Studnia potencjału grawitacyjnego

Potencjał grawitacyjny

po uwzględnieniu wzorów (4):

(4)

a) b) c)

z dokładnością do stałej (potencjał niecechowany) otrzymujemy:

(5)

a) b) c)

Przykłady prostych potencjałów na zewnątrz jednorodnej kuli (2a) i sfery możemy spotkać w [8]. Są one takie same jak dla masy punktowej i nie będziemy się w tej pracy nimi zajmować. Wyznaczanie potencjałów o bardziej skomplikowanej strukturze matematycznej (np. wzory (5)) wymaga już znajomości rachunku całkowego i leży poza możliwościami ucznia szkoły średniej.

Wykresy potencjałów - program komputerowy

Poniższy program pozwala w sposób numeryczny obliczać potencjały i jednocześnie uzyskać ich trójwymiarową reprezentację graficzną. Program jest napisany w darmowo dostępnym języku FreeBasic. Język ten został wybrany ze względu na prostotę operacji graficznych oraz osobiste preferencje autora.

' STUDNIA POTENCJAŁU GRAWITACYJNEGO
'----------------------------------
'(C)2007 mgr Tadeusz Sypek

PUBLIC FUNCTION f(BYVAL r AS DOUBLE) AS DOUBLE
  RETURN -r * r + 33
END FUNCTION

CLS: SCREEN 9: WINDOW (-320, 175)-(319, -174)

' USTALANIE DOLNEGO HORYZONTU

DIM min(629) AS DOUBLE
DIM AS INTEGER a, b
DIM AS DOUBLE r, pot, x, y, dr

FOR a = 1 TO 629
  min(a) = -50 * SIN((a - 1) / 100)
NEXT

dr = 0.01

FOR r = 1 TO .01 STEP -dr
   pot -= f(r) * r * dr
  FOR a = 1 TO 629 STEP 20
    x = -150 * r * COS((a - 1) / 100)
    y =  -50 * r * SIN((a - 1) / 100) + 10 * pot

' PRZESŁANIANIE

    IF a < 314 THEN PSET (x, y)
    IF y >= -min(a) AND a > 314 THEN PSET (x, y)
    IF 100 * r MOD 10 = 0 THEN
      FOR b = 1 TO 629
        x = -150 * r * COS((b - 1) / 100)
        y = - 50 * r * SIN((b - 1)/ 100) + 10 * pot
        IF b < 315 THEN PSET (x, y)
        IF y >= -min(b) AND b > 315 THEN PSET (x, y) 
      NEXT
    END IF
  NEXT
NEXT

SLEEP

END

Komentarz do programu

PUBLIC FUNCTION f(BYVAL r AS DOUBLE) AS DOUBLE RETURN -r * r + 33 END FUNCTION	Funkcja f wyznacza wartości funkcji gęstości, dla której pragniemy uzyskać przestrzenny wykres potencjału.
FOR a = 1 TO 629 min(a) = -50 * SIN((a - 1) / 100) NEXT	W celu przyspieszenia obliczeń wypełniamy tablicę min() wartościami funkcji sinus z przedziału 0 do 2π, wymnożonymi przez -50.
dr = 0.01 FOR r = 1 TO .01 STEP -dr pot -= f(r) * r * dr FOR a = 1 TO 629 STEP 20 x = -150 * r * COS((a - 1) / 100) y = -50 * r * SIN((a - 1) / 100) + 10 * pot	w pierwszej pętli obliczamy wartości dla dolnego horyzontu, który jest wykorzystywany do tworzenia linii przesłaniania, w drugiej pętli liczone są wartości potencjału w funkcji odległości od środka ruchu,
IF a < 314 THEN PSET (x, y) IF y >= -min(a) AND a > 314 THEN PSET (x, y) IF 100 * r MOD 10 = 0 THEN FOR b = 1 TO 629 x = -150 * r * COS((b - 1) / 100) y = - 50 * r * SIN((b - 1)/ 100) + 10 * pot IF b < 315 THEN PSET (x, y) IF y >= -min(b) AND b > 315 THEN PSET (x, y) NEXT END IF NEXT NEXT	instrukcje warunkowe pozwalające kreślić linie równoleżnikowe i południkowe (głębne). Zwróćmy uwagę, że linie równoleżnikowe są liniami ekwipotencjalnymi.

Ryc.3 a, b, c przedstawiają wyniki działania programu dla rozkładów gęstości określonych wzorami (4a, b, c).

Rys.3
a)	b)	c)

Wykresy przestrzenne potencjałów mają kształt charakterystycznych tworów, które nazywamy jamami lub studniami potencjału. Dokładniej: jama (studnia) potencjału to ograniczony obszar przestrzeni, w którym energia potencjalna punktu materialnego (cząstki) przyjmuje wartość mniejszą (w mechanice klasycznej i kwantowej) niż w otoczeniu tego obszaru. Podstawową własnością jamy potencjału jest zdolność do zatrzymywania w niej cząstki o energii mniejszej od energii potencjalnej brzegu jamy. W takim stanie, cząstka porusza się tylko wewnątrz jamy potencjału, czyli pozostaje w ograniczonym obszarze przestrzeni. W mechanice klasycznej jama potencjału ma zawsze skończone rozmiary i cząstka w ogóle nie może przeniknąć poza granice tego obszaru.

Wielkości charakteryzujące jamę (studnię) potencjału:

- głębokość jamy; cechuje intensywność oddziaływania,
- szerokość; określa zasięg oddziaływania [9].

Użytkownik również sam może zaproponować inne rozkłady gęstości przestrzennej materii wewnątrz kuli, które go interesują. Może to być także swoistą formą zabawy fizyczno-intelektualnej. Rys. 4a-d przedstawiają - zdaniem autora - takie ciekawe przypadki:

Rys.4
a)	b)


c)	d)

Już pobieżna analiza ryc. 3 i 4 pokazuje, że niektóre studnie potencjału nie mają dna. Matematycy kwitują to krótko: wartość r = 0 nie należy do dziedziny funkcji V(r), albo: funkcja V(r) nie jest określona dla r = 0. Fizyk natomiast mówi o osobliwości w tym punkcie i opisuje lub stara się opisać naturę fizyczną tego fragmentu przestrzeni, o ile oczywiście pozwala na to aktualny stan wiedzy.

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,
zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe