Prezentowane materiały są przeznaczone dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych. Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek,  wersja1.0

©2010 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie

Pozycyjne systemy liczbowe

System Karbowy

Potrzeba liczenia pojawiła się wraz z posiadaniem przedmiotów. Człowiek pierwotny nie odczuwał jej. Jako myśliwy nie mógł posiadać zbyt wiele. Rzeczy należało przenosić, więc jeśli czegoś było za dużo, po prostu pozostawiano to w miejscu obozowania. Duża liczba przedmiotów spowalniała myśliwego, więc malały jego szanse na zdobycie pożywienia, a mógł również przez to sam stać się ofiarą. Jednak pewien prosty system liczenia pojawił się około 30.000 lat p.n.e. Był to system karbowy. Polegał on na żłobieniu w kościach karbów, których ilość oznaczała określoną liczbę. System ten stosowany jest w ograniczonej formie do dnia dzisiejszego, więc można go nazwać najdłużej używanym wynalazkiem człowieka.

Początkowo dla wyrażenia jednostek stosowano pojedyncze kreski. Np. liczbę 18 zapisywano tak:
 

I I I I I I I I I I I I I I I I I I
 

Jednak zapis ten jest mało czytelny - porównaj go z zapisem np. liczby 17 czy 19. Można się pomylić? Oczywiście. Aby więc zwiększyć czytelność zapisu liczb co piątą kreskę stawiano pod innym katem od pozostałych. Teraz liczbę 18 zapisywano tak:
 

I I I V I I I V I I I \/ I I I

Ilość kresek (karbów) jest taka sama, ale dzięki zaburzeniom łatwiej jest się zorientować w wartości liczby - są to trzy pełne piątki i trzy jednostki. Człowiek pierwotny, jeśli miał nazwy dla liczb, mógł to przeczytać jako trzy razy po pięć i trzy. Jeśli w liczbie tak zapisanej występowało dużo piątek, to co drugą piątkę zapisywano jeszcze inaczej, mianowicie tak:
 

I I I V I I I X I I I V I I I

System Rzymski

System karbowy wyewoluował w znany nam dzisiaj system rzymski. Rzymianie, jako ludzie praktyczni, uprościli zapis karbowy odrzucając niepotrzebne kreski po lewej stronie. W efekcie zapis liczby 18 wyglądał teraz tak:
 

XVIII
 

Pięknie - Rzymianie też byli z tego zadowoleni. Idąc za ciosem wymyślili dalsze reguły. Reguły te możemy zapisać następująco:
 

1. Liczby zapisujemy jako sumę cyfr o następujących wartościach:
    

2. Cyfry wypisujemy od strony lewej do prawej poczynając od największej.

Teraz można już zapisywać w zgrabny sposób różne liczby:
 

3. Jeśli przed cyfrą starszą stoi cyfra młodsza, to należy ją odjąć od starszej.

Rzymianom nie podobało się, iż muszą zapisywać liczbę 4 jako IIII, liczbę 9 jako VIIII itd. Wprowadzili więc pozorne uproszczenie systemu, czyli regułę 3. Teraz prościej można przedstawiać powyższe liczby:
 

O ile przedtem dodawanie można było wykonywać przez wspólne zapisanie cyfr obu dodawanych liczb, a następnie zastąpienie cyfr niższych wyższymi:
 

MMCCCXXVI + MDCCXXVII = MMMDCCCCCXXXXVVIII = MMMDDXXXXXIII = MMMMLIII

to po zastosowaniu reguły 3 należało szalenie uważać, aby nie popełnić pomyłki. W rezultacie uproszczenie zapisu spowodowało skomplikowanie rachunków.

4. Jeśli nad cyfrą umieszczono kreskę, to cyfra ta oznaczała liczbę tysięcy.

Reguła ta pozwala zapisywać względnie duże liczby bez konieczności pisania wielu cyfr M. Na przykład liczbę 36.984 rzymski rachmistrz zapisywał następująco:
 

XXXVICMLXXXIV
 

Zgrabnie, nieprawdaż? Rzymianie byli naprawdę bardzo dumni ze swojego systemu zapisu liczb. Przetrwał on w ograniczonej formie nawet do dzisiaj przy zapisie dat lub numeracji rozdziałów, klas, sal, pięter, godzin itp. Jednak pomimo tych usprawnień system rzymski był ograniczony. Jak bowiem zapisać w tym systemie na przykład taką liczbę:

9426164130947320732385384038740846725325161632379864930747364030384752621 ?

System Babiloński

Cywilizacja babilońska rozkwitła w Mezopotamii wypierając wcześniejsze cywilizacje Sumerów i Akadyjczyków. Piętno Babilonu odcisnęło się na wielu cywilizacjach świata starożytnego, a jego echo jest obecne nawet w naszej kulturze współczesnej. Babilończycy rozwinęli jako pierwsi system pozycyjny o podstawie 60 (do dzisiaj dzielimy godziny na sześćdziesiąt minut, minuty na sześćdziesiąt sekund - czy kiedykolwiek zastanawiałeś się dlaczego?). Cechą systemu pozycyjnego jest ograniczona ilość cyfr. Te same cyfry są używane wielokrotnie w zapisie liczby. Wartość cyfry zależy od jej pozycji - stąd nazwa system pozycyjny.

Z naszego punktu widzenia system babiloński na pierwszy rzut oka może wydawać się skomplikowany - konieczność operowania aż 59 cyframi (cyfra zero nie była jeszcze znana ani stosowana). W rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla jedności i dla dziesiątek. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków zapisywanych końcem ostrej trzcinki na tabliczce glinianej, stąd pochodzi charakterystyczny, klinowy kształt pisma:

Wartość liczby w systemie pozycyjnym obliczamy mnożąc kolejne cyfry przez wagi pozycji, na których stoją i sumując te iloczyny. Wagi pozycji są kolejnymi potęgami podstawy systemu liczenia. Np. w dobrze nam znanym systemie dziesiętnym (o podstawie 10) wartość liczby 26549 obliczymy następująco:
 

2 × 10⁴ + 6 × 10³ + 5 × 10² + 4 × 10¹ + 9 × 10⁰
 

W systemie babilońskim podstawa wynosi 60, więc cyfry będą mnożone przez kolejne potęgi liczby 60. Aby lepiej to zrozumieć, rozważmy następujący przykład liczby babilońskiej:
 

Poszczególne cyfry tej liczby to (patrz tabelka) 3, 25 i 57. Pytanie brzmi: jaką liczbę przedstawia ten zapis babiloński. Zgodnie z tym, co powiedzieliśmy o obliczaniu wartości liczby w systemie pozycyjnym, możemy zapisać:
 

3 × 60² + 25 × 60¹ + 57 × 60⁰ = 3 × 3600 + 25 × 60 + 57 × 1 = 10800 + 1500 + 57 = 12357
 

Zwróćcie uwagę, iż system babiloński jest lepszy od rzymskiego, ponieważ przy pomocy ograniczonej liczby symboli pozwala zapisywać dowolnie duże wartości. Problem sprawia tylko brak cyfry na określonej pozycji. Babilończycy nie znali cyfry 0 (pojawiła się ona dużo później, ale zobacz na system Majów). Zamiast zera pozostawiali na danej pozycji puste miejsce (co było zgodne z intuicją - 0 oznacza brak czegokolwiek). Problem pojawiał się wtedy, gdy obok siebie było kilka takich pustych miejsc (jeśli skryba zrobił zbyt duże lub zbyt małe odstępy, to liczbę można było błędnie odczytać). Jednak w rachunkach starożytności nie operowano olbrzymimi wartościami, więc puste miejsca obok siebie w zapisie babilońskim były raczej rzadkością. W późniejszym okresie zaczęto takie puste miejsca zaznaczać małą, pionową kreseczką umieszczoną u góry.

System Majów

Starożytni Majowie jako pierwsi na Ziemi odkryli dwie fundamentalne dla matematyki idee - system pozycyjny oraz koncepcję zera. Wynalezienie systemu pozycyjnego przypisuje się kulturze hinduskiej, lecz z badań historycznych wynika jasno, iż Majowie znali i stosowali system pozycyjny przynajmniej 300 lat wcześniej niż Hindusi.

Podstawą systemu liczbowego Majów była liczba 20. Dlaczego? Możemy się jedynie domyślać. Otóż w ciepłym klimacie Ameryki Majowie nie mieli potrzeby noszenia obuwia. Każdy człowiek posiada dwadzieścia palców - dziesięć u rąk i dziesięć u nóg. Prawdopodobnie ta własność naszego ciała wpłynęła na wybór podstawy systemu liczenia.

Do zapisu cyfr Majowie używali tylko trzech symboli (podobnie jak Babilończycy). Znak kropki oznaczał jednostkę. Pozioma kreska oznaczała piątkę (tyle mamy palców u ręki). Muszla oznaczała zero. Obok można zobaczyć w tabelce, jak wyglądały kolejne liczebniki Majów. Wartość liczby w tym systemie obliczamy mnożąc cyfry przez kolejne potęgi podstawy, czyli 20, i sumując te iloczyny częściowe.

Przykład

?

Pierwszą czynnością będzie zidentyfikowanie poszczególnych cyfr. Cyfry Majów były zapisywane od góry na dół. Spotyka się również zapis poziomy, ale wtedy cyfry są obrócone o 90 stopni. Porównując zapis liczby z tabelką odszukamy odpowiednie cyfry (można je też prosto obliczyć według podanych wcześniej reguł):
 

(2 5 5) = 12,    (2 5) = 7,    (4 5 5 5) = 19.
 

Teraz, znając podstawę systemu Majów, możemy przystąpić do obliczeń:

12 × 20² + 7 × 20¹ + 19 × 20⁰ = 12 × 400 + 7 × 20 + 19 = 4800 + 140 + 19 = 4959
 

Zwróćmy uwagę, iż system Majów nie ma żadnego ograniczenia co do wielkości zapisywanych liczb. Przewyższa on więc systemy rzymski, egipski oraz grecki. Kultury antyczne, pomimo posiadania wybitnych matematyków, nie odkryły idei systemu pozycyjnego. Zrobili to Majowie.

Kształt cyfr Majów sugeruje, iż stosowali oni do obliczeń prostą wersję liczydła, gdzie kamyczki (kropki) oznaczały jednostki, a patyczki (kreski) piątki. Sumowanie polegało na odpowiednim dodawaniu poszczególnych symboli (kropek - kamyków, kresek - patyczków), a następnie zastępowaniu ich symbolami wyższymi. Gdy ilość jednostek (kamyk) osiągnęła wartość 5, to zastępowano ją kreseczką (patyczek). Jeśli ilość piątek wyniosła 4 (=20), to patyczki zastępowano muszlą, a do następnej pozycji dodawano kamyczek.

System Arabski

System zapisu liczb, którym posługujemy się dzisiaj, nosi nazwę systemu arabskiego. Nazwa sugeruje, iż został on wynaleziony przez Arabów. Tymczasem prawda jest inna. Arabowie przejęli i rozpowszechnili ten system od Hindusów. To uczonym bramińskim przysługuje palma pierwszeństwa w opracowaniu zapisu pozycyjnego. Pierre-Simon Laplace (1749-1827), wielki matematyk francuski, napisał kiedyś następujące słowa:

Istota systemu jest podobna do systemu babilońskiego i Majów - stosujemy ograniczoną ilość cyfr, wartość cyfry zależy od pozycji w zapisie. W systemie arabskim kolejne pozycje licząc od strony prawej posiadają wartości (wagi) będące potęgami liczby 10, którą z tego powodu nazywamy podstawą systemu. Wartość liczby otrzymujemy sumując iloczyny cyfr przez wagi pozycji, na których występują.

Przykład

Ważną własnością systemu arabskiego jest cyfra 0. Z początku oznaczała ona jedynie, iż dana pozycja dziesiętna nie jest obsadzona - czyli brak cyfry właściwej. Później jednak zaczęto stosować ją w charakterze wartości 0, co znacznie posunęło do przodu całą naszą matematykę, w której pojęcie zera jest pojęciem kluczowym.

Obliczanie wartości liczb w systemach pozycyjnych

Cechy zapisu pozycyjnego liczb

Podstawowe cechy każdego systemu pozycyjnego można scharakteryzować w sposób następujący:

• Stosuje się ograniczoną liczbę cyfr, które posiadają kolejne wartości 0,1,2,... Pomimo tego, system pozycyjny nie jest w żaden sposób ograniczony co do wielkości zapisywanych liczb.
• Każdy system pozycyjny ma przypisaną pewną wartość charakterystyczną, którą nazywamy podstawą systemu. Liczba cyfr jest równa wartości podstawy. Dla systemu dziesiętnego mamy zbiór 10 cyfr, bo podstawa wynosi 10. W systemie szóstkowym cyfr będzie 6 {0, 1, 2, 3, 4, 5}. W systemach o podstawie większej niż 10 potrzebujemy więcej cyfr, niż zdefiniowano dla systemu dziesiętnego. Problem ten rozwiązujemy przyjmując za dodatkowe cyfry kolejne literki alfabetu. Np. w systemie dwunastkowym musimy posiadać dwanaście cyfr {0,1,...,8,9,A,B}. Cyfra A ma wartość 10, a cyfra B ma wartość 11.
• Wartość cyfry w zapisie zależy od jej pozycji, stąd pochodzi nazwa "system pozycyjny". Każda pozycja ma przypisaną wagę. Wagi pozycji są równe kolejnym potęgom podstawy systemu liczonym od strony prawej.
• Wartość liczby w zapisie pozycyjnym obliczamy jako sumę iloczynów cyfr przez wagi swoich pozycji.
  

Rozważmy pewien system pozycyjny o dowolnej podstawie p, p > 1. W systemie tym mamy p cyfr, które oznaczymy literką c. Zapiszmy pewną liczbę za pomocą n cyfr: c_n-1c_n-2...c₂c₁c₀. Wartość tak zapisanej liczby możemy obliczyć zgodnie z podanym powyżej sposobem:

Przykład

Obliczmy wartość kilku liczb zapisanych w systemach pozycyjnych o różnych podstawach.

p = 7,  zbiór cyfr to {0,1,2,3,4,5,6}

43521₍₇₎ = ???₍₁₀₎   mały indeks u dołu oznacza podstawę systemu, w którym zapisano liczbę.

43521₍₇₎ = 1 × 7⁰ + 2 × 7¹ + 5 × 7² + 3 × 7³ + 4 × 7⁴
43521₍₇₎ = 1 × 1 + 2 × 7 + 5 × 49 + 3 × 343 + 4 × 2401
43521₍₇₎ = 1 + 14 + 245 + 1029 + 9604
43521₍₇₎ = 10893₍₁₀₎

p = 3, zbiór cyfr to {0,1,2}

2101122₍₃₎ = ???₍₁₀₎

2101122₍₃₎ = 2 × 3⁰ + 2 × 3¹ + 1 × 3² + 1 × 3³ + 0 × 3⁴ + 1 × 3⁵ + 2 × 3⁶
2101122₍₃₎ = 2 × 1 + 2 × 3 + 1 × 9 + 1 × 27 + 0 × 81 + 1 × 243 + 2 × 729
2101122₍₃₎ = 2 + 6 + 9 +27 +243 + 1458
2101122₍₃₎ = 1745₍₁₀₎

p = 17, zbiór cyfr to {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G} - brakujące cyfry 10..16 wyrażamy literkami A...G

AGF63B₍₁₇₎ = ???₍₁₀₎
AGF63B₍₁₇₎ = 11 × 17⁰ + 3 × 17¹ + 6 × 17² + 15 × 17³ + 16 × 17⁴ + 10 × 17⁵
AGF63B₍₁₇₎ = 11 × 1 + 3 × 17 + 6 × 289 + 15 × 4.913 + 16 × 83.521 + 10 × 1.419.857
AGF63B₍₁₇₎ = 11 + 51 + 1.734 + 73.695 + 1.336.336 + 14.198.570
AGF63B₍₁₇₎ = 15.610.397₍₁₀₎

Naturalny system dwójkowy

Obliczanie wartości liczb binarnych

System dwójkowy ma dla nas specjalne znaczenie, ponieważ jest podstawą wszystkich obliczeń wykonywanych przez komputer.

Cechy charakterystyczne dwójkowego systemu pozycyjnego, to:

p = 2, zbiór cyfr c - {0,1}

Wartość liczby całkowitej w zapisie dwójkowym obliczamy według wzoru podstawowego:

n - liczba cyfr, które w systemie dwójkowym będziemy nazywali bitami

Przykład

Obliczyć wartość liczby dwójkowej 110111₍₂₎

p = 2, c - {0,1}

110111₍₂₎ = 1 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 1 × 2² + 0 × 2³ + 1 × 2⁴ + 1 × 2 ⁵
110111₍₂₎ = 1 × 1 + 1 × 2 + 1 × 4 + 0 × 8 + 1 × 16 + 1 × 32
110111₍₂₎ = 1 + 2 + 4 + 16 + 32
110111₍₂₎ = 55₍₁₀₎
 

Przeliczanie liczby dziesiętnej na dwójkową

Wykorzystamy następującą własność systemu pozycyjnego:

Przykład:

Zapisać w systemie dwójkowym liczbę 169:

Cyfry odczytujemy od końca: 169₁₀ = 10101001₂

Zakres n-bitowych liczb binarnych

Zastanówmy się teraz jaki jest zakres wartości dla n bitów. Najmniejszą liczbą będzie oczywiście 0. Największa liczba posiada wszystkie cyfry maksymalne, więc w systemie dwójkowym będą to cyfry 1.

min_n-bitów = 0

max_n-bitów = 1 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 1 × 2² + ... + 1 × 2^n-2 + 1 × 2^n-1
max_n-bitów = 1 + 2 + 4 + ... + 2^n-2 + 2^n-1

Zwróćcie uwagę, iż suma dowolnej ilości początkowych składników tego szeregu jest o 1 mniejsza od wyrazu następnego:

1 = 2 - 1
1 + 2 = 4 - 1
1 + 2 + 4 = 8 - 1
...
1 + 2 + 4 + ... + 2^n-2 = 2^n-1 - 1
1 + 2 + 4 + ... + 2^n-2 + 2^n-1 = 2ⁿ - 1 = max_n-bitów

---

I Liceum Ogólnokształcące    im. Kazimierza Brodzińskiego w Tarnowie ©2024 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,
zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe