Klasa II - Wzór Herona

Heron z Aleksandrii był greckim matematykiem, fizykiem, mechanikiem, wynalazcą oraz konstruktorem. Jednym z jego licznych osiągnięć jest tzw. wzór Herona, który pozwala obliczyć pole dowolnego trójkąta, jeśli znamy długości jego boków.

Mamy dany dowolny trójkąt o bokach równych a, b i c:

obrazek

Obliczamy parametr p równy połowie obwodu tego trójkąta:

obrazek

Aby obliczyć pole tego trójkąta, stosujemy wzór Herona:

obrazek

Poniższy program oblicza pole trójkąta o znanych długościach boków:
Przykładowe dane dla programu:

a = 1
b = 1
c = 1.4142 (wpisując c, zwróć uwagę na wpisanie kropki po 1, a nie przecinka!)

S = 0.5000

Program będzie napisany na lekcji

Często trójkąt będzie zadany współrzędnymi wierzchołków A, B i C.

Danymi wejściowymi będą współrzędne wierzchołków:

dla wierzchołka A: x_A, y_Adla wierzchołka B: x_B, y_Bdla wierzchołka C: x_C, y_C

Aby rozwiązać to zadanie, policzymy odległość pomiędzy dwoma punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej:

Poprowadźmy prostą równoległą do osi OX, aby przechodziła przez punkt A, oraz prostą równoległą do osi OY, aby przechodziła przez punkt B:

Proste te wyznaczą nam trójkąt prostokątny:

W trójkącie prostokątnym obowiązuje twierdzenie Pitagorasa:

Zatem poszukiwany bok c możemy wyliczyć ze wzoru:

Aby rozwiązać ten nowy problem, wyznaczymy długości odcinków a i b. W tym celu rzutujemy prostopadle punkty A i B na osie OX i OY:

Na osiach otrzymamy współrzędne tych punktów: A (x_A,y_A) i B (x_B,y_B). Poszukiwane długości są długościami przedziałów a: (x_A,x_B) i b (y_A,y_B). Długość przedziału obliczamy, odejmując od jego końca początek. Zatem:

Odległości te wstawiamy do wzoru na długość odcinka c, otrzymując ostatecznie:

W przypadku naszego trójkąta należy obliczyć odległości pomiędzy wierzchołkami:

Obliczenia te będą wymagały trzykrotnego zastosowania wzoru na odległość pomiędzy dwoma punktami. Powtarzające się obliczenia lepiej umieścić w funkcji. Znamy już jedną funkcję - main(). Programista może tworzyć w programie swoje własne funkcje. Funkcja jest fragmentem programu, który można wielokrotnie wykorzystywać. Definicja funkcji w języku C++ wygląda następująco:

typ_wyniku nazwa(argumenty)
{
treść_funkcji

return wartość_zwracana;
}

typ_wyniku	–	określa rodzaj informacji, którą funkcja zwraca. Może to być jeden ze znanych nam typów int, unsigned lub double.
nazwa	–	dowolna nazwa wymyślana przez programistę. Zasady tworzenia nazw funkcji są identyczne jak dla zmiennych. Nazwa umożliwia odwołanie się do funkcji w programie.
argumenty	–	informacja przekazywana do funkcji. Argumenty mają postać listy: typ nazwa, typ nazwa, ...
treść_funkcji	–	tutaj umieszczamy instrukcje C++, które są niezbędne do wykonania zadania realizowanego przez funkcję.
return wartość_zwracana	–	tutaj określamy, co funkcja zwraca jako swój wynik. Wartość zwracana jest dowolnym wyrażeniem. Komputer oblicza jego wartość i zwraca jako wynik działania funkcji.

Poniższy program odczytuje współrzędne trzech wierzchołków, oblicza odległości pomiędzy nimi i na tej podstawie wylicza pole trójkąta zdefiniowanego przez te wierzchołki.

Dane wejściowe dla programu:

obrazek

xa = 1
ya = 1

xb = 2
yb = 1

xc = 1
yc = 2

S = 0.5000

Program będzie napisany na lekcji

Na koniec dodamy do programu test na trójkąt prostokątny. Jeśli trójkąt jest trójkątem prostokątnym, to powinien spełniać jeden z warunków:

obrazek

Dlaczego jeden z trzech, a nie pierwszy? Otóż nie wiemy, które z boków a, b i c są przyprostokątnymi i przeciwprostokątną. Dlatego musimy przetestować wszystkie trzy możliwości. Wystarczy, że jedna z nich będzie spełniona, aby trójkąt był prostokątny. Pamiętamy jednakże, iż liczb zmiennoprzecinkowych NIE WOLNO przyrównywać do siebie. Dlatego będziemy badać ich różnice:

obrazek

Program będzie napisany na lekcji

Zadania

Zadanie nr 1

Przykładowe dane:

A(1,4) B(2,5) C(4,7)

Napisz program, który odczyta współrzędne trzech punktów A, B i C, a następnie sprawdzi, czy są one współliniowe. Jeśli tak, to program powinien wypisywać tekst "PUNKTY W LINII". Jeśli nie, program powinien wypisywać tekst "PUNKTY NIE W JEDNEJ LINII".

Zadanie nr 2

Przykładowe dane:

A(0,0) B(3,1) C(2,2)

Napisz program, który odczyta współrzędne trzech punktów A, B i C, a następnie sprawdzi, czy tworzą one trójkąt różnoboczny. Jeśli tak, to program powinien wypisywać tekst "TROJKAT ROZNOBOCZNY: TAK". Jeśli nie, program powinien wypisywać tekst "TROJKAT ROZNOBOCZNY: NIE".

Zadanie nr 3

Przykładowe dane:

A(0,1) B(1,0) C(2,1)

Napisz program, który odczyta współrzędne trzech punktów A, B i C, a następnie sprawdzi, czy są one trzema wierzchołkami kwadratu. Jeśli tak, to program powinien wypisywać tekst "KWADRAT". Jeśli nie, program powinien wypisywać tekst "PUNKTY NIE TWORZA KWADRATU".

Zadanie nr 4

Przykładowe dane:

A(1,4) B(2,3)

Napisz program, który odczyta współrzędne dwóch punktów A i B, a następnie obliczy ich odległość od prostej o równaniu y=x + 5 i wyświetli te wyniki.

Zadanie nr 5

Przykładowe dane:

A(1,4) B(2,1) C(3,5)

Napisz program, który odczyta współrzędne trzech punktów A, B i C, potraktuje je jako współrzędne wierzchołków trójkąta i obliczy wszystkie trzy wysokości tego trójkąta, wyświetlając je.

Informatyka dla klas II – wzór Herona

Zadania