Liczba pierwsza (ang. primary number) jest liczbą naturalną, która posiada dokładnie dwa różne podzielniki - 1 i siebie samą.

Liczba 1 nie jest pierwszą, ponieważ dzieli się tylko przez 1, a nie posiada drugiego podzielnika różnego od 1. Przykłady liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 ...

Liczby pierwsze mają ogromne znaczenie we współczesnej informatyce. Na nich opierają się zaawansowane systemy szyfrujące używane przez banki, służby państwowe i wojsko. Dlatego umiejętność sprawdzania pierwszości liczby oraz generacji liczb pierwszych jest podstawową umiejętnością każdego informatyka.

Zbiór liczb pierwszych jest zbiorem nieskończonym. Oznacza to, że dla dowolnie dużej liczby naturalnej zawsze znajdziemy liczbę pierwszą, która jest od niej większa. Nieskończoność tego zbioru udowodnił grecki matematyk Euklides. Zastosował on dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.

Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych P  jest zbiorem skończonym i zawiera n  różnych liczb pierwszych:

Euklides tworzy liczbę E  (zwaną liczbą Euklidesa) wg następującego wzoru:

Liczby E  nie dzieli żadna z liczb należących do zbioru P  - zawsze zostanie reszta 1:

Dzieje się tak dlatego, że liczba E  jest sumą dwóch składników - iloczynu wszystkich liczb pierwszych ze zbioru P  oraz 1. Iloczyn jest podzielny przez swój dowolny składnik. Wynikiem jest iloczyn liczb ze zbioru P, w którym brak tego składnika. Natomiast 1 nie dzieli się przez żadną z tych liczb i zostaje jako reszta.

Wynikają z tego dwa wnioski:

1. Liczba E  nie jest podzielna przez żadną z liczb różną od 1 i siebie samej - zatem jest nową liczbą pierwszą, której nie ma w zbiorze P.
2. Liczba E  jest podzielna przez liczbę pierwszą, której nie ma w zbiorze P, ponieważ te liczby E  nie dzielą.

Trzeciej możliwości nie ma. W obu możliwych przypadkach dostajemy nową liczbę pierwszą, której zbiór P  nie zawiera. Przeczy to założeniu, że zbiór P  zawierał wszystkie liczby pierwsze. Skoro tak, to zbiór liczb pierwszych nie może być zbiorem skończonym.

Podana wyżej definicja liczby pierwszej jest dla nas niewygodna. Zapiszmy w postacie równoważnej:

Liczba pierwsza p, p  > 2, jest liczbą niepodzielną przez żadną z liczb należących do przedziału od 2 do p-1.

Ta druga definicja daje nam wskazówkę, jak szukać liczb pierwszych. Dla danej liczby p  wystarczy sprawdzić, czy dzieli się bez reszty przez jakąś liczbę z przedziału od 2 do p-1. Jeśli tak, to p  nie jest liczbą pierwszą. Jeśli żadna z liczb z przedziału od 2 do p-1 nie dzieli liczby p, p  jest liczba pierwszą.

Algorytm sprawdzania, czy liczba p jest liczbą pierwszą

Wejście:

p  - sprawdzana liczba naturalna

Wyjście:

t  = true, liczba p  jest liczbą pierwszą
t  = false, liczba p  nie jest liczbą pierwszą

Zmienne pomocnicze:

i  - kolejne dzielniki naturalne dla liczby p

K01:	t  ← true	; zakładamy sukces
K02:	Dla i  = 2,3,...,p-1: wykonuj K03	; dzielniki
K03:	Jeśli p  dzieli się przez i, to        t  ← false        Zakończ	; sprawdzamy podzielność i jeśli występuje, ; to zerujemy t i kończymy
K04:	Zakończ	; zakończenie po wyjściu z pętli

Na podstawie powyższego algorytmu napisz program w języku C++, który wygeneruje n  kolejnych liczb pierwszych.

Ulepszenie algorytmu generacji liczb pierwszych przez sprawdzanie podzielności

Podany powyżej algorytm, chociaż poprawnie działa, nie jest zbytnio efektywny. Aby stwierdzić, czy liczba p  jest pierwsza, musi on wykonać (p - 3) dzieleń próbnych. Jeśli p  jest duże, to liczba dzieleń jest równie duża. Wykonanie algorytmu zajmuje długi czas. Zastanówmy się, czy nie możemy go ulepszyć.

Jeśli liczba p  jest liczbą złożoną (a zatem nie jest liczbą pierwszą), to można ją zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych a  i b, które obie są różne od liczby p:

Z tych dwóch liczb a  i b  wystarczy znaleźć tylko jedną, aby wykluczyć pierwszość liczby p. Mamy dwa możliwe przypadki:

Widzimy, że w obu przypadkach jeden z dzielników występuje w przedziale od 2 do pierwiastka z p. Nie może się tak zdarzyć, że oba dzielniki a  i b  są większe od pierwiastka z p, gdyż wtedy ich iloczyn byłby większy od p. Zatem w celu znalezienia możliwego dzielnika wystarczy przeszukać przedział od 2 do pierwiastka z p. To bardzo duże usprawnienie. Poprzednio, aby sprawdzić, czy liczba p  równa w przybliżeniu milion jest liczbą pierwszą, należało wykonać około miliona dzieleń. Teraz tych dzieleń jest tylko tysiąc - czyli tysiąc razy mniej. Im większa liczba p, tym zysk mamy większy. Jeśli same liczby a  i b  są złożone, to nic nie szkodzi - wtedy ich dzielniki są od nich mniejsze i tym bardziej wpadają w nasz przedział: jeśli p  dzieli się przez jakąś liczbę a, to p  dzieli się również przez wszystkie dzielniki liczby a. Jest to bardzo proste do udowodnienia. Wystarczy zatem znaleźć pierwszy z takich dzielników, aby wykluczyć pierwszość liczby p.

Algorytm sprawdzania, czy liczba p jest liczbą pierwszą - wersja ulepszona nr 1

Wejście:

p  - sprawdzana liczba naturalna

Wyjście:

t  = true, liczba p  jest liczbą pierwszą
t  = false, liczba p  nie jest liczbą pierwszą

Zmienne pomocnicze:

g  - pierwiastek całkowity z p
i  - kolejne dzielniki naturalne dla liczby p

K01:	t  ← true	; zakładamy sukces
K02:	g  ← |√p|	; obliczamy pierwiastek całkowity z p
K03:	Dla i  = 2,3,...,g: wykonuj K04	; dzielniki
K04:	Jeśli p  dzieli się przez i, to        t  ← false        Zakończ	; sprawdzamy podzielność i jeśli występuje, ; to zerujemy t i kończymy
K05:	Zakończ	; zakończenie po wyjściu z pętli

Kolejne przyspieszenie pracy algorytmu uzyskamy ograniczając dalej podzielniki. Na początku algorytmu sprawdzamy, czy badana liczba jest podzielna przez 2. Jeśli tak, to nie jest pierwsza. Jeśli nie, to możemy dalej wyeliminować podzielniki parzyste. Zredukuje nam to ich liczbę o połowę. Badane liczby p  muszą być większe od 2. Liczba 2 jest jedyną liczbą pierwszą podzielną przez 2.

Algorytm sprawdzania, czy liczba p jest liczbą pierwszą - wersja ulepszona nr 2

Wejście:

p  - sprawdzana liczba naturalna, p  > 2

Wyjście:

t  = true, liczba p  jest liczbą pierwszą
t  = false, liczba p  nie jest liczbą pierwszą

Zmienne pomocnicze:

g  - pierwiastek całkowity z p
i  - kolejne dzielniki nieparzyste dla liczby p

K01:	t  ← true	; zakładamy sukces
K02:	Jeśli p  = 2, to zakończ	; jedyna liczba pierwsza parzysta
K03:	Jeśli p  dzieli się przez 2, to     t  ← false     Zakończ	; eliminujemy pozostałe liczby parzyste
K04:	g  ← |√p|	; granica podzielników
K05:	Dla i  = 3,5,7...,g: wykonuj K06	; podzielniki nieparzyste
K06:	Jeśli p  dzieli się przez i, to        t  ← false        Zakończ
K07:	Zakończ	; zakończenie po wyjściu z pętli

Kolejne ulepszenie dotyczy nie samego algorytmu sprawdzania pierwszości liczby, lecz programu ich generacji. Wszystkie liczby pierwsze oprócz 2 i 3 są postaci:

Wyjaśnienie tego faktu jest dosyć proste. Pozostałe liczby są postaci:

Są one podzielne przez 2 lub 3. Zatem nie mogą być liczbami pierwszymi. Tak wygenerowane liczby sprawdzamy podzielnikami nieparzystymi począwszy od 5 do pierwiastka z p. Dzięki temu rozwiązaniu zmniejszymy do ¹/₃ liczbę testów na pierwszość liczb.