Zrozumienie pojęcia logarytmów wymaga zrozumienia operacji potęgowania. Potęgi całkowite dodatnie można prosto wyrazić za pomocą operacji mnożenia. Na przykład dla liczby 2 otrzymamy:

 

 

Potęgi ujemne wyrażamy przez dzielenia:

 

 

Dopiszmy do tego jeszcze następujące potęgi:

 

 

Powyższe wzory możemy zapisać ogólnie dla liczby a, która jest różna od zera oraz liczby naturalnej n:

 

 

Liczbę a  będziemy nazywali podstawą, a liczbę n  wykładnikiem potęgi.

Bezpośrednio z powyższych wzorów dostajemy podstawowe własności potęg:

 

 

Mnożenie potęg o tych samych podstawach jest równe potędze tej samej podstawy o wykładniku równym sumie wykładników mnożonych potęg. Brzmi zawile, ale do zapamiętania jest prosty wzór:

 

Z powyższego wynika, że:

 

 

Wprowadźmy teraz wykładniki wymierne. Na przykład:

 

 

Co to za liczba? Załóżmy, że wykładniki wymierne spełniają wzór na mnożenie potęg:

 

 

Jaka liczba pomnożona przez samą siebie daje inną liczbę? Oczywiście pierwiastek kwadratowy:

 

i analogicznie:

 

Zapiszmy to ogólnie:

 

 

A ile to będzie:

 

 

Postępujemy podobnie jak z pierwiastkiem kwadratowym:

 

 

i ogólnie:

 

A jak policzyć potęgę:

 

 

W taki sam sposób, jak dotychczas. Ułamek w wykładniku rozbijamy na sumę ułamków i wykonujemy odpowiednie działania, pamiętając, że suma w wykładniku odpowiada iloczynowi potęg:

 

 

Zapiszmy to ogólnie:

 

 

Teraz możemy przejść do logarytmów.

Logarytm z liczby x przy podstawie a jest wykładnikiem potęgowym, do którego należy podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę x.

 

 Brzmi zawile, lecz jest bardzo proste (po wyuczeniu się). Na przykład, ile wynosi:

 

 

Zapytajmy inaczej. Do jakiej potęgi należy podnieść 2, aby otrzymać 8?

 

 

Odpowiedź brzmi 3:

 

 

No i obliczyłeś logarytm przy podstawie 2 z liczby 8:

 

 

Podobnie:

 

Zapiszmy ogólnie:

 

 

Dla nabycia wprawy oblicz wartość następujących logarytmów:

 

 

Logarytmy odkrył szkocki matematyk John Napier w 1614 roku. Chodziło mu głównie o uproszczenie sprowadzenie operacji mnożenia do dodawania. Okazało się, że logarytmy to umożliwiają. Czemu jest równa wartość wyrażenia:

 

 

Zapiszmy to tak:

 

 

Otrzymaliśmy wykładnik d będący sumą wykładników b i c. Jeśli podstawa wynosi a, to wykładnik ten określa potęgę:

 

 

Czyli:

 

 

Wynika z tego prosty wniosek: suma logarytmów dwóch liczb jest równa logarytmowi iloczynu tych liczb.

A czemu jest równa różnica logarytmów:

 

 

Postępujemy podobnie:

 

 

Widzimy zatem, że różnica logarytmów jest równa logarytmowi ilorazu tych liczb.

Właśnie ten fakt zauważył Napier i wykorzystał do uproszczenia mnożenia i dzielenia. Załóżmy, że mamy policzone tablice logarytmów przy podstawie 2 potęg liczby 2:

 

 

Chcemy policzyć iloczyn 8192 x 131072. Z tablicy szybko odczytujemy:

log₂8192 = 13
log₂131072=17

Dodajemy te logarytmy:

13+17=30

W tablicy szukamy logarytmu o wartości 30 i otrzymujemy, że jest to logarytm liczby 1073741824. Liczba ta jest iloczynem dwóch pierwszych liczb, tzn:

8192 x 131072 = 1073741824

 

Ze wzorów na dodawanie i odejmowanie logarytmów wynikają ich własności:

 

 

Wyprowadźmy jeszcze jeden ważny wzór, który pozwoli nam przeliczać logarytmy z jednej podstawy na inną. Problem jest następujący: