Informatyka dla klas II

Heron z Aleksandrii był greckim matematykiem, fizykiem, mechanikiem, wynalazcą oraz konstruktorem. Jednym z jego licznych osiągnięć jest tzw. wzór Herona, który pozwala obliczyć pole dowolnego trójkąta, jeśli znamy długości jego boków.

Mamy dany dowolny trójkąt o bokach równych a, b  i c:

Obliczamy parametr p  równy połowie obwodu tego trójkąta:

Aby obliczyć pole tego trójkąta, stosujemy wzór Herona:

Poniższy program oblicza pole trójkąta o znanych długościach boków:
Przykładowe dane dla programu:

a = 1
b = 1
c = 1.4142   (wpisując c, zwróć uwagę na wpisanie kropki po 1, a nie przecinka!)

S = 0.5000

Program będzie napisany na lekcji

Często trójkąt będzie zadany współrzędnymi wierzchołków A, B i C.

Danymi wejściowymi będą współrzędne wierzchołków:

dla wierzchołka A:  x_A, y_A
dla wierzchołka B:  x_B, y_B
dla wierzchołka C:  x_C, y_C

Aby rozwiązać to zadanie, policzymy odległość pomiędzy dwoma punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej:

Poprowadźmy prostą równoległą do osi OX, aby przechodziła przez punkt A, oraz prostą równoległą do osi OY, aby przechodziła przez punkt B:

Proste te wyznaczą nam trójkąt prostokątny:

W trójkącie prostokątnym obowiązuje twierdzenie Pitagorasa:

Zatem poszukiwany bok c możemy wyliczyć ze wzoru:

Aby rozwiązać ten nowy problem, wyznaczymy długości odcinków a  i b. W tym celu rzutujemy prostopadle punkty A i B na osie OX i OY:

Na osiach otrzymamy współrzędne tych punktów: A (x_A,y_A) i B (x_B,y_B). Poszukiwane długości są długościami przedziałów a: (x_A,x_B)  i b (y_A,y_B). Długość przedziału obliczamy, odejmując od jego końca początek. Zatem:

Odległości te wstawiamy do wzoru na długość odcinka c, otrzymując ostatecznie:

W przypadku naszego trójkąta należy obliczyć odległości pomiędzy wierzchołkami:

Obliczenia te będą wymagały trzykrotnego zastosowania wzoru na odległość pomiędzy dwoma punktami. Powtarzające się obliczenia lepiej umieścić w funkcji. Znamy już jedną funkcję - main(). Programista może tworzyć w programie swoje własne funkcje. Funkcja jest fragmentem programu, który można wielokrotnie wykorzystywać. Funkcja musi być zdefiniowana przed jej pierwszym użyciem w programie. Definicja funkcji w języku C++ wygląda następująco:

typ_wyniku nazwa(argumenty)
{
    treść_funkcji

    return wartość_zwracana;
}

Funkcję wywołujemy w programie poprzez jej nazwę, za którą w nawiasach umieszczamy listę argumentów:

// Przykład użycia funkcji w C++
// (C)2014 I LO w Tarnowie
//------------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

double suma2(a : double, b : double)
{
  return 2 * (a + b);
}

int main()
{
  cout << suma2(3.5,17) << endl
       << suma2(2,1.75) << endl;
  return 0;
}

Poniższy program odczytuje współrzędne trzech wierzchołków, oblicza odległości pomiędzy nimi i na tej podstawie wylicza pole trójkąta zdefiniowanego przez te wierzchołki.

Dane wejściowe dla programu:

xa = 1
ya = 1

xb = 2
yb = 1

xc = 1
yc = 2

S = 0.5000

Program będzie napisany na lekcji

Na koniec dodamy do programu test na trójkąt prostokątny. Jeśli trójkąt jest trójkątem prostokątnym, to powinien spełniać jeden z warunków:

Dlaczego jeden z trzech, a nie pierwszy? Otóż nie wiemy, które z boków a, b i c są przyprostokątnymi i przeciwprostokątną. Dlatego musimy przetestować wszystkie trzy możliwości. Wystarczy, że jedna z nich będzie spełniona, aby trójkąt był prostokątny. Pamiętamy jednakże, iż liczb zmiennoprzecinkowych NIE WOLNO przyrównywać do siebie. Dlatego będziemy badać ich różnice:

Program będzie napisany na lekcji