Potrzeba liczenia pojawiła się wraz z posiadaniem przedmiotów. Człowiek pierwotny nie odczuwał jej. Jako myśliwy nie mógł posiadać zbyt wiele. Rzeczy należało przenosić, więc jeśli czegoś było za dużo, po prostu pozostawiano to w miejscu obozowania. Duża liczba przedmiotów spowalniała myśliwego. Co za tym idzie, malały jego szanse na zdobycie pożywienia, a mógł również przez to sam stać się ofiarą. Jednak pewien prosty system liczenia pojawił się około 30.000 lat p.n.e. Był to system karbowy (ang. notch system). Polegał na żłobieniu w kościach karbów, których ilość oznaczała określoną liczbę. System ten stosowany jest w ograniczonej formie do dnia dzisiejszego, więc można go nazwać najdłużej używanym wynalazkiem człowieka.

 

 

Początkowo dla wyrażenia jednostek stosowano pojedyncze kreski. Np. liczbę 18 zapisywano tak:

 

Jednak zapis ten jest mało czytelny - porównaj go z zapisem np. liczby 17 czy 19. Można się pomylić? Oczywiście. Aby więc zwiększyć czytelność zapisu liczb co piątą kreskę stawiano pod innym katem od pozostałych. Teraz liczbę 18 zapisywano tak:

 

Ilość kresek (karbów) jest taka sama, ale dzięki zaburzeniom łatwiej jest się zorientować w wartości liczby - są to trzy pełne piątki i trzy jednostki. Człowiek pierwotny, jeśli miał nazwy dla liczb, mógł to przeczytać jako trzy razy po pięć i trzy. Jeśli w liczbie tak zapisanej występowało dużo piątek, to co drugą piątkę zapisywano jeszcze inaczej, mianowicie tak:

System karbowy wyewoluował w znany nam dzisiaj system rzymski (ang. Roman numeral system). Rzymianie, jako ludzie praktyczni, uprościli zapis karbowy odrzucając niepotrzebne kreski po lewej stronie. W efekcie zapis liczby 18 wyglądał teraz tak:

 

 

Pięknie - Rzymianie też byli z tego zadowoleni. Idąc za ciosem wymyślili dalsze reguły. Reguły te możemy zapisać następująco:

1. Liczby zapisujemy jako sumę cyfr o następujących wartościach:

Cyfra	wartość
I	jeden
V	pięć
X	dziesięć
L	pięćdziesiąt
C	sto od łacińskiego "centum"
D	pięćset
M	tysiąc od łacińskiego "milum"

2. Cyfry wypisujemy od strony lewej do prawej poczynając od największej.
   Teraz można już zapisywać w zgrabny sposób różne liczby:

12	– XII
29	– XXVIIII
1999	– MDCCCCLXXXXVIIII

3. Jeśli przed cyfrą starszą stoi cyfra młodsza, to należy ją odjąć od starszej.
   Rzymianom nie podobało się, iż muszą zapisywać liczbę 4 jako IIII, liczbę 9 jako VIIII itd. Wprowadzili więc pozorne uproszczenie systemu, czyli regułę 3. Teraz prościej można przedstawiać powyższe liczby:

4	– IV
9	– IX
1999	– MCMXCIX

O ile przedtem dodawanie można było wykonywać przez wspólne zapisanie cyfr obu dodawanych liczb, a następnie zastąpienie cyfr niższych wyższymi: 

MMCCCXXVI + MDCCXXVII = MMMDCCCCCXXXXVVIII = MMMDDXXXXXIII = MMMMLIII

to po zastosowaniu reguły 3 należało szalenie uważać, aby nie popełnić pomyłki. W rezultacie uproszczenie zapisu spowodowało skomplikowanie rachunków.

4. Jeśli nad cyfrą umieszczono kreskę, to cyfra ta oznaczała liczbę tysięcy.
   Reguła ta pozwala zapisywać względnie duże liczby bez konieczności pisania wielu cyfr M. Na przykład liczbę 36.984 rzymski rachmistrz zapisywał następująco:

XXXVICMLXXXIV

 

Zgrabnie, nieprawdaż? Rzymianie byli naprawdę bardzo dumni ze swojego systemu zapisu liczb. Przetrwał on w ograniczonej formie nawet do dzisiaj przy zapisie dat lub numeracji rozdziałów, klas, sal, pięter, godzin itp. Jednak pomimo tych usprawnień system rzymski był ograniczony. Jak bowiem zapisać w tym systemie na przykład taką liczbę:

 

9426164130947320732385384038740846725325161632379864930747364030384752621 ?

Cywilizacja babilońska rozkwitła w Mezopotamii wypierając wcześniejsze cywilizacje Sumerów i Akadyjczyków. Piętno Babilonu odcisnęło się na wielu cywilizacjach świata starożytnego, a jego echo jest obecne nawet w naszej kulturze. Babilończycy rozwinęli jako pierwsi system pozycyjny o podstawie 60 (do dzisiaj dzielimy godziny na sześćdziesiąt minut, minuty na sześćdziesiąt sekund - czy kiedykolwiek zastanawiałeś się dlaczego?). Cechą systemu pozycyjnego jest ograniczona ilość cyfr. Te same cyfry są używane wielokrotnie w zapisie liczby. Wartość cyfry zależy od jej pozycji - stąd nazwa system pozycyjny.

Z naszego punktu widzenia system babiloński (ang. Babylonian numeral system) na pierwszy rzut oka może wydawać się skomplikowany - konieczność operowania aż 59 cyframi (cyfra zero nie była jeszcze znana ani stosowana). W rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla jedności i dla dziesiątek. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków zapisywanych końcem ostrej trzcinki na tabliczce glinianej, stąd pochodzi charakterystyczny, klinowy kształt pisma:

 

 

Dlaczego wybrano podstawę 60? Prawdopodobnie zadecydowało to, że liczbę 60 można podzielić przez 2,3,4,5,6,10,12,15,20 i 30. System liczbowy o podstawie 60 nazywamy systemem sześćdziesiątkowym (ang. sexagesimal system).

W systemie babilońskim ostatnia cyfra oznaczała liczbę jednostek od 1 do 59. Gdy Babilończyk chciał zapisać liczbę 65, to używał dwóch cyfr (tak samo jak my przy zapisie liczby 15). Pierwsza cyfra 1 oznaczała jedną sześćdziesiątkę. Druga cyfra 5 oznaczała 5 jednostek:

 

 

Babilończycy nie używali cyfry 0. Zamiast niej po prostu zostawiano puste miejsce w zapisie liczby. Odpowiada to interpretacji zera przez ludy starożytne. Po prostu zero nie było traktowane jako liczba, ponieważ liczba określa ilość czegoś, a jeśli czegoś nie ma, to nie można mówić o ilości. Przecież rybak, który nie złowił żadnej ryby, nie przychodził do domu wołając radośnie od progu "mam zero ryb!". Problem z pustym miejscem mógł się pojawiać, gdy w zapisie liczby dwie pozycje obok siebie były niezajęte. W późniejszym okresie Babilończycy wprowadzili w tym celu znak wypełniający, jednakże nie traktowali go nigdy jako cyfry.

Jeśli cyfr było więcej, to posiadały one wagi, które są kolejnymi potęgami liczby 60 – podstawy tego systemu:

 

Wartość liczby uzyskamy mnożąc wagi pozycji przez wartości cyfr, które na tych pozycjach występują, a następnie sumując te iloczyny. Zwróć uwagę, że waga pozycji jest zawsze równa podstawie systemu podniesionej do potęgi równej numerowi pozycji.

 

 

Zauważ, że system babiloński pozwala bez problemu zapisywać dowolnie duże liczby (jakie wagi miałaby pozycje o numerach 4, 5, 6?). Jest zatem lepszy od systemu rzymskiego.

System zapisu liczb, którym posługujemy się dzisiaj, nosi nazwę systemu dziesiętnego (ang. decimal numeral system) lub systemu arabskiego (ang. Arabic numeral system). Nazwa sugeruje, iż został on wynaleziony przez Arabów. Tymczasem prawda jest inna. Arabowie przejęli go od Hindusów i rozpowszechnili w Europie. To uczonym bramińskim przysługuje palma pierwszeństwa w opracowaniu zapisu pozycyjnego. Pierre-Simon Laplace (1749-1827), wielki matematyk francuski, napisał kiedyś następujące słowa:

 

 

Ciekawostką jest to, iż system dziesiętny został powszechnie przyjęty dopiero po ponad 200 latach od pojawienia się w Europie. Wcześniej powszechnie korzystano z systemu rzymskiego. Wykonywanie rachunków w systemie rzymskim było bardzo skomplikowane i wymagało studiów matematycznych. Matematycy, uważając sie za elitę, nie chcieli utracić swojej uprzywilejowanej pozycji na rzecz nowego systemu, w którym rachunki mogły wykonywać nawet dzieci. Ludzie nie zawsze przyjmują z entuzjazmem to, co jest lepsze.

Podstawę systemu dziesiętnego (ang. decimal system base) tworzy liczba 10. Jest to specjalna wartość charakteryzująca system pozycyjny, od której bierze on swoją nazwę: podstawa 10 - system dziesiętny.

Zapis liczby tworzymy za pomocą cyfr, czyli umownych znaków o przypisanych wartościach od 0 do 9. Ilość cyfr jest zawsze równa podstawie systemu, czyli w systemie dziesiętnym będzie ich dziesięć. Największa cyfra jest o 1 mniejsza od podstawy (9 = 10 - 1).

Cyfry umieszczamy na kolejnych pozycjach. Każda pozycja posiada swoją wartość, którą nazywamy wagą pozycji. Wagi pozycji są kolejnymi potęgami podstawy systemu, czyli w systemie dziesiętnym są to kolejne potęgi liczby 10:

 

wagi	1000 103	100 102	10 101	1 100
cyfry	7	5	8	2
pozycje	3	2	1	0

 

Cyfra na danej pozycji określa ile razy należy wziąć wagę tej pozycji przy wyznaczaniu wartości całej liczby. Zatem w naszym przykładzie waga 1000 występuje 7 razy, waga 100 - 5 razy, waga 10 - 8 razy i waga 1 - 2 razy. Wartość liczby otrzymujemy sumując iloczyny cyfr przez wagi pozycji, na których cyfry te występują (czyli ilości tych wag):

 

 

Jeśli pozycje ponumerujemy kolejno od 0 poczynając od prawej strony zapisu liczby, to waga pozycji i-tej będzie i-tą potęgą podstawy systemu. Np. pozycja nr 3 ma wagę 10³, czyli 1000, a pozycja nr 2 ma wagę 10², czyli 100.

 

Podane powyżej zasady obowiązują w każdym systemie pozycyjnym.

 

Z matematycznego punktu widzenia system dziesiętny nie jest wyróżnionym systemem zapisu liczb. Stosowany jest zapewne z uwagi na posiadanie dziesięciu palców, które w początkowym etapie nauki pełnią rolę swoistego komputera. Z drugiej strony dzieci uczą się liczb zapisywanych właśnie w tym systemie, dlatego zwykle pod pojęciem liczby rozumiemy jej zapis dziesiętny.

Aby zrozumieć inne systemy pozycyjne należy przyjąć do wiadomości, iż wartość liczby jest niezależna od sposobu jej zapisu. Dla przykładu weźmy pojęcie DOM, które w języku niemieckim zapisuje się DAS HAUS, w angielskim THE HOUSE, a w hiszpańskim LA CASA. Zapis za każdym razem jest inny, lecz znaczenie ma to samo. Przyjmijmy do wiadomości, iż inne systemy pozycyjne, to jakby inne języki, w których daną liczbę wyraża się inaczej niż w naszym systemie dziesiętnym, ale wartość liczby pozostaje taka sama.

Podane w poprzednim rozdziale zasady obowiązują w każdym systemie pozycyjnym o dowolnej podstawie. Jeśli je zrozumiesz, systemy pozycyjne przestaną być dla ciebie tajemnicą.

Oto charakterystyka dowolnego systemu pozycyjnego:

Niech podstawą będzie liczba naturalna p większa od 1 (dla p = 1 system pozycyjny degraduje się do systemu karbowego).

System posiada p cyfr: 0,1,2, ..., (p - 1). Ostatnia cyfra jest zawsze o 1 mniejsza niż podstawa p.

Kolejne wagi pozycji będą przyjmowały wartość kolejnych potęg podstawy systemu:

 

 

Wynika stąd prosty wniosek, iż waga każdej następnej pozycji jest p-razy większa od wagi poprzedniej pozycji.

 

Przykład:

 

Wagi 4 pozycji w różnych systemach liczbowych
Podstawa p	Wartości wag pozycji
	pozycja 4	pozycja 3	pozycja 2	pozycja 1	pozycja 0
2	24 = 16	23 = 8	22 = 4	21 = 2	20 = 1
3	34 = 81	33 = 27	32 = 9	31 = 3	30 = 1
4	44 = 256	43 = 64	42 = 16	41 = 4	40 = 1
5	54 = 625	53 = 125	52 = 25	51 = 5	50 = 1
6	64 = 1296	63 = 216	62 = 36	61 = 6	60 = 1
7	74 = 2401	73 = 343	72 = 49	71 = 7	70 = 1
8	84 = 4096	83 = 512	82 = 64	81 = 8	80 = 1
9	94 = 6561	93 = 729	92 = 81	91 = 9	90 = 1
10	104 = 10000	103 = 1000	102 = 100	101 = 10	100 = 1

 

Zwróć uwagę na ostatnią kolumnę. Wynika z niej, iż waga ostatniej pozycji w każdym systemie pozycyjnym jest taka sama i określa liczbę jednostek.

Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez wagi ich pozycji. Stąd otrzymujemy wzór na wartość liczby w dowolnym systemie pozycyjnym.

 

Ponieważ z doświadczenia wiem, iż uczniowie nie bardzo rozumieją ten prosty wzór, podaję krok po kroku metodę obliczania wartości liczby zapisanej w dowolnym systemie pozycyjnym.

 

Przykład:

Obliczyć wartość dziesiętną liczby szóstkowej 53214₍₆₎.

1. Ponad cyframi wypisujemy wagi pozycji, pamiętając, iż pozycje numerujemy od 0 z prawa na lewo. Wagi są kolejnymi potęgami podstawy systemu. Waga danej pozycji jest zawsze równa podstawie podniesionej do potęgi o wartości numeru pozycji.

wartość wagi	64	63	62	61	60
wartość cyfry	5	3	2	1	4
numer pozycji	4	3	2	1	0

2. Tworzymy sumę iloczynów cyfr przez wagi ich pozycji

wartość wagi	64	63	62	61	60
wartość cyfry	5	3	2	1	4	= 5 × 64 + 3 × 63 + 2 × 62 + 1 × 61 + 4 × 60
numer pozycji	4	3	2	1	0

3. Wyliczamy wagi kolejnych pozycji

wartość wagi	64	63	62	61	60
wartość cyfry	5	3	2	1	4	= 5 × 1296 + 3 × 216 + 2 × 36 + 1 × 6 + 4 × 1
numer pozycji	4	3	2	1	0

4. Obliczamy iloczyny cyfr przez wagi pozycji

wartość wagi	64	63	62	61	60
wartość cyfry	5	3	2	1	4	= 6480 + 648 + 72 + 6 + 4
numer pozycji	4	3	2	1	0

5. Sumujemy iloczyny i otrzymujemy wartość liczby

wartość wagi	64	63	62	61	60
wartość cyfry	5	3	2	1	4	= 7210
numer pozycji	4	3	2	1	0

 

I ostatecznie piszemy 53214₍₆₎ = 7210₍₁₀₎. Jeśli operujemy liczbami zapisanymi w różnych systemach pozycyjnych, to w celu uniknięcia niejednoznaczności liczbę opatrujemy indeksem dolnym, w którym umieszczamy wartość podstawy systemu zapisu danej liczby. Powyższa równość oznacza, iż zapis szóstkowy i dziesiętny oznacza tę samą liczbę.

Problem sprowadza się do znalezienia kolejnych cyfr zapisu liczby w systemie docelowym. Wartość liczby L jest równa zgodnie ze wzorem:

 

 

Do wydobycia poszczególnych cyfr C_i , i = 0,1,2,...,n-1, są nam potrzebne dwa działania:

• div - dzielenie całkowitoliczbowe - określa ile całkowitą ilość razy dzielnik mieści się w dzielnej, na przykład:
  9 div 4 = 2, gdyż 4 mieści się w 9 2 razy.
• mod - reszta z dzielenia całkowitoliczbowego, na przykład:
  9 mod 4 = 1, gdyż 4 mieści się w 9 dwa razy, co daje 8 i pozostaje reszta 1.
  Reszta z dzielenia jest zawsze mniejsza od dzielnika (dlaczego?).

Jeśli podzielimy L przez p, otrzymamy:

 

 

Ostatnia cyfra C₀ nie dzieli się przez p (każda cyfra jest  mniejsza od podstawy systemu), zatem będzie resztą z dzielenia całkowitoliczbowego L przez p. Pozostała część wyrażenia jest jak widać podzielna przez p. Zauważ, iż w wyniku dostajemy liczbę z mniejszą ilością cyfr. W porównaniu z poprzednią liczbą wszystkie cyfry są przesunięte o 1 pozycję w prawo - teraz najmłodszą cyfrą jest C₁. Operację powyższą powtarzamy aż do znalezienia wszystkich cyfr zapisu liczby.

 

Przykład:

 

Praktycznie działania te wykonujemy w słupku, dzieląc całkowitoliczbowo liczbę przez podstawę systemu i wypisując reszty z dzielenia. Gdy rachunki zakończymy, otrzymane reszty odczytujemy w kierunku z dołu do góry, otrzymując kolejne cyfry zapisu liczby.

 

Przykłady:

System binarny jest mało czytelny dla człowieka i łatwo się nam w nim pomylić i pogubić. Na przykład dwa ciągi binarne:

 

 

różnią się tylko jednym bitem. Czy możesz go od razu wskazać?

Programując komputery często mamy do czynienia z wartościami binarnymi. Aby uprościć ich zapis wykorzystuje się dwa systemy zastępcze - ósemkowy oraz szesnastkowy. Wybór tych systemów jest podyktowany tym, iż są one bardziej czytelne dla człowieka od systemu binarnego oraz w bardzo prosty sposób można przeliczać liczby binarne na system ósemkowy i szesnastkowy (8 = 2³, 16 = 2⁴ – podstawy 2, 8 i 16 są ze sobą powiązane).

 

Konwersja dwójkowo - ósemkowa

Liczbę binarną (lub ogólniej dowolny kod binarny) można wyrazić w systemie ósemkowym. Do konwersji niezbędna nam jest poniższa tabela (sugeruję wyuczenie się jej na pamięć), w której wartości cyfr ósemkowych wyrażone są w naturalnym kodzie binarnym.

Tabelka konwersji dwójkowo ósemkowej
cyfra ósemkowa	wartość dwójkowa
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Zasada konwersji dwójkowo ósemkowej jest następująca. Liczbę binarną (kod binarny) rozdzielamy na grupy 3 bitowe, idąc od strony prawej ku lewej. Jeśli w ostatniej grupie jest mniej bitów, to brakujące bity uzupełniamy zerami. Teraz każdą z 3 bitowych grup zastępujemy cyfrą ósemkową zgodnie z tabelką konwersji. W wyniku otrzymujemy liczbę ósemkową o identycznej wartości jak wyjściowa liczba binarna.

 

Przykład:

Konwertujemy liczbę dwójkową na ósemkową: 1110101000101010111101010101  001   110   101   000   101   010   111   101   010   101  1 6 5 0 5 2 7 5 2 5   1110101000101010111101010101(2) = 1650527525(8)

Zwrocie uwagę na fakt, iż zapis ósemkowy jest dla nas o wiele bardziej czytelny od zapisu dwójkowego. Ambitnym uczniom proponuję sprawdzenie, iż wartości obu liczb są identyczne.

Konwersja w drugą stronę jest jeszcze prostsza. Każdą cyfrę ósemkową zastępujemy grupą 3 bitów wg tabelki konwersji. Grupy łączymy w jedną liczbę binarną.

 

Przykład:

Konwertujemy liczbę ósemkową na dwójkową:

 

Konwersja dwójkowo - szesnastkowa

W podobny sposób do opisanej powyżej konwersji dwójkowo ósemkowej wykonujemy konwersję dwójkowo szesnastkową. Znów potrzebujemy tabelkę konwersji, w której cyfry szesnastkowe są przeliczone na system dwójkowy:

Tabelka konwersji dwójkowo szesnastkowej
cyfra szesnastkowa	wartość dwójkowa
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Liczbę dwójkową dzielimy na grupy 4-ro bitowe idąc od strony prawej ku lewej. Jeśli w ostatniej grupie jest mniej bitów, to brakujące wypełniamy zerami. Następnie każdą grupę bitów zastępujemy jedną cyfrą szesnastkową zgodnie z tabelką konwersji.

 

Przykład:

Konwertujemy liczbę dwójkową na szesnastkową: 1110101000101010111101010101  1110   1010   0010   1010   1111   0101   0101  E A 2 A F 5 5   1110101000101010111101010101(2) = EA2AF55(16).

Konwersja w drugą stronę jest następująca:

Każdą cyfrę szesnastkową zastępujemy grupą 4 bitów wg tabelki konwersji. Grupy łączymy w całość, otrzymując odpowiednik dwójkowy wyjściowej liczby szesnastkowej.

 

Przykład:

Konwertujemy liczbę szesnastkową na dwójkową: 3FAC72608D 3 F A C 7 2 6 0 8 D 0011 1111 1010 1100 0111 0010 0110 0000 1000 1101   3FAC72608D(16) = 11111110101100011100100110000010001101(2)

Zapis szesnastkowy w pewnym sensie jest lepszy od ósemkowego, ponieważ lepiej pasuje do opisu zawartości komórek pamięci komputera. Komórka pamięci zbudowana jest z 8 bitów, zatem jej zawartość przekłada się zawsze na dwucyfrową liczbę szesnastkową (w zapisie ósemkowym są to 3 cyfry, z których najstarsza może przyjąć jedynie wartości od 0 do 3).