Serwis Edukacyjny
Nauczycieli
w I-LO w Tarnowie

Do strony głównej I LO w Tarnowie

Materiały dla uczniów liceum

Zoptymalizowane dla
  
1280 x 1024

  Wyjście       Spis treści       Następny  

©2017 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek

 

 

WSTĘP

W tym rozdziale: Zobacz również na:

 

Uwagi na temat języków programowania

Prezentowane w artykule algorytmy wzbogaciliśmy o proste przykłady programów w poniższych środowiskach programowania:

 

Free Pascal

Code::Blocks (C++)

FreeBasic

JavaScript

 

Wszystkie są darmowo dostępne poprzez sieć Internet. Ostatni język, JavaScript, jest dostępny w większości przeglądarek internetowych - Internet Explorer, FireFox, Google Chrome, Safari. Również w większości współczesnych urządzeń mobilnych mamy dostęp do języka JavaScript.

 

Uwaga:

Ponieważ dostaję dużo listów odnośnie zamieszczonych tutaj przykładowych programów, wyjaśniam, że nie są one celem tego artykułu. Artykuł opisuje algorytmy całkowania numerycznego, natomiast programy stanowią ich prostą implementację. Z tego powodu nie są one zoptymalizowane oraz nie sprawdzają ewentualnych błędów w danych wejściowych.

 

 

Całka

Całka (ang. Integral) jest jednym z najważniejszych pojęć współczesnej analizy matematycznej. Zastosowania ma tak liczne, iż trudno je wymienić. Stosuje się ją w matematyce, fizyce, technice i wielu innych dziedzinach nauki. W matematyce badaniem własności i obliczaniem wartości całek zajmuje się dział zwany rachunkiem całkowym. Za twórców tego rachunku uważa się dwóch wielkich matematyków Newtona oraz Leibniza, którzy opracowali teorię i metody związane z pojęciem całki i wprowadzili terminologię oraz oznaczenia zbliżone do stosowanych współcześnie, ukazujące związek rachunku całkowego z rachunkiem różniczkowym.

 

Całka nieoznaczona

Nie wgłębiając się zbytnio w teorię matematyczną można powiedzieć, iż całką funkcji f(x) będzie każda funkcja F(x), której pochodna jest równa f(x), czyli

 

 

Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną (ang. antiderivative, primitive function, primitive integral, indefinite integral) danej funkcji f(x). Funkcja pierwotna może być znaleziona z dokładnością do stałej, ponieważ stała znika w trakcie wyznaczania pochodnej. Funkcje pierwotne danej funkcji f(x) tworzą klasę funkcji różniących się stałymi:

 

Przykład:

Znajdźmy funkcję pierwotną od f(x) = 2x. Korzystamy ze znanego wzoru na pochodną funkcji:

 

 

ponieważ

 

 

zatem

 


stąd


 

Funkcję pierwotną F(x) nazywamy całką nieoznaczoną (ang. indefinite integral) funkcji f(x) i przedstawiamy symbolem wprowadzonym w 1689 roku przez matematyka niemieckiego Leibniza:

 

 

Zagadnienie obliczania całek nieoznaczonych sprowadza się do znajdowania postaci funkcji pierwotnej. Jest to dosyć skomplikowane i nie stanowi celu naszego opracowania. W całkowaniu numerycznym głównie zajmujemy się całkami oznaczonymi.

 

Całka oznaczona

Całka oznaczona (ang. definite integral) funkcji f(x) w przedziale <xp,xk> jest liczbą przedstawianą symbolem:

 

 

i obliczaną na różne sposoby. Przedział <xp,xk> nazywa się przedziałem całkowania (ang. integration interval). Krańce tego przedziału nazywa się granicami całkowania (ang. integration limits). Wartość xp jest dolną granicą całkowania, xk jest granicą górną.

 

Całka oznaczona Newtona-Leibniza

Jeśli znamy przepis na funkcję pierwotną F(x) funkcji podcałkowej f(x), to wartość całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale <xp,xk> możemy obliczyć w prosty sposób wg definicji Newtona-Leibniza:

 

 

Z punktu widzenia obliczeń komputerowych sposób ten nie jest najlepszy, ponieważ wymaga wyznaczenia funkcji pierwotnej F(x), co jest zadaniem numerycznie bardzo skomplikowanym - dopiero w ostatnich latach rozwiązano problem numerycznego wyznaczania wzoru całki dowolnej, całkowalnej funkcji w postaci analitycznej. Z metody tej korzystają zaawansowane pakiety matematyczne w stylu MathCAD.

 

Całka oznaczona Riemanna

pic

Dużo większe zastosowanie w obliczeniach numerycznych ma definicja Riemanna, w której całka oznaczona jest interpretowana jako suma pól obszarów ograniczonych wykresem funkcji f(x) oraz osią OX. Obszary leżące pod osią mają w tej interpretacji pola ujemne.

Przedział całkowania <xp,xk> dzielimy na rozłączne podprzedziały wyznaczając n+1 punktów podziałowych:

 

 

Punkty podziałowe muszą być tak dobrane, aby przy wzroście n do nieskończoności maksymalna odległość między sąsiednimi punktami malała do zera, czyli:

 

dla  i = 1, 2, ..., n

 

Pomiędzy parami sąsiednich punktów xi-1 i xi wybieramy dowolne punkty ti spełniające nierówność:

 

dla  i = 1, 2, ..., n

 

Całka oznaczona Riemanna jest wtedy granicą sum n prostokątów o podstawie równej (xi - xi-1) i wysokości f(ti), czyli

 

 

Jeśli f(ti) jest mniejsze od zera, to pole tego prostokąta zostanie zsumowane ze znakiem minus. Gdy odległości pomiędzy punktami podziałowymi zbliżają się do zera, suma pól prostokątów dąży do pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji.

Różnicę pomiędzy wartością pola pod wykresem funkcji a polem otrzymanym jako suma skończonej ilości prostokątów nazywamy błędem całkowania (ang. integration error). Wraz ze wzrostem liczby prostokątów w całce Riemanna błąd całkowania dąży do zera.

 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl