Informatyka dla klas II

Pojęcia wstępne

Graf (ang. graph) jest strukturą danych składającą się z dwóch zbiorów: zbioru wierzchołków (ang. vertices) i zbioru krawędzi (ang. edges), co matematycznie zapisujemy w postaci uporządkowanej pary (tzn. takiej, gdzie istotna jest kolejność elementów tworzących tę parę):

 

 

Rząd grafu (ang. graph order) to liczba wierzchołków w grafie.

Rozmiar grafu (ang. graph size) to liczba krawędzi w grafie.

Wierzchołki grafu przechowują informację, natomiast krawędzie określają sposób poruszania się po grafie: z wierzchołka u  można przejść do wierzchołka v  tylko wtedy, gdy istnieje ścieżka (ciąg krawędzi), która prowadzi w grafie od wierzchołka u  do v.

Grafem zerowym (ang. null graph) jest graf, który posiada wierzchołki, lecz nie posiada żadnych krawędzi:

 

 

W grafie zwykłym mamy wierzchołki oraz krawędzie, które łączą ze sobą pary wierzchołków grafu:

 

 

Wierzchołek nie połączony krawędzią z żadnym innym wierzchołkiem grafu nazywamy wierzchołkiem izolowanym (ang. isolated vertex):

 

 

Dane dwa wierzchołki mogą być połączone ze sobą za pomocą więcej niż jednej krawędzi, które nazywamy krawędzią wielokrotną (ang. multi-edge). Również wierzchołek może łączyć się krawędzią z samym sobą. Otrzymujemy wtedy tzw. pętlę (ang. loop). Graf zawierający pętle lub krawędzie wielokrotne nazywamy multigrafem (ang. multigraph).

 

 

Graf nie posiadający pętli oraz krawędzi podwójnych nazywamy grafem prostym (ang. simple graph lub strict graph).

Krawędź, którą można przebywać tylko w określoną stronę, nazywa się krawędzią skierowaną (ang. directed edge). Na rysunku krawędzie skierowane oznaczamy strzałkami. Graf zawierający krawędzie skierowane nazywamy grafem skierowanym (ang. directed graph) lub w skrócie digrafem (ang. digraph). Graf nie posiadający krawędzi skierowanych nazywamy grafem nieskierowanym (ang. not directed graph). W definicji digrafu zbiór krawędzi tworzą uporządkowane pary wierzchołków (u,v), z których u oznacza wierzchołek początkowy krawędzi, a v wierzchołek końcowy. Krawędź nieskierowana może być przedstawiona jako dwie krawędzie skierowane w przeciwnych kierunkach.

 

 

Zwróć uwagę, że w grafie skierowanym mogą istnieć wierzchołki, pomiędzy którymi nie da się przejść, pomimo istnienia łączących je krawędzi. Oto najprostszy przykład:

 

 

W grafie tym istnieje droga od wierzchołka v₁ do v₂, jednakże nie ma drogi powrotnej od v₂ do v₁, ponieważ łącząca te wierzchołki krawędź może być przebyta tylko w jednym kierunku.

Z krawędziami grafu mogą być związane dodatkowe wartości (np. w świecie rzeczywistym pokonanie drogi z jednego miasta do drugiego może wymagać określonej ilości czasu lub energii). Wartości te nazywamy wagami (ang. weight), a graf posiadający takie krawędzie nazywamy grafem ważonym (ang. weighted graph). Graf ważony posiada zbiór krawędzi zbudowany z uporządkowanych trójek, gdzie dwa pierwsze elementy określają wierzchołki połączone daną krawędzią (w grafie skierowanym wierzchołki te są parą uporządkowaną), a trzeci element określa wagę tej krawędzi.

 

 

Stopniem wierzchołka (ang. degree) nazywamy liczbę krawędzi, które łączą się z danym wierzchołkiem. Jeśli graf posiada pętle, to liczymy je za 2. W poniższym grafie wierzchołki posiadają następujące stopnie:

 

 

W grafie skierowanym rozróżniamy stopień wchodzący (ang. indegree) – liczba krawędzi wchodzących do wierzchołka oraz stopień wychodzący (ang. outdegree) – liczba krawędzi wychodzących z wierzchołka.

Wierzchołek izolowany posiada zawsze stopień 0.

Ścieżka lub droga (ang. path) jest uporządkowanym ciągiem kolejnych krawędzi, po których należy przejść, aby dotrzeć z wierzchołka startowego (ang. start vertex) do wierzchołka końcowego (ang. end vertex). W grafie może istnieć wiele różnych ścieżek pomiędzy dwoma wybranymi wierzchołkami.

 

Ścieżki można również definiować za pomocą ciągu kolejno mijanych wierzchołków (oczywistym jest, iż każde dwa kolejne wierzchołki muszą być połączone krawędzią).

 

Najkrótsza ścieżka (ang. shortest path) to ta, która zawiera najmniej krawędzi/wierzchołków. Długość ścieżki (ang. path length) to liczba zawartych w niej krawędzi/wierzchołków.

Mówimy, że ścieżka jest prosta (ang. strait path lub simple path), jeśli każdą krawędź/wierzchołek przechodzimy tylko jeden raz.

Cykl (ang. cycle) to ścieżka, która rozpoczyna się i kończy w tym samym wierzchołku. Uwaga: nie myl cyklu z pętlą – pętla to pojedyncza krawędź.

 

 

Cykl nazywamy prostym (ang. simple cycle), jeśli każda jego krawędź/wierzchołek jest przechodzona dokładnie jeden raz. Nie odnosi się to oczywiście do wierzchołka startowego i końcowego, które w cyklu muszą być tym samym wierzchołkiem, innymi słowy ścieżka musi być zamknięta.

Ścieżka prosta zawierająca wszystkie wierzchołki grafu nosi nazwę ścieżki Hamiltona (ang. Hamiltonian path).

Cykl prosty zawierający wszystkie wierzchołki grafu nazywa się cyklem Hamiltona (ang. Hamiltonian cycle).

Ścieżka prosta, która przechodzi przez wszystkie krawędzie grafu nazywa się ścieżką Eulera (ang. Eulerian path).

Cykl Eulera (ang. Eulerian cycle) to cykl prosty, który przechodzi przez wszystkie krawędzie grafu. Zwróć uwagę, że cykl Eulera i cykl Hamiltona to nie to samo! W cyklu Hamiltona ważne jest przejście przez wszystkie wierzchołki dokładnie jeden raz (niektóre krawędzie grafu mogą być w ogóle nie przechodzone). W cyklu Eulera z kolei musimy przejść przez każdą krawędź, zatem niektóre wierzchołki mogą zostać kilkakrotnie odwiedzone, jeśli łączą się z kilkoma krawędziami.

Graf nazywamy acyklicznym (ang. acyclic graph), jeśli nie posiada żadnych cykli.

Graf nazywamy planarnym (ang. planar graph), jeśli da się go narysować na płaszczyźnie, tak aby żadne jego krawędzie się nie przecinały.

 

 

Jeśli graf jest planarny, to spełnia wzór Eulera (jeśli graf nie spełnia tego wzoru, to na pewno nie jest planarny):

 

Graf pełny (ang. complete graph) jest grafem, w którym każda para wierzchołków łączy się krawędzią. Grafy pełne o n  wierzchołkach oznacza się symbolem K_n. Graf pełny o n  wierzchołkach posiada krawędzi. Poniżej przedstawiamy kilka początkowych grafów pełnych:

Grafy pełne od K₅ w górę nie są planarne.

Resztę definicji i pojęć związanych z grafami podamy zgodnie z potrzebami. W następnym rozdziale zajmiemy się podstawowymi sposobami reprezentacji grafów w komputerze.

Chcąc realizować algorytmy grafowe, będziemy zmuszeni wprowadzać różne grafy do pamięci komputera. Istnieje bardzo prosty sposób realizacji tego zadania i jest on następujący: 

Na początku podajemy dwie liczby n  – ilość wierzchołków oraz m  – ilość krawędzi. Następnie wprowadzamy m par liczb a  i b, które definiują kolejne krawędzie grafu, gdzie a  to wierzchołek startowy, a b  wierzchołek końcowy (dla grafu nieskierowanego kolejność tych wierzchołków nie ma znaczenia). Umówmy się dodatkowo, że wierzchołki w grafie posiadają numery od 0 do n-1. Kolejność numeracji wierzchołków nie ma znaczenia. Dla porządku krawędzie również będą numerowane od 0 do m-1. Dzięki tej umowie uprości się tworzenie struktur danych w języku C++, gdzie, jak pamiętamy, indeksy tablic rozpoczynają się od 0.

Przykład:

 

Jeśli krawędzie będą posiadały wagi, to warości tych wag podamy jako trzecią liczbę w definicji krawędzi.

Przykład:

 

Jeśli z wierzchołkami grafu zechcemy skojarzyć dane, to po podaniu dwóch pierwszych liczb n  i m  najpierw przekazujemy do programu n  danych dla wierzchołków, a następnie m  par (lub trójek) dla poszczególnych krawędzi.

Przykład:

 

Graf reprezentujemy za pomocą macierzy kwadratowej A o stopniu n, gdzie n  oznacza liczbę wierzchołków w grafie. Macierz tą nazywamy macierzą sąsiedztwa (ang. adjacency matrix). Odwzorowuje ona połączenia wierzchołków krawędziami. Wiersze macierzy sąsiedztwa odwzorowują zawsze wierzchołki startowe krawędzi, a kolumny odwzorowują wierzchołki końcowe krawędzi. Komórka A[i,j], która znajduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie odwzorowuje krawędź łączącą wierzchołek startowy v_i  z wierzchołkiem końcowym v_j. Jeśli A[i,j] ma wartość 1, to dana krawędź istnieje. Jeśli A[i,j] ma wartość 0, to wierzchołek v_i  nie łączy się krawędzią z wierzchołkiem v_j.

 

 

Przykład:

 

Dla grafu nieskierowanego macierz sąsiedztwa A jest symetryczna względem głównej przekątnej, ponieważ jeśli istnieje krawędź od v_i  do v_j  (A[i,j] = 1), to również musi istnieć krawędź w kierunku odwrotnym, od v_j  do v_i  (A[j,i] = 1).

Przykład:

 

Interpretacja zawartości macierzy sąsiedztwa jest bardzo prosta. Poszczególne wiersze traktujemy jako wierzchołki grafu. Zatem wiersz 0 odpowiada wierzchołkowi v₀, wiersz 1 odpowiada wierzchołkowi v₁, itd. Weźmy dla przykładu wiersz nr 3, który odpowiada wierzchołkowi v₃:

 

W kolumnach o numerach 0, 2 i 4 mamy wartości 1. Oznacza to, że wierzchołek v₃ jest połączony krawędziami kolejno z wierzchołkami v₀, v₂ i v₄. Wierzchołek v₃ jest początkiem tych krawędzi, a wierzchołki  v₀, v₂ i v₄ są ich końcami. Z wierzchołka v₃ nie wychodzą żadne krawędzie do wierzchołków v₁ i v₃. Porównaj to z rysunkiem grafu umieszczonym powyżej.

Podobnie jest dla kolumn. Weźmy na przykład kolumnę nr 1, która odpowiada wierzchołkowi v₁:

 

W kolumnie mamy wartość 1 w wierszach o numerach 0, 2 i 4. Znaczy to, że wierzchołek v₁ jest końcem krawędzi wychodzących z wierzchołków v₀, v₂ i v₄. Do wierzchołka v₁ nie dochodzą krawędzie z wierzchołków v₁ i v₃.

 

Aby sprawdzić, czy w grafie dane dwa wierzchołki v_i  i v_j  są połączone krawędzią, sprawdzamy, czy komórka A[i,j] zawiera wartość 1. Jeśli tak, to dana krawędź istnieje. Zwróć uwagę, że operację tę można wykonać w czasie stałym, zatem dla macierzy sąsiedztwa sprawdzenie połączenia wierzchołków krawędzią ma klasę złożoności obliczeniowej równą O(1). Wadą jest klasa zajętość pamięci równa O(n²), gdzie n  oznacza liczbę wierzchołków w grafie. Z drugiej strony komórki macierzy mogą być pojedynczymi bitami.

 

Z macierzy sąsiedztwa można odczytać wiele pożytecznych informacje. Oto niektóre z nich:

• Dla grafu nieskierowanego: stopień wierzchołka v_i  wyznaczamy, zliczając w i-tym wierszu lub i-tej kolumnie liczbę komórek o wartości 1.
• Dla grafu skierowanego: stopień wychodzący wierzchołka v_i  wyznaczymy przez zliczenie komórek o wartości 1 w i-tym wierszu, stopień wchodzący wierzchołka v_i  wyznaczymy przez zliczenie komórek o wartości 1 w i-tej kolumnie.
• Sąsiedzi wierzchołka v_i  to te wierzchołki grafu, do których prowadzą krawędzie z v_i, a znajdziemy je przeglądając wiersz i-ty.
• Wierzchołki, dla których v_i  jest sąsiadem, to te, od których prowadzą krawędzie do v_i, a znajdziemy je przeglądając kolumnę i-tą.
• Wierzchołek v_i  jest izolowany, jeśli wiersz i-ty i kolumna i-ta zawiera same zera. Dla grafu nieskierowanego wystarczy sprawdzić tylko wiersz lub tylko kolumnę (dlaczego?).
• Wierzchołek v_i  posiada pętlę, jeśli komórka A[i,i] ma wartość 1 (dlaczego?).
• W grafie skierowanym wierzchołki v_i  i v_j  są połączone krawędzią dwukierunkową, jeśli jednocześnie komórki A[i,j] oraz A[j,i] mają wartość 1 (dlaczego?).

Dane do ćwiczenia

1. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkich jego sąsiadów.
2. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkie wierzchołki, dla których jest on sąsiadem..
3. Napisz program, który dla danego grafu nieskierowanego wyznaczy stopnie wszystkich wierzchołków. Uważaj na pętle!
4. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy stopnie wychodzące i wchodzące wszystkich wierzchołków.
5. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy wszystkie pętle, krawędzie dwukierunkowe oraz wierzchołki izolowane.

Do reprezentacji grafu wykorzystujemy tablicę n  elementową A, gdzie n  oznacza liczbę wierzchołków. Każdy element tej tablicy jest listą. Lista reprezentuje wierzchołek startowy. Na liście są przechowywane numery wierzchołków końcowych, czyli sąsiadów wierzchołka startowego, z którymi jest on połączony krawędzią. Tablica ta nosi nazwę list sąsiedztwa (ang. adjacency lists).

Przykład:

 

W przypadku grafu nieskierowanego listy są dłuższe, ponieważ muszą odzwierciedlać krawędzie biegnące w obu kierunkach.

Przykład:

 

Listy sąsiedztwa są efektywnym pamięciowo sposobem reprezentacji grafu w pamięci komputera, ponieważ zajmują pamięć rzędu O(m), gdzie m  oznacza liczbę krawędzi grafu. Listy sąsiedztwa pozwalają w prosty sposób reprezentować pętle oraz krawędzie wielokrotne, co sprawia, że są bardzo chętnie stosowane w algorytmach grafowych.

Oto kilka podstawowych operacji na listach sąsiedztwa:

• Dla grafu nieskierowanego: stopień wierzchołka v_i  jest równy liczbie elementów na liście A[i].
• Dla grafu skierowanego: stopień wychodzący wierzchołka v_i  jest równy liczbie elementów na liście A[i], stopień wchodzący wierzchołka v_i  jest równy liczbie elementów o wartości i  we wszystkich listach sąsiedztwa..
• Sąsiedzi wierzchołka v_i  są określeni przez kolejne elementy listy A[i]..
• Wierzchołki, dla których v_i  jest sąsiadem, znajdziemy szukając na listach elementu o wartości i.
• Wierzchołek v_i  jest izolowany, jeśli lista A[i] jest pusta.
• Wierzchołek v_i  posiada pętlę, jeśli na liście A[i] znajduje się element o wartości i.
• W grafie skierowanym wierzchołki v_i  i v_j  są połączone krawędzią dwukierunkową, jeśli lista A[i] zawiera element o wartości j, a lista A[j] zawiera element o wartości i.

Dane do ćwiczenia

1. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkie wierzchołki, dla których jest on sąsiadem..
2. Napisz program, który dla danego grafu nieskierowanego wyznaczy stopnie wszystkich wierzchołków. Uważaj na pętle!
3. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy stopnie wychodzące i wchodzące wszystkich wierzchołków.
4. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy wszystkie pętle, krawędzie dwukierunkowe oraz wierzchołki izolowane.