Klasa II miejsca zerowe funkcji

Definicja miejsca zerowego

Miejscem zerowym funkcji f(x) będziemy nazywali argument x_o, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0:

x_o jest miejscem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy f(x_o) = 0

Uwaga:

Często uczniowie (nawet ci lepsi) mylą to proste pojęcie i twierdzą, iż miejsce zerowe to argument x_o = 0. Prawdopodobnie zamęt wprowadza indeks przy literce x. Zastanów się, jeśli by tak było, to po co potrzebna jest nam ta cała procedura znajdowania czegoś, co jest przecież równe 0...?

Przykład:

Funkcja f(x) = 2x - 4 posiada miejsce zerowe dla x_o = 2, ponieważ:

f(x_o)	= 2x_o - 4
f(2)	= 2 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Miejsce zerowe często nazywamy pierwiastkiem funkcji.

Funkcja może posiadać więcej niż jeden pierwiastek:

Przykład:

Funkcja f(x) = x² - 1 posiada dwa pierwiastki: x_o = -1 oraz x_o = 1, gdyż:

f(x_o)	= (x_o)² - 1
f(-1)	= (-1)² - 1 = 1 - 1 = 0
f(1)	= 1² - 1 = 1 - 1 = 0

Funkcja może posiadać nieskończenie wiele pierwiastków:

Przykład:

Funkcja f(x) = sin(x - 2) posiada pierwiastki dla każdego x_o = kπ + 2, gdzie k = 0, ±1, ±2 ...

Graficznie miejsce zerowe funkcji możemy interpretować jako punkt przecięcia osi współrzędnych OX przez wykres funkcji:

Znajdowanie miejsc zerowych ma olbrzymie znaczenie w matematyce, fizyce, astronomii, technice itp. Dlatego już dawno temu matematycy opracowali wiele metod rozwiązywania tego zagadnienia. Zasadniczo istnieją dwa podejścia:

zastosowanie metod analitycznych do znalezienia pierwiastka funkcji. Żmudne i wymagające dobrej znajomości matematyki - szczególnie, gdy funkcja ma bardzo skomplikowany przepis. Zaletą metody analitycznej jest to, iż otrzymujemy rozwiązanie dokładne. Wadą jest brak ogólnej metody znajdowania pierwiastków.
wyliczenie pierwiastka przybliżonego z założoną dokładnością - wraz z rozwojem komputerów metody numeryczne zyskały na popularności. W technice często nie potrzebujemy super dokładnej wartości pierwiastka, lecz zadowalamy się jego przybliżeniem. Zaletą tych metod w porównaniu do metod analitycznych jest ogólność i prostota.

Metoda połowienia - bisekcji

Mamy daną funkcję f(x) oraz przedział <a,b>, w którym będziemy poszukiwali miejsca zerowego (czyli pierwiastka funkcji f(x)). Aby można było zastosować algorytm połowienia (zwany również algorytmem bisekcji), w przedziale <a,b> muszą być spełnione poniższe warunki:

Funkcja f(x) jest określona - uczniowie często nie rozumieją tego pojęcia. Określoność funkcji oznacza, iż dla każdej wartości argumentu x z przedziału <a,b> potrafimy policzyć wartość funkcji. W trakcie pracy algorytm połowienia oblicza wartości funkcji dla argumentów należących do tego przedziału <a,b>. Jeśli przypadkowo trafi na punkt, dla którego wartość funkcji jest nieokreślona, obliczenia się załamią. W praktyce konsekwencje mogą być tragiczne, np. zmiana lotu samolotu z poziomego na pionowy w kierunku ziemi...

Dla przykładu rozważmy prostą funkcję:

obrazek

Ile wynosi wartość tej funkcji dla x = 1? Musimy dzielić przez 0, a jak wiadomo jest to zadanie niewykonalne. W punkcie x = 1 tak podana funkcja ma nieokreśloną wartość.

Funkcja f(x) jest ciągła. Ciągłość funkcji oznacza z kolei, iż jej wartości nie "wykonują" nagłych skoków. Funkcja przebiega przez wszystkie wartości pośrednie - nie istnieją zatem przerwy w kolejnych wartościach funkcji. Dla przykładu rozważmy taką oto funkcję:

obrazek

Funkcja w przedziale <-2,1> posiada następujący wykres:

obrazek

Nieciągłość występuje w punkcie x = 0, czyli w miejscu zmiany przepisu funkcji. Zwróć uwagę, iż funkcja jest określona w tym punkcie - nieciągłość i nieokreśloność to dwie różne sprawy - nie myl ich!!!

Funkcja f(x) na krańcach przedziału <a,b> przyjmuje różne znaki. Ponieważ funkcja, zgodnie z poprzednim podpunktem, jest ciągła, to przyjmuje w przedziale <a,b> wszystkie wartości pośrednie pomiędzy f(a) i f(b). Wartości te mają różne znaki (czyli leżą po różnych stronach osi OX), zatem musi być taki punkt x_o w przedziale <a,b>, dla którego funkcja przyjmuje wartość pośrednią:

f(a) < f(x_o) = 0 < f(b) lub f(a) > f(x_o) = 0 > f(b)

Gdy funkcja f(x) spełnia powyższe trzy warunki, to w przedziale <a,b> zagwarantowane jest istnienie pierwiastka i możemy go wyszukać algorytmem połowienia (bisekcji). Zasada jest następująca:

Wyznaczamy punkt x_o jako środek przedziału <a,b> zgodnie ze wzorem:

obrazek

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x_o. Sprawdzamy, czy f(x_o) znajduje się dostatecznie blisko 0:

obrazek

Jeśli nierówność jest spełniona, to x_o jest poszukiwaną wartością pierwiastka. Zwracamy wynik i kończymy algorytm. W przeciwnym razie za nowy przedział poszukiwań pierwiastka przyjmujemy tą połówkę <a,x_o> lub <x_o,b>, w której funkcja zmienia znak na krańcach. Algorytm powtarzamy od początku dotąd, aż znajdziemy pierwiastek

Algorytm wyznaczania miejsca zerowego metodą bisekcji

Wejście:

f()	–	funkcja, której pierwiastka poszukujemy
x_a	–	początek przedziału poszukiwań pierwiastka, x_a R
x_b	–	koniec przedziału poszukiwań pierwiastka, x_b R

Wyjście:

x_o – pierwiastek funkcji f() lub informacja, że w przedziale <x_a,x_b> brak pierwiastka.

Dane pomocnicze:

ε	–	dokładność porównania z zerem
y_o	–	wartość funkcji w punkcie x_o
y_a	–	wartość funkcji w punkcie x_a
y_b	–	wartość funkcji w punkcie x_b

K01:

y_a ← f(x_a)

; obliczamy wartość funkcji na krańcu x_a przedziału poszukiwań pierwiastka

K02:

y_b ← f(x_b)

; obliczamy wartość funkcji na krańcu x_b przedziału poszukiwań pierwiastka

K03:

Jeśli y_a y_b > 0, to
pisz "BRAK PIERWIASTKA" i
zakończ

; sprawdzamy warunek istnienia pierwiastka

K04:

x_o ←	x_a + x_b
	2

; wyznaczamy środek przedziału

K05:

y_o ← f(x_o)

; obliczamy wartość funkcji w punkcie x_o

K06:

Jeśli |y_o| < ε, to
pisz x_o i
zakończ

; sprawdzamy, czy x_o jest poszukiwanym pierwiastkiem

K07:

Jeśli y_a

y_b < 0, to
x_b ← x_o y_b ← y_oinaczej
x_a ← x_o y_a ← y_o

; za nowy przedział przyjmujemy tę połówkę, w której funkcja zmienia znak

K08:

Idź do K04

; kontynuujemy poszukiwanie pierwiastka

Na podstawie powyższego algorytmu napisz odpowiedni program w języku C++.

Przykładowa funkcja do testów f(x) = x³(x + sin(x²- 1) - 1) - 1. Pierwiastków należy poszukiwać w przedziałach <-1,0> i <1,2>.

Metoda Fałszywej Prostej - Regula Falsi

Mamy daną funkcję f(x) oraz przedział <a,b> poszukiwań pierwiastka. W przedziale tym funkcja musi spełniać następujące warunki:

Funkcja f(x) jest określona - dla każdej wartości argumentu x z przedziału <a,b> potrafimy policzyć wartość funkcji.

Funkcja f(x) jest ciągła - jej wartości nie "wykonują" nagłych skoków. Funkcja przebiega przez wszystkie wartości pośrednie - nie istnieją zatem przerwy w kolejnych wartościach funkcji.

Funkcja f(x) na krańcach przedziału <a,b> przyjmuje różne znaki. Ponieważ funkcja, zgodnie z poprzednim wymogiem, jest ciągła, to przyjmuje w przedziale <a,b> wszystkie wartości pośrednie pomiędzy f(a) i f(b). Wartości te mają różne znaki (czyli leżą po różnych stronach osi OX), zatem musi być taki punkt x_o w przedziale <a,b>, dla którego funkcja przyjmuje wartość pośrednią:

f(a) < f(x_o) = 0 < f(b) lub f(a) > f(x_o) = 0 > f(b)

obrazek Gdy funkcja f(x) spełnia podane warunki, to w przedziale <a,b> zagwarantowane jest istnienie pierwiastka i możemy go wyszukać algorytmem regula falsi.

W języku łacińskim regula falsi oznacza fałszywą prostą. Ideą tej metody jest założenie, iż funkcja w coraz mniejszych przedziałach wokół pierwiastka zaczyna przypominać funkcję liniową. Skoro tak, to przybliżenie pierwiastka otrzymujemy prowadząc linię prostą (sieczną) z punktów krańcowych przedziału. Sieczna przecina oś OX w punkcie x_o, który przyjmujemy za przybliżenie pierwiastka - gdyby funkcja faktycznie była liniowa, otrzymany punkt x_o byłby rzeczywistym pierwiastkiem.

Wzór dla x_o można wyprowadzić na kilka sposobów. My wybierzemy znane twierdzenie Talesa, które mówi, iż jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta będą proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na ramieniu drugim. Poniższy rysunek obrazuje tę sytuację:

obrazek

W naszym przypadku postępujemy następująco:

Kąt utworzą odpowiednie odcinki:

pionowo FA = (a,0)-(a,f(a)) powiększony o odcinek FB = (b,0)-(b,-f(b))

poziomo XAB = (a,0)-(b,0)

Prostymi równoległymi będzie cięciwa z punktów krańcowych przedziału, oraz ta sama cięciwa przesunięta pionowo w górę o długość odcinka FB.

Poniższy rysunek obrazuje otrzymaną sytuację:

obrazek

Zgodnie z twierdzeniem Talesa mamy:

obrazek

Jeśli podstawimy do tego wzoru długości odcinków:

FA = f(a)
FB = -f(b)
XAB = b - a
XX0 = x_o - a

Otrzymamy:

obrazek

a dalej:

obrazek

Ostatnie przekształcenie ma na celu otrzymanie wzoru o lepszej "zapamiętywalności". Mnożymy mianownik przez (-1), dzięki czemu staje się on spójny z licznikiem ułamka. Sam ułamek zmienia znak na minus.

Algorytm regula falsi jest bardzo podobny do opisanego w poprzednim rozdziale algorytmu bisekcji. Założenia wstępne dla badanej funkcji w obu algorytmach są identyczne. Różnią się one sposobem wyznaczania punktu x_o. W algorytmie bisekcji punkt ten zawsze wyznaczany był w środku przedziału <a,b>. Z tego powodu algorytm bisekcji jest "nieczuły" na przebieg funkcji - zawsze zbliża się do pierwiastka w ten sam sposób.

W algorytmie regula falsi jest inaczej. Punk x_o wyznaczany jest w zależności od wartości funkcji na krańcach przedziału poszukiwań. W efekcie w każdej iteracji otrzymujemy lepsze przybliżenie do rzeczywistej wartości pierwiastka. Zatem w większości przypadków algorytm regula falsi szybciej osiągnie założoną dokładność pierwiastka od algorytmu bisekcji (chociaż można oczywiście podać kontrprzykłady).

Po wyznaczeniu przybliżonego pierwiastka postępowanie w obu algorytmach jest w zasadzie takie samo. Sprawdzamy, czy wartość modułu różnicy pomiędzy dwoma ostatnimi przybliżeniami pierwiastka jest mniejsza od zadanego minimum. Jeśli tak, obliczenia kończymy zwracając x_o.

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x_o i sprawdzamy, czy jest ona dostatecznie bliska zeru. Jeśli tak, zwracamy x_o i kończymy. Jeśli nie, za nowy przedział przyjmujemy tą część przedziału <a,b> rozdzielonego przez x_o, w której funkcja zmienia znak. Całą procedurę powtarzamy, aż do osiągnięcia pożądanego wyniku.

Algorytm wyznaczania miejsca zerowego metodą regula falsi