Całkowanie numeryczne: Metoda Monte Carlo

Aby zrozumieć zasadę metody Monte Carlo wyobraźcie sobie, iż chcecie wyznaczyć pole koła wpisanego w kwadrat o boku równym 2 (pole to co do wartości jest równe liczbie pi, ale na razie udajmy, że o tym nie wiemy). W tym celu wyznaczamy wewnątrz kwadratu dużo losowych punktów. Następnie zliczamy te punkty, które wpadają do wnętrza koła. Pole koła jest w przybliżeniu równe:

	- pole koła
	- pole kwadratu
	- liczba punktów w kole
	- liczba wszystkich punktów

Przykład:

Oto odpowiedni skrypt JavaScript symulujący obliczanie powierzchni koła dla podanego przykładu:

JavaScript

<html>
<head>
  <title>Wyznaczanie liczby PI metodą Monte Carlo</title>
</head>
<body>
<script language="javascript">

//***************************************
//** Przykładowa aplikacja obliczająca **
//**   pole koła wpisanego w kwadrat   **
//**   za pomocą metody  Monte Carlo   **
//**-----------------------------------**
//**  (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO  **
//***************************************

function js_p()
{
  var n = parseInt(document.frm_pi.inp_n.value);
  var nk,s,x,y,i;

  if(isNaN(n) || (n < 2))
  s = "<font color=red><b>Popraw dane</b></font>";
  else
  {
    nk = 0;
    for(i = 1; i <= n; i ++)
    {
      x = Math.random() * 2; y = Math.random() * 2;
      if(Math.sqrt((x-1)*(x-1) + (y-1)*(y-1)) <= 1) nk++;
    };
    s = 4 * nk / n;
    s = Math.round(s * 100000) / 100000;
  };
  document.getElementById("pole").innerHTML = s;
}

</script>

<form method="POST"
      name="frm_pi"
      style="border: 2px solid #FFCC66;
             padding-left: 4px;
             padding-right: 4px;
             padding-top: 1px;
             padding-bottom: 1px;
             background-color: #FFFFCC">
  <h3 style="text-align: center">
    Obliczanie pola koła wpisanego w kwadrat o boku 2<br>
    za pomocą metody Monte Carlo
  </h3>
  <hr>
  <p style="text-align: center">
    (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek&nbsp; I LO w Tarnowie
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Podaj liczbę punktów do wygenerowania = 
    <input type="text" name="inp_n" size="20" value="10000">
  </p>
  <p style="text-align: center">
    <input onclick="js_p();" type="button" 
           value="Oblicz pole koła" name="B1">
  </p>
  <p style="text-align: center">
    Pole koła wynosi : <span id="pole">...</span>
  </p>
</form>
</body>
</html>

Oczywiście wynik jest bliski liczbie π = 3,1415926535... dopiero dla dużych wartości n. Zaczynają wtedy obowiązywać prawa dużych liczb i pomimo przypadkowości wyboru punktów, pojawia się prawidłowość. Ponieważ punkty rozkładają się równomiernie w obrębie pola kwadratu, to stosunek liczby punktów wewnątrz koła do liczby wszystkich punktów w kwadracie jest równy stosunkowi pola koła do pola kwadratu. Stąd właśnie pochodzi nasz wzór:

Wzór ten jest podstawą wyznaczania wartości całki oznaczonej za pomocą metody Monte Carlo, czyli losowania punktów. Zasada jest następująca:

Dla danej funkcji f(x), której całkę oznaczoną chcemy obliczyć w przedziale całkowania [x_p, x_k], wyznaczamy prostokąt obejmujący pole pod wykresem tej funkcji o wysokości h i długości podstawy (x_k - x_p). W dalszej kolejności losujemy n punktów i zliczamy te punkty n_w, które wpadają w pole pod wykresem funkcji. Wartość całki wyraża się wzorem przybliżonym:

Otrzymany wzór ma kilka wad. Na przykład w ogólnym przypadku trudno wyznaczyć wysokość h. Również kłopoty pojawiają się, gdy funkcja zmienia znak w przedziale całkowania. Dlatego częściej jako metodę Monte Carlo przyjmuje się metodę, która wyznacza średnią z wartości funkcji w przedziale całkowania na podstawie serii losowo wybranych współrzędnych x. Następnie średnia ta jest mnożona przez długość przedziału całkowania i otrzymujemy przybliżoną wartość całki oznaczonej. Wzór ma następującą postać:

x_los jest wartością pseudolosową zmiennoprzecinkową z przedziału [x_p, x_k] Wartość tę otrzymujemy wg wzorów:

Język	Instrukcja
Pascal	xlos := xp + random * (xk - xp);
C++	xlos = xp + (double)rand()/(double)(RAND_MAX+1) * (xk - xp);
Basic	xlos = xp + rnd(1) * (xk - xp)
JavaScript	xlos = xp + Math.random() * (xk - xp)

Na początek: podrozdziału strony

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

x_p	- początek przedziału całkowania, x_p ∈ R
x_k	- koniec przedziału całkowania, x_k ∈ R
n	- liczba punktów podziałowych, n ∈ N
f (x)	- funkcja rzeczywista, której całkę liczymy

Dane wyjściowe

s	- przybliżona wartość całki oznaczonej funkcji f (x) w przedziale [x_p,x_k], s ∈ R

Zmienne pomocnicze

dx	- odległość między dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi, dx ∈ R
i	- licznik punktów podziałowych, i ∈ N
x_los	- punkt wybrany losowo z przedziału całkowania, x_los ∈ R

Lista kroków

K01:	s ← 0; dx ← x_k - x_p
K02:	Dla i = 1,2,...,n : wykonuj kroki K03...K04
K03:	x_los ← liczba losowa z [x_p,x_k]
K04:	s ← s + f (x_los)
K05:
K08:	Zakończ

Schemat blokowy

obrazek

Obliczenia rozpoczynamy od pobrania informacji o przedziale całkowania oraz o ilości punktów losowych, które należy wygenerować w celu obliczenia wartości średniej funkcji w tym przedziale. Dokładność metody rośnie wraz ze wzrostem n.

W zmiennej s będziemy obliczać sumy wartości funkcji. Zmienna ta posłuży później do wyliczenia średniej oraz samej całki oznaczonej. Na początku obliczeń ustawiamy ją na 0. W zmiennej dx zapamiętujemy szerokość przedziału całkowania. Wartość ta jest wykorzystywana zwykle przy generacji liczby losowej oraz na końcu przy obliczeniu wartości całki.

Rozpoczynamy pętlę iteracyjną kontrolowaną przez zmienną i. Pętla ta wykona się n-razy. Wewnątrz pętli generujemy liczbę pseudolosową x_los leżącą w przedziale [x_p.x_k]. Metoda generacji zależy od wybranego języka programowania, który udostępnia odpowiednie funkcje pseudolosowe. Właściwe procedury generacji tej liczby podaliśmy wyżej w tabelce. Po wyznaczeniu liczby pseudolosowej x_los obliczamy wartość funkcji w tym punkcie i dodajemy ją do sumy s. Gdy pętla się zakończy, wyliczamy średnią wartość funkcji w przedziale całkowania, mnożymy ją przez długość tego przedziału i otrzymujemy przybliżoną wartość całki oznaczonej. Wypisujemy wyniki i kończymy algorytm.

Na początek: podrozdziału strony

W przedziale [0,1] całka funkcji f(x) = x² + 2x ma dokładną wartość 1.333... W naszym programie liczymy n=10000 losowych punktów.

C++

//****************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Monte Carlo **
//** ---------------------------------------------- **
//**  (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek   I LO w Tarnowie  **
//****************************************************

#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <time.h>

using namespace std;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

double f(double x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

//********************
//** Program główny **
//********************

int main()
{
  const int N = 10000; //liczba punktów losowych
  double xp,xk,s,dx;
  int i;

  cout << setprecision(3)      // 3 cyfry po przecinku
       << fixed;               // format stałoprzecinkowy

  cout << "Obliczanie calki oznaczonej\n"
          "    Metoda Monte Carlo\n"
          "---------------------------\n"
          "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO\n\n"
          "f(x) = x * x + 2 * x\n\n"
          "Podaj poczatek przedzialu calkowania\n\n"
          "xp = ";
  cin >> xp;
  cout << "\nPodaj koniec przedzialu calkowania\n\n"
          "xk = ";
  cin >> xk;
  cout << endl;
  srand(time(NULL));
  s  = 0;
  dx = xk - xp;
  for(i = 1; i <= N; i++)
    s += f(xp+((double)rand()/(double)(RAND_MAX+1)*dx));
  s = dx * s / N;
  cout << "Wartosc calki wynosi : " << setw(8) << s
       << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

Pascal

//****************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Monte Carlo **
//** ---------------------------------------------- **
//**  (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek   I LO w Tarnowie  **
//****************************************************

program int_montecarlo;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x : double) : double;
begin
  f := x * x + 2 * x;
end;

//********************
//** Program główny **
//********************

const N = 10000; //liczba punktów losowych
var
  xp,xk,s,dx : double;
  i : integer;

begin
  writeln('Obliczanie calki oznaczonej');
  writeln('    Metoda Monte Carlo');
  writeln('---------------------------');
  writeln('(C)2004 mgr J.Walaszek I LO');
  writeln;
  writeln('f(x) = x * x + 2 * x');
  writeln;
  writeln('Podaj poczatek przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xp = '); readln(xp);
  writeln;
  writeln('Podaj koniec przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xk = '); readln(xk);
  writeln;
  randomize; //inicjujemy generator liczb pseudolosowych
  s  := 0;
  dx := xk - xp;
  for i := 1 to N do s := s + f(xp + random * dx);
  s := dx * s / N;
  writeln('Wartosc calki wynosi : ',s:8:3);
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz Enter...');
  readln;
end.

Basic

'****************************************************
'** Obliczanie całki oznaczonej metodą Monte Carlo **
'** ---------------------------------------------- **
'**  (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek  I LO w Tarnowie   **
'****************************************************

Declare Function f(x as Double) As Double

'********************
'** Program główny **
'********************

const N = 10000 'liczba punktów losowych

Dim As Double xp,xk,s,dx
Dim As Integer i

Print "Obliczanie  calki oznaczonej"
Print "za pomoca metody Monte Carlo"
Print "----------------------------"
Print "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO"
Print
Print "f(x) = x * x + 2 * x"
Print
Print "Podaj poczatek przedzialu calkowania"
Print
input "xp = ", xp
Print
Print "Podaj koniec przedzialu calkowania"
Print
Input "xk = ", xk
Print
Randomize
s = 0
dx = xk - xp
For i = 1 To N : s += f(xp + Rnd() * dx) : Next
s *= dx / N
print Using "Wartosc calki wynosi : #####.###";s
Print
Print "Nacisnij klawisz Enter..."
Sleep
End

'*******************************
'** Tutaj definiujemy funkcję **
'*******************************

function f(x as Double) As Double
  f = x * x + 2 * x
End Function

JavaScript

<html>
  <head>
    <title>Całkowanie numeryczne metodą Monte Carlo</title>
  </head>
  <body>
<script language="JavaScript">

//****************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Monte Carlo **
//** ---------------------------------------------- **
//**  (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek   I LO w Tarnowie  **
//****************************************************

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

function js_montecarlo()
{
  var N = 10000; //liczba punktów losowych
  var xp,xk,s,dx,i,t;

  xp = parseFloat(document.frm_montecarlo.xp_inp.value);
  xk = parseFloat(document.frm_montecarlo.xk_inp.value);
  if(isNaN(xp) || isNaN(xk))
    t = "<font color=red><b>Popraw dane wejściowe!</b></font>";
  else
  {
    s  = 0;
    dx = xk - xp;
    for(i = 1; i <= N; i++) s += f(xp + Math.random() * dx);
    s = dx * s / N;
    t = Math.floor(s * 1000) / 1000;
  };
  document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script>

    <form method="POST"
          name="frm_montecarlo"
          style="border: 2px solid #FF9900;
                 padding-left: 4px;
                 padding-right: 4px;
                 padding-top: 1px;
                 padding-bottom: 1px;
                 background-color: #FFFFCC">
      <h2 style="text-align: center">
        Obliczanie całki oznaczonej<br>
        za pomocą metody Monte Carlo
      </h2>
      <hr>
      <p style="text-align: center">
        (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie
      </p>
      <p style="text-align: center">
        Całkowana funkcja:
      </p>
      <p style="text-align: center">
        <i>f(x) = x<sup>2</sup> + 2x</i>
      </p>
      <p style="text-align: center">
        Tutaj określ przedział całkowania
      </p>
      <p style="text-align: center">
        Początek <i>x<sub>p</sub></i> =
        <input type="text" name="xp_inp" size="20" value="0">
        i koniec <i>x<sub>k</sub> </i>=
        <input type="text" name="xk_inp" size="20" value="1">
      </p>
      <p style="text-align: center">
        <input onclick="js_montecarlo();" type="button"
               value="Oblicz całkę" name="B1">
      </p>
      <p style="text-align: center">
        Wartość całki wynosi
      </p>
      <p id="t_out" style="text-align: center">...</p>
    </form>
  </body>
</html>

Wynik:

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody Simpsona
----------------------------
(C)2006 mgr J.Wałaszek I LO

f(x) = x * x + 2 * x

Podaj początek przedziału całkowania

xp = 0

Podaj koniec przedziału całkowania

xk = 1

Wartość całki wynosi : 1,333

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...

Na początek: podrozdziału strony

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.

Metoda Monte Carlo

Algorytm całkowania metodą Monte Carlo

Obliczanie pola koła wpisanego w kwadrat o boku 2
za pomocą metody Monte Carlo

Opis algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Przykładowe programy

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody Monte Carlo

Metoda Monte Carlo

Algorytm całkowania metodą Monte Carlo

Obliczanie pola koła wpisanego w kwadrat o boku 2za pomocą metody Monte Carlo

Opis algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Przykładowe programy

Obliczanie całki oznaczonejza pomocą metody Monte Carlo

Obliczanie pola koła wpisanego w kwadrat o boku 2
za pomocą metody Monte Carlo

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody Monte Carlo