Informatyka dla klas II

Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node). Dane przechowuje się w węzłach drzewa. Węzły są ze sobą powiązane w sposób hierarchiczny za pomocą krawędzi (ang. edge), które zwykle przedstawia się za pomocą strzałki określającej hierarchię. Pierwszy węzeł drzewa nazywa się korzeniem (ang. root node). Od niego "wyrastają" pozostałe węzły, które będziemy nazywać synami (ang. child node). Synowie są węzłami podrzędnymi w strukturze hierarchicznej. Synowie tego samego ojca są nazywani braćmi (ang. sibling node). Węzeł nadrzędny w stosunku do syna nazwiemy ojcem (ang. parent node). Ojcowie są węzłami nadrzędnymi w strukturze hierarchicznej. Jeśli węzeł nie posiada synów, to nazywa się liściem (ang. leaf node), w przeciwnym razie nazywa się węzłem wewnętrznym (ang. internal node, inner node, branch node).

Struktura drzewa
		A...H – węzły drzewa strzałki – krawędzie. Zwrot określa kierunek hierarchii rodzić → dziecko. A – korzeń drzewa B,C,D  – bracia, synowie węzła A, który jest dla nich ojcem E,F,G  – bracia, synowie węzła B, który jest dla nich ojcem H – syn węzła D, który jest dla niego ojcem A,B,D – węzły wewnętrzne C,E,F,G,H – liście

Za wyjątkiem korzenia wszystkie pozostałe węzły w drzewie posiadają swojego ojca. W normalnym drzewie liczba synów dla dowolnego węzła nie jest ograniczona. Istnieje jednakże bardzo ważna klasa drzew, w których dany węzeł może posiadać co najwyżej dwóch synów. Noszą one nazwę drzew binarnych (ang. binary tree).

Ciąg węzłów połączonych krawędziami nazwiemy ścieżką (ang. path). Od korzenia do określonego węzła w drzewie wiedzie zawsze dokładnie jedna ścieżka prosta, tzn. taka, iż zawarte w niej węzły pojawiają się tylko jeden raz. Długością ścieżki (ang. path length) nazwiemy liczbę krawędzi łączących węzły w ścieżce. Dla naszego drzewa mamy następujące ścieżki proste od korzenia do kolejnych węzłów:

Struktura drzewa		Ścieżki
		ścieżka od A do A: długość 0: A ścieżka od A do B: długość 1: A→B ścieżka od A do C: długość 1: A→C ścieżka od A do D: długość 1: A→D ścieżka od A do E: długość 2: A→B→E ścieżka od A do F: długość 2: A→B→F ścieżka od A do G: długość 2: A→B→G ścieżka od A do H: długość 2: A→D→H

Długość ścieżki prostej od korzenia do danego węzła nazywa się poziomem węzła (ang. node level). Korzeń drzewa ma zawsze poziom 0. W naszym drzewie węzły B, C i D mają poziom 1, a E, F, G i H mają poziom 2. Wysokość drzewa (ang. tree height) jest równa największemu poziomowi węzłów (lub najdłuższej ścieżce rozpoczynającej się w korzeniu). Dla naszego drzewa wysokość jest równa 2. Wysokość węzła (ang. node height), to długość najdłuższej ścieżki od tego węzła do liścia. Dla korzenia wysokość węzła jest równa wysokości drzewa:

Struktura drzewa		Wysokości węzłów
		węzeł A: wysokość = 2 węzeł B: wysokość = 1 węzeł C: wysokość = 0 węzeł D: wysokość = 1 węzeł E: wysokość = 0 węzeł F: wysokość = 0 węzeł G: wysokość = 0 węzeł H: wysokość = 0

Poziom drzewa (ang. tree level, the level of a tree) dla danego węzła to długość ścieżki prostej od korzenia do danego węzła.

Struktura drzewa		Poziomy
		Poziom 0: A Poziom 1: B,C,D Poziom 2: E,F,G,H

Liczba krawędzi powiązanych z danym węzłem nosi nazwę stopnia węzła (ang. node degree). Krawędzie drzewa są krawędziami skierowanymi (ang. directed edge) i oznaczamy je za pomocą strzałek. Kierunek strzałki jednoznacznie określa pozycję w hierarchii – strzałka wychodzi od ojca i kończy się na synu. Z tego powodu stopień węzła rozbija się na dwa stopnie:

Stopień węzła jest sumą stopnia wejściowego i wyjściowego.

Struktura drzewa
		węzeł A: we=0, wy=3, stopień węzła = 3 węzeł B: we=1, wy=3, stopień węzła = 4 węzeł C: we=1, wy=0, stopień węzła = 1 węzeł D: we=1, wy=1, stopień węzła = 2 węzeł E: we=1, wy=0, stopień węzła = 1 węzeł F: we=1, wy=0, stopień węzła = 1 węzeł G: we=1, wy=0, stopień węzła = 1 węzeł H: we=1, wy=0, stopień węzła = 1

Zwróć uwagę, że liście nie będące korzeniem (jeśli korzeń jest liściem, to jego stopień wynosi 0) mają zawsze stopień równy 1.

Drzewo, w którym węzły mogą posiadać co najwyżej dwóch synów, nazywa się drzewem binarnym (ang. binary tree, B-tree). Węzły potomne nazywamy odpowiednio synem lewym (ang. left child node) i synem prawym (ang. right child node). Drzewa binarne mają ogromne znaczenie w informatyce, ponieważ za ich pomocą można odwzorować również drzewa, których węzły posiadają dowolną liczbę synów – sposób takiego odwzorowania podamy w dalszej części rozdziału.

Drzewo binarne
		A – korzeń, ojciec B i C B,C – synowie A, B – lewy syn A, C – prawy syn A D,E – liście, synowie B F,G – liście, synowie C

W drzewie binarnym stopień każdego węzła nie przekracza 3. Stopień korzenia nie przekracza 2.

Regularne drzewo binarne (ang. regular binary tree, proper binary tree) zawiera wyłącznie węzły, których stopień wyjściowy jest albo równy 2 (węzeł posiada dwóch synów – jest węzłem wewnętrznym), albo 0 (węzeł nie posiada synów – jest liściem).

Regularne drzewo binarne		Stopnie wyjściowe
		A – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny B – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny C – stopień wyjściowy 2, węzeł wewnętrzny D – stopień wyjściowy 0, liść E – stopień wyjściowy 0, liść F – stopień wyjściowy 0, liść G – stopień wyjściowy 0, liść

Dla regularnego drzewa binarnego liczba węzłów na poziomie k-tym jest zawsze równa 2^k.  Liczba wszystkich węzłów, czyli rozmiar drzewa (ang. binary tree size) jest równa 2^p - 1, gdzie p oznacza liczbę poziomów.

Dla n  węzłów liczba poziomów jest równa log₂(n+1).

Ponumerujmy poziomami kolejne węzły, idąc od strony lewej do prawej:

Otrzymane numery węzłów są powiązane ze strukturą hierarchii drzewa prostymi zależnościami:

		Jeśli węzeł o numerze k  posiada synów, to: lewy syn ma numer 2k+1 prawy syn ma numer 2k+2
		Jeśli węzeł o numerze k posiada ojca, to: ojciec ma numer [(k-1) / 2] [...] oznacza część całkowitą.

Węzeł o numerze k  znajduje się na poziomie o numerze [log₂(k+1)].

Węzeł o numerze k  jest wewnętrzny, jeśli 2k+2 < n. W przeciwnym razie węzeł jest liściem.

Własności te pozwalają odwzorowywać regularne drzewo binarne w ciąg elementów i na odwrót

Kompletne drzewo binarne (ang. complete binary tree) posiada zapełnione węzłami wszystkie poziomy z wyjątkiem ostatniego, jednakże na ostatnim poziomie węzły są zapełnione począwszy od lewej strony.

Kompletne drzewo binarne		Niekompletne drzewo binarne

Kompletne drzewo binarne również da się odwzorować w ciąg węzłów. W takim drzewie liczba elementów n może być mniejsza od maksymalnej liczby węzłów, ponieważ ostatni poziom nie musi posiadać kompletu węzłów. Jednakże w przeciwieństwie do drzewa regularnego węzeł wewnętrzny może posiadać tylko jednego, lewego syna (u nas węzłem takim jest węzeł 4). Dlatego w kompletnym drzewie binarnym o rozmiarze n  dla węzła o numerze k  zachodzi:

Poddrzewo (ang. subtree) jest drzewem zawartym w drzewie, gdy jako korzeń przyjmiemy jeden z węzłów. Dla danego węzła drzewa binarnego mogą istnieć dwa poddrzewa: lewe poddrzewo (ang. left subtree) – korzeniem jest lewy syn i analogicznie prawe poddrzewo (ang. right subtree) – korzeniem jest prawy syn:

Kompletne drzewo binarne

W tym przypadku drzewo możemy odwzorować w tablicy n-elementowej. Każdy element tablicy jest węzłem. Hierarchię drzewa przedstawiamy przy pomocy indeksów i ich własności dla kompletnych drzew binarnych. Korzeniem drzewa jest element o indeksie 0. Jego dwoma synami są kolejno elementy o indeksach 1 (lewy syn) i 2 (prawy syn). Postępując podobnie z pozostałymi węzłami otrzymamy całe drzewo binarne:

Niekompletne drzewo binarne

Drzewo odwzorowujemy podobnie jak listę. Każdy element jest strukturą, która oprócz danych zawiera dwa lub trzy wskaźniki:

struct BTNode
{
  BTNode * left;
  BTNode * right;
  typ_danych data;
};

struct BTNode
{
  BTNode * up;
  BTNode * left;
  BTNode * right;
  typ_danych data;
};

Gdzie:

Wskaźniki pozwalają na przemieszczanie się po węzłach w strukturze drzewa. Wskaźniki left  i right  umożliwiają przechodzenie w dół drzewa. Wskaźnik up  prowadzi w górę do ojca danego węzła. Jeśli ten kierunek nie jest istotny, to wskaźnik może zostać pominięty (wersja uproszczona).

Drzewa odzwierciedlają różnego rodzaju struktury. W węzłach są przechowywane różne informacje. Często będziemy spotykać się z zadaniem, które wymaga odwiedzenia każdego węzła drzewa i przetworzenia informacji przechowywanych w węźle. Zadanie to realizują algorytmy przechodzenia drzewa (ang. tree traversal algorithm). Polegają one na poruszaniu się po drzewie od węzła do węzła wzdłuż krawędzi w pewnym porządku i przetwarzaniu danych przechowywanych w węzłach. Istnieje kilka takich algorytmów o różnych własnościach. Omówimy je w tym rozdziale

Algorytm DFS

DFS: pre-order – przejście wzdłużne

Stan przejścia	Przetworzone węzły	Opis
	A	Odwiedzamy korzeń A i przechodzimy do lewego syna B, który jest korzeniem lewego poddrzewa dla węzła A.
	A B	Odwiedzamy korzeń B poddrzewa i przechodzimy do lewego syna D, który jest korzeniem poddrzewa dla węzła B.
	A B D	Odwiedzamy D i przechodzimy do H.
	A B D H	Odwiedzamy H. Węzeł nie ma dzieci, zatem lewe poddrzewo dla węzła D (ojca H) zostało przebyte. Wracamy do węzła D i przechodzimy do I, który jest korzeniem prawego poddrzewa dla węzła D.
	A B D H I	Odwiedzamy I. Węzeł jest liściem, zatem prawe drzewo węzła D zostało przebyte. Jednocześnie zostało przebyte całe lewe poddrzewo węzła B. Wracamy do B i przechodzimy do E, które jest korzeniem prawego poddrzewa węzła B.
	A B D H I E	Odwiedzamy węzeł E i przechodzimy do lewego poddrzewa, czyli do węzła J.
	A B D H I E J	Wracamy do korzenia A, ponieważ całe lewe poddrzewo zostało przebyte. Teraz w analogiczny sposób odwiedzamy prawe poddrzewo, rozpoczynając od jego korzenia C.
	A B D H I E J C	Odwiedzamy C i przechodzimy do lewego poddrzewa.
	A B D H I E J C F	Odwiedzamy F i przechodzimy do lewego poddrzewa.
	A B D H I E J C F K	Odwiedzamy K i wracamy do C (lewe poddrzewo węzła C jest przebyte), a następnie przechodzimy do prawego poddrzewa.
	A B D H I E J C F K G	Odwiedzamy G. Drzewo zostało przebyte.

Na poniższym rysunku zaznaczyliśmy linię przejścia przez kolejne węzły drzewa.

→ pre-order →

 

Algorytm rekurencyjny DFS:preorder dla drzewa binarnego

Wejście

Wyjście:

Lista kroków:

Algorytm stosowy DFS:preorder dla drzewa binarnego

Wejście

Wyjście:

Elementy pomocnicze:

Lista kroków:

DFS: in-order – przejście poprzeczne

Stan przejścia	Przetworzone węzły	Opis
	H	Rozpoczynamy w korzeniu A. Jednakże węzła A nie przetwarzamy, lecz przechodzimy do lewego syna B. Tutaj dalej przechodzimy do D i H. Węzeł H nie ma dzieci, więc przechodzenie do lewego poddrzewa się kończy i węzeł H zostaje przetworzony jako pierwszy.
	H D	Lewe poddrzewo węzła D zostało przebyte, zatem przetwarzamy węzeł D i przechodzimy do prawego poddrzewa, którego korzeniem jest węzeł I.
	H D I	Węzeł I jest liściem, zatem nie posiada lewego poddrzewa. Przetwarzamy węzeł I.
	H D I B	Lewe poddrzewo węzła B zostało przebyte. Przetwarzamy węzeł B i przechodzimy do jego prawego poddrzewa rozpoczynającego się w węźle E.
	H D I B J	Będąc w węźle E najpierw przechodzimy jego lewe poddrzewo, czyli idziemy do węzła J. Węzeł J jest liściem i nie posiada dalszych poddrzew. Przetwarzamy J i wracamy do E.
	H D I B J E	Lewe poddrzewo węzła E zostało przebyte. Przetwarzamy węzeł E. Ponieważ nie posiada on prawego poddrzewa, wracamy do A.
	H D I B J E A	Lewe poddrzewo węzła A zostało przebyte. Przetwarzamy A i przechodzimy do prawego poddrzewa rozpoczynającego się od węzła C.
	H D I B J E A K	Będąc w węźle C przechodzimy do lewego poddrzewa rozpoczynającego się od węzła F, a tam dalej przechodzimy do następnego lewego poddrzewa, czyli do węzła K. Ten węzeł jest liściem i nie posiada dalszych poddrzew. Przetwarzamy K i wracamy do F.
	H D I B J E A K F	Lewe poddrzewo węzła F zostało przebyte. Przetwarzamy F. Ponieważ brak prawego poddrzewa, wracamy do C.
	H D I B J E A K F C	Lewe poddrzewo węzła C zostało przebyte, przetwarzamy C i przechodzimy do prawego poddrzewa, czyli do węzła G.
	H D I B J E A K F C G	G jest liściem, przetwarzamy G i kończymy.

→ in-order →

 

Algorytm rekurencyjny DFS:inorder dla drzewa binarnego

Wejście

Wyjście:

Lista kroków:

Algorytm stosowy DFS:inorder dla drzewa binarnego

Wejście

Wyjście:

Elementy pomocnicze:

Lista kroków:

K01:	Utwórz pusty stos S
K02:	cp  ← v	; bieżącym węzłem jest korzeń drzewa
K03:	Dopóki (S.empty() = false) (cp  ≠ nil) wykonuj K04...K11	; pętla jest wykonywana, jeśli jest coś na stosie lub cp wskazuje węzeł drzewa
K04:	Jeśli cp  = nil, to idź do K07	; sprawdzamy, czy wyszliśmy poza liść drzewa
K05:	S.push(cp)	; jeśli nie, to umieszczamy wskazanie bieżącego węzła na stosie
K06:	cp  ← (cp→left)	; bieżącym węzłem staje się lewy syn
K07:	Następny obieg pętli K02	; wracamy na początek pętli
K08:	cp  ← S.top()	; wyszliśmy poza liść, wracamy do węzła, pobierające jego wskazanie ze stosu
K09:	S.pop()	; wskazanie usuwamy ze stosu
K10:	Odwiedź węzeł wskazany przez cp	; przetwarzamy dane w węźle
K11:	cp  ← (cp→right)	; bieżącym węzłem staje się prawy syn
K12:	Zakończ

 

DFS: post-order – przejście wsteczne

Stan przejścia	Przetworzone węzły	Opis
	H	Rozpoczynamy w korzeniu A. Najpierw przechodzimy lewe poddrzewo. Idziemy do B. Tutaj również przechodzimy lewe poddrzewo i idziemy do D, a następnie do H. Węzeł H jest liściem i nie posiada poddrzew. Przetwarzamy H i wracamy do D.
	H I	Lewe poddrzewo węzła D jest przebyte, przechodzimy poddrzewo prawe. Idziemy do węzła I. Ponieważ jest on liściem, to nie posiada poddrzew. Przetwarzamy I. Wracamy do D.
	H I D	Oba poddrzewa węzła D zostały przebyte, przetwarzamy D i wracamy do B.
	H I D J	Dla węzła B przebyte zostało poddrzewo lewe. Teraz przechodzimy przez jego prawe poddrzewo. Idziemy do E i do J (lewe poddrzewo E). J jest liściem i nie posiada dalszych poddrzew, zatem przetwarzamy J i wracamy do E.
	H I D J E	Lewe poddrzewo węzła E zostało przebyte. Nie ma prawego poddrzewa dla E, zatem przetwarzamy E i wracamy do B.
	H I D J E B	Lewe i prawe poddrzewo węzła B jest przebyte. Przetwarzamy węzeł B i wracamy do A.
	H I D J E B K	Lewe poddrzewo węzła A zostało przebyte. Przechodzimy do prawego poddrzewa, czyli do węzła C, następnie do F (lewe poddrzewo C) i do K (lewe poddrzewo F). K jest liściem i nie posiada poddrzew. Przetwarzamy K i wracamy do F.
	H I D J E B K F	Lewe poddrzewo węzła F jest przebyte, a prawego poddrzewa brak. Przetwarzamy F i wracamy do C.
	H I D J E B K F G	Lewe poddrzewo węzła C jest przebyte, przechodzimy do poddrzewa prawego, czyli do węzła G. Węzeł G jest liściem i nie posiada poddrzew. Przetwarzamy G i wracamy do C.
	H I D J E B K F G C	Oba poddrzewa węzła C zostały przebyte. Przetwarzamy C i wracamy do A.
	H I D J E B K F G C A	Oba poddrzewa węzła A zostały przebyte. Przetwarzamy A i kończymy

→ post-order →

 

Algorytm rekurencyjny DFS:postorder dla drzewa binarnego

Wejście

Wyjście:

Lista kroków:

Algorytm stosowy DFS:postorder dla drzewa binarnego

Wejście

Wyjście:

Elementy pomocnicze:

Lista kroków:

K01:	Utwórz pusty stos S
K02:	S.push(v)	; węzeł startowy umieszczamy na stosie
K03:	pp  ← nil	; zerujemy wskaźnik węzła poprzedniego
K04:	Dopóki S.empty() = false: wykonuj K05...K14
K05:	cp  ← S.top()	; ustawiamy cp na węzeł przechowywany na stosie
K06:	Jeśli (pp  = nil) ((pp→left) = cp) ((pp→right) = cp), to idź do K11	; sprawdzamy, czy idziemy w głąb drzewa
K07:	Jeśli (cp→left) = pp, to idź do K13	; sprawdzamy, czy wróciliśmy z lewego poddrzewa
K08:	Odwiedź węzeł wskazany przez cp	; oba poddrzewa przebyte, przetwarzamy węzeł
K09:	S.pop()	; i usuwamy jego wskazanie ze stosu
K10:	Idź do K14
K11:	Jeśli (cp→left) ≠ nil, to S.push(cp→left)     inaczej jeśli (cp→right) ≠ nil, to S.push(cp→right)	; jeśli istnieje lewy syn cp, umieszczamy go na stosie ; inaczej umieszczamy na stosie prawego syna, jeśli istnieje
K12:	Idź do K14
K13:	Jeśli (cp→right) ≠ nil, to S.push(cp→right)	; jeśli istnieje prawy syn, to umieszczamy go na stosie
K14:	pp  ← cp	; zapamiętujemy cp w pp i wykonujemy kolejny obieg pętli
K15:	Zakończ

 

Podsumowanie

Drzewo binarne	przejście pre-order	przejście in-order	przejście post-order