecinkowej
// na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10
//--------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//                         I Liceum Ogólnokształcące
//                         im. K. Brodzińskiego
//                         w Tarnowie
//--------------------------------------------------

program pldz;

{$APPTYPE CONSOLE}

var
  s        : string;
  L,Lu     : real;
  p,c,Lc,m : cardinal;
begin
  writeln('Przeliczanie staloprzecinkowej liczby dziesietnej');
  writeln('na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10');
  writeln('-------------------------------------------------');
  writeln('(C)2005 mgr Jerzy Walaszek            I LO Tarnow');
  writeln;
  write('Podaj liczbe L  = '); readln(L);
  writeln;
  write('Podaj p (2..10) = '); readln(p);
  writeln;
  write('Cyfry ulamkowe  = '); readln(m);
  writeln;
  Lc := trunc(L); Lu := L - Lc;
  s := '';
  repeat
    c  := Lc mod p;
    s  := char(c + 48) + s;
    Lc := Lc div p;
  until Lc = 0;
  s := s + ',';
  while m > 0 do
  begin
    Lu := Lu * p;
    c  := trunc(Lu);
    s  := s + char(c + 48);
    Lu := Lu - c;
    dec(m);
  end;
  writeln(L:0:10,'(10) = ',s,'(',p,')');
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz ENTER...');
  readln;
end.
Borland
C++ Builder
6.0
Personal
Edition
// Przeliczanie dziesiętnej liczby stałoprzecinkowej
// na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10
//--------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//                         I Liceum Ogólnokształcące
//                         im. K. Brodzińskiego
//                         w Tarnowie
//--------------------------------------------------

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <string>

using namespace std;

main()
{
  string s;
  double L,Lu;
  unsigned p,c,Lc,m;
  char z[1];

  cout.precision(10);     // 10 cyfr po przecinku
  cout.setf(ios::fixed);  // format stałoprzecinkowy
  cout << "Przeliczanie staloprzecinkowej liczby dziesietnej\n"
          "na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10\n"
          "-------------------------------------------------\n"
          "(C)2005 mgr Jerzy Walaszek            I LO Tarnow\n\n"
          "Podaj liczbe L  = ";
  cin  >> L;
  cout << "\nPodaj p (2..10) = ";
  cin  >> p;
  cout << "\nCyfry ulamkowe  = ";
  cin  >> m;
  cout << endl;
  Lc = (unsigned) floor(L); Lu = L - Lc;
  s  = "";
  do
  {
    c  = Lc % p;
    s  = (char) (c + 48) + s;
    Lc = Lc / p;
  } while(Lc);
  s += ",";
  while(m)
  {
    Lu *= p;
    c  =  (unsigned) floor(Lu);
    s  += (char) (c + 48);
    Lu -= c;
    m--;
  };
  cout << L << "(10) = " << s << "(" << p
       << ")\n\nNacisnij ENTER...\n";
  cin.getline(z,1);
  cin.getline(z,1);
}
Microsoft
Visual
Basic 2005
Express
Edition
' Przeliczanie dziesiętnej liczby stałoprzecinkowej
' na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10
'--------------------------------------------------
' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
'                         I Liceum Ogólnokształcące
'                         im. K. Brodzińskiego
'                         w Tarnowie
'--------------------------------------------------

Option Explicit On

Module Module1

 Sub Main()

    Dim s As String
    Dim L, Lu As Double
    Dim p, c, Lc, m As UInteger

    Console.WriteLine("Przeliczanie stałoprzecinkowej liczby dziesiętnej")
    Console.WriteLine("na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10")
    Console.WriteLine("-------------------------------------------------")
    Console.WriteLine("(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek            I LO Tarnów")
    Console.WriteLine()
    Console.Write("Podaj liczbę L  = ") : L = Val(Console.ReadLine)
    Console.WriteLine()
    Console.Write("Podaj p (2..10) = ") : p = Val(Console.ReadLine)
    Console.WriteLine()
    Console.Write("Cyfry ułamkowe  = ") : m = Val(Console.ReadLine)
    Console.WriteLine()
    Lc = Int(L) : Lu = L - Lc
    s = ""
    Do
      c = Lc Mod p
      s = Chr(c + 48) + s
      Lc \= p
    Loop Until Lc = 0
    s += ","
    While m > 0
      Lu *= p
      c = Int(Lu)
      s += Chr(c + 48)
      Lu -= c
      m -= 1
    End While
    Console.WriteLine("{0}(10) = {1}({2})", L, s, p)
    Console.WriteLine()
    Console.WriteLine("KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...")
    Console.ReadLine()

  End Sub

End Module
JavaScript
<html>
  <head>
  </head>
  <body>
    <div align="center">
<form style="BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset;
             PADDING-RIGHT: 4px;
             BORDER-TOP: #ff9933 1px outset;
             PADDING-LEFT: 4px;
             PADDING-BOTTOM: 1px;
             BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset;
             PADDING-TOP: 1px;
             BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset;
             BACKGROUND-COLOR: #ffcc66"
      name="frmprzelicz">
  <h3 id="data_out" style="text-align: center">
    Przeliczanie stałoprzecinkowej liczby dziesiętnej<br>
    na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10
  </h3>
  <p style="TEXT-ALIGN: center">
    (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek&nbsp;&nbsp; I LO w Tarnowie
  </p>
  <hr>
  <div align="center">
    <table border="0" cellpadding="4"
           style="border-collapse: collapse">
      <tr>
        <td align="right">Liczba =</td>
        <td>
<input value="32.7125" name="inp_l" size="20" style="text-align: right">
        </td>
      </tr>
      <tr>
        <td align="right">Podstawa (2...10) =</td>
        <td>
<input value="8" name="inp_p" size="20" style="text-align: right">
        </td>
      </tr>
      <tr>
        <td align="right">Ilość cyfr po przecinku =</td>
        <td>
<input type="text" name="inp_m" size="20" value="10" style="text-align: right">
        </td>
      </tr>
    </table>
  </div>
  <p style="TEXT-ALIGN: center">
    <input onclick="main();" type="button" value="Przelicz" name="B1">
  </p>
  <p id="out_t" style="TEXT-ALIGN: center">...</p>
</form>

<script language=javascript>

// Przeliczanie dziesiętnej liczby stałoprzecinkowej
// na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10
//--------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//--------------------------------------------------

function main()
{
  var s,t,L,Lu,p,c,Lc,m;

  L = parseFloat(document.frmprzelicz.inp_l.value);
  p = parseInt(document.frmprzelicz.inp_p.value);
  m = parseInt(document.frmprzelicz.inp_m.value);
  if(isNaN(L) || isNaN(p) || isNaN(m))
    t = "<font color=Red><b>Złe dane</b></font>";
  else
  {
    Lc = Math.floor(L); Lu = L - Lc;
    s  = "";
    do
    {
      c  = Lc % p;
      s  = String.fromCharCode(c + 48) + s;
      Lc = Math.floor(Lc / p);
    } while(Lc);
    s += ",";
    while(m)
    {
      Lu *= p;
      c   = Math.floor(Lu);
      s  += String.fromCharCode(c + 48);
      Lu -= c;
      m--;
    };
    t = L + "<sub>(10)</sub> = " + s + "<sub>(" + p + ")</sub>";
  };
  document.getElementById("out_t").innerHTML = t;
}

</script>
    </div>
  </body>
</html>

 

Tutaj możesz przetestować działanie prezentowanego skryptu:

Przeliczanie stałoprzecinkowej liczby dziesiętnej
na zapis w systemie pozycyjnym o podstawie 2...10

(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek   I LO w Tarnowie
Liczba =
Podstawa (2...10) =
Ilość cyfr po przecinku =

...

 

Zadania

Zadanie 1 (łatwe)

Przelicz liczbę 238,32(10) na system dwójkowy, trójkowy, czwórkowy, piątkowy i ósemkowy z dokładnością do 5 cyfr po przecinku.
238,32(10) = (2)  

.

238,32(10) = (3)  

.

238,32(10) = (4)  

.

238,32(10) = (5)  

.

238,32(10) = (8)  

.

 

Zadanie 2 (dosyć łatwe)

Wyznacz rozwinięcie dwójkowe liczby dziesiętnej 0,1(10) z dokładnością do 16 cyfr dwójkowych po przecinku.
0,1(10) = (2)  

.

 Co możesz powiedzieć o otrzymanym wyniku? Podaj dwa dalsze przykłady ułamków dziesiętnych o takich właściwościach.

 

Zadanie 3 (dosyć łatwe)

Oblicz w promilach błąd przeliczenia liczby 2,4(10) na system czwórkowy z dokładnością do 4 cyfr po przecinku. Wynik zaokrąglij w dół do setnych promila.
E0/00 =    

.

 

Zadanie 4 (średnio trudne)

Przy wyznaczaniu zapisu liczby w innym systemie liczbowym może się zdarzyć, iż dostaniemy liczbę o nieskończonym rozwinięciu części ułamkowej. Określ, kiedy otrzymamy rozwinięcie nieskończone (okresowe), a kiedy skończone.

 

Podsumowanie

Podany algorytm jest niejednorodny. Czy można go przekształcić tak, aby cała liczba stałoprzecinkowa była wyznaczana w jednym przebiegu bez podziału na część całkowitą i ułamkową? Czy potrafisz ocenić wady takiego rozwiązania?

 


Zobacz dalej...

Wartość liczby pozycyjnej | Schemat Hornera | Przeliczenia na inny zapis pozycyjny | Wartość liczby stałoprzecinkowej | Systemy pozycyjne o podstawie większej od 10 | Zapis zmiennoprzecinkowy



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.