Serwis Edukacyjny
Nauczycieli
w I-LO w Tarnowie

Do strony głównej I LO w Tarnowie

Materiały dla uczniów liceum

Zoptymalizowane dla
  
1280 x 1024

  Wyjście       Spis treści       Poprzedni       Następny  

©2017 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek

 

 

Metoda trapezów

W tym rozdziale: Zobacz również na:

 

Algorytm całkowania metodą trapezów

pic

Opisana w poprzednim rozdziale metoda prostokątów nie jest zbyt dokładna, ponieważ pola użytych w niej prostokątów źle odwzorowują pole pod krzywą. Dużo lepszym rozwiązaniem jest zastosowanie zamiast nich trapezów o wysokości dx i podstawach równych odpowiednio wartości funkcji w punktach krańcowych.. Sama zasada nie zmienia się.

Przedział całkowania <xp,xk> dzielimy na n+1 równo odległych punktów x0,x1,x2,...,xn. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:

 

dla i = 0,1,2,...,n

 

Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - będzie to wysokość każdego trapezu:

 

 

Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie:

 

 

Pole pod wykresem funkcji przybliżane jest polami n trapezów. Pole i-tego trapezu obliczamy wg wzoru:

 

dla i=1,2,...,n

 

Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów:

 

czyli

 

Wyprowadzony na końcu wzór jest podstawą przybliżonego wyliczania całki w metodzie trapezów.

 

 

Przykład:

Obliczymy ręcznie przybliżoną wartość całki oznaczonej z funkcji f(x) = sin(x) w przedziale <0,π>.

Przedział podzielimy na n+1 = 5 punktów:

 

 

Odległość między dwoma sąsiednimi punktami wynosi:

 

 

Dla każdego z wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x) = sin(x):

 

 fo = f (xo) = sin 0   = 0,0000

 

Obliczamy sumę pól trapezów:

 

 

Otrzymaliśmy wynik identyczny jak w przypadku metody prostokątów - dlaczego?

 

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

x- początek przedziału całkowania,

x- koniec przedziału całkowania,

- liczba punktów podziałowych,

f(x) - funkcja rzeczywista, której całkę liczymy

Dane wyjściowe

s - wartość całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale <xp,xk>.

Zmienne pomocnicze

dx - odległość między dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi,

- licznik punktów podziałowych,

 

Lista kroków

Schemat blokowy

flow

Po odczytaniu informacji o krańcach xp i xk przedziału całkowania ustawiamy sumę s na 0, obliczamy odległość dx pomiędzy sąsiednimi punktami podziałowymi i ustawiamy ich licznik na 1.

Rozpoczynamy pętlę iteracyjną, która wykona się (n-1)-razy. Wewnątrz pętli obliczamy i-ty punkt podziałowy oraz wartość funkcji w tym punkcie, którą dodajemy do sumy s.

Po zakończeniu pętli do sumy s dodajemy średnią wartość funkcji na krańcach przedziału i całość przemnażamy przez dx Po tej operacji s zawiera wartość przybliżoną całki. Zwracamy ją użytkownikowi i kończymy algorytm.

 

Przykładowe programy dla metody trapezów

Prezentowane poniżej programy wyliczają całkę oznaczoną funkcji f(x) = x2 + 2x. Przedział całkowania jest dzielony na n=1000 punktów. W przedziale <0,1> całka oznaczona ma wartość dokładną równą 4/3 = 1.3333...

 

Obliczanie  całki oznaczonej
 za pomocą  metody trapezów
----------------------------
(C)2006 mgr J.Wałaszek  I LO

f(x) = x * x + 2 * x

Podaj początek przedziału całkowania

xp = 0

Podaj koniec przedziału całkowania

xk = 1

Wartość całki wynosi :    1,333

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...

 

Pascal
//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
//** ------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek  I LO w Tarnowie **
//*************************************************

program int_trapez;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x : double) : double;
begin
  f := x * x + 2 * x;
end;

//********************
//** Program główny **
//********************

const N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych

var
  xp,xk,s,dx : double;
  i : integer;

begin
  writeln('Obliczanie  calki oznaczonej');
  writeln(' za pomoca  metody trapezow');
  writeln('----------------------------');
  writeln('(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO');
  writeln;
  writeln('f(x) = x * x + 2 * x');
  writeln;
  writeln('Podaj poczatek przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xp = '); readln(xp);
  writeln;
  writeln('Podaj koniec przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xk = '); readln(xk);
  writeln;
  s  := 0;
  dx := (xk - xp) / N;
  for i := 1 to N - 1 do s := s + f(xp + i * dx);
  s := (s + (f(xp) + f(xk)) / 2)* dx;
  writeln('Wartosc calki wynosi : ',s:8:3);
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz Enter...');
  readln;
end.

 

C++
//****************************************************
//**  Obliczanie całki oznaczonej  metodą trapezów  **
//** ---------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek     I LO w Tarnowie **
//****************************************************

#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

double f(double x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

//********************
//** Program główny **
//********************

int main()
{
  const int N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych
  double xp,xk,s,dx;
  int i;

  cout << setprecision(3)      // 3 cyfry po przecinku
       << fixed;               // format stałoprzecinkowy

  cout << "Obliczanie  calki oznaczonej\n"
          " za pomoca  metody trapezow\n"
          "----------------------------\n"
          "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO\n\n"
          "f(x) = x * x + 2 * x\n\n"
          "Podaj poczatek przedzialu calkowania\n\n"
          "xp = ";
  cin >> xp;
  cout << "\nPodaj koniec przedzialu calkowania\n\n"
          "xk = ";
  cin >> xk;
  cout << endl;
  s  = 0;
  dx = (xk - xp) / N;
  for(i = 1; i < N; i++) s += f(xp + i * dx);
  s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx;
  cout << "Wartosc calki wynosi : " << setw(8) << s
       << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

 

Basic
'*************************************************
'** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
'** ------------------------------------------- **
'** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek  I LO w Tarnowie **
'*************************************************

Declare Function f(x as Double) As Double

'********************
'** Program główny **
'********************

const N = 1000 'liczba punktów/trapezów podziałowych

Dim As Double xp,xk,s,dx
Dim As Integer i

Print "Obliczanie  calki oznaczonej"
Print " za pomoca  metody trapezow"
Print "----------------------------"
Print "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO"
Print
Print "f(x) = x * x + 2 * x"
Print
Print "Podaj poczatek przedzialu calkowania"
Print
input "xp = ", xp
Print
Print "Podaj koniec przedzialu calkowania"
Print
Input "xk = ", xk
Print
s  = 0
dx = (xk - xp) / N
for i = 1 to N - 1: s = s + f(xp + i * dx): Next
s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx
print Using "Wartosc calki wynosi : #####.###";s
Print
Print "Nacisnij klawisz Enter..."
Sleep
End

'*******************************
'** Tutaj definiujemy funkcję **
'*******************************

function f(x as Double) As Double
  f = x * x + 2 * x
End Function

 

JavaScript
<html>
<head>
  <title>Całkowanie numeryczne metodą trapezów</title>
</head>
<body>
<script language="JavaScript">

//****************************************************
//**  Obliczanie całki oznaczonej  metodą trapezów  **
//** ---------------------------------------------- **
//**  (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek   I LO w Tarnowie  **
//****************************************************

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

function js_trapez()
{
  var N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych
  var xp,xk,s,dx,i,t;

  xp = parseFloat(document.frm_trapez.xp_inp.value);
  xk = parseFloat(document.frm_trapez.xk_inp.value);
  if(isNaN(xp) || isNaN(xk))
    t = "<font color=red><b>Popraw dane wejściowe!</b></font>";
  else
  {
    s = 0;
    dx = (xk - xp) / N;
    for(i = 1; i < N; i++) s += f(xp + i * dx);
    s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx;
    t = Math.floor(s * 1000) / 1000;
  };
  document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script>

<form method="POST"
      name="frm_trapez"
      style="border: 2px solid #FF9900;
             padding-left: 4px;
             padding-right: 4px;
             padding-top: 1px;
             padding-bottom: 1px;
             background-color: #FFFFCC">
  <h2 style="text-align: center">
    Obliczanie całki oznaczonej<br>
    za pomocą metody prostokątów
  </h2>
  <hr>
  <p style="text-align: center">
    (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Całkowana funkcja:
  </p>
  <p style="text-align: center">
    <i>f(x) = x<sup>2</sup> + 2x</i>
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Tutaj określ przedział całkowania
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Początek <i>x<sub>p</sub></i> =
    <input type="text" name="xp_inp" size="20" value="0">
    i koniec <i>x<sub>k</sub> </i>=
    <input type="text" name="xk_inp" size="20" value="1">
  </p>
  <p style="text-align: center">
    <input onclick="js_trapez();" type="button"
           value="Oblicz całkę" name="B1">
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Wartość całki wynosi
  </p>
  <p id="t_out" style="text-align: center">...</p>
</form>
</body>
</html>

 

A tutaj możesz przetestować w praktyce działanie powyższego skryptu.

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody trapezów


(C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie

Całkowana funkcja:

f(x) = x2 + 2x

Tutaj określ przedział całkowania

Początek xp =
    koniec xk =


Wartość całki wynosi

...

 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl