Rozwiązywanie równań

Równanie liniowe

Mamy dane równanie:

 

obrazek

a,b - współczynniki, dowolne liczby rzeczywiste
x - poszukiwana niewiadoma

 

Rozwiązanie równania polega na znalezieniu takiej wartości niewiadomej x (zwanej również pierwiastkiem równania), aby przy danych współczynnikach zachodziła podana na początku równość. Dokonajmy prostych przekształceń algebraicznych:

 

obrazek

 

Otrzymaliśmy wzór, który pozwala wyliczać wartość niewiadomej x  przy danych współczynnikach a  i b. Zwróć jednakże uwagę, iż w otrzymanym wzorze mamy dzielenie przez współczynnik a. Jeśli będzie on równy zero, to otrzymamy błąd, gdyż operacja dzielenia przez zero daje wynik nieokreślony. Dlatego algorytm obliczający wartość niewiadomej x wg tego wzoru powinien najpierw sprawdzić, czy współczynnik a jest różny od 0. Jeśli tak, algorytm powinien wyliczyć x. Jeśli nie, algorytm powinien zgłosić błąd obliczeniowy.

Jeśli współczynniki a i b są otrzymywane w drodze obliczeń, to mogą być obarczone błędami zaokrągleń. Dlatego zamiast sprawdzać, czy a = 0, lepiej sprawdzić, czy a jest w otoczeniu zera o promieniu ε:

obrazek

 

Dane wejściowe:

a,b  - współczynniki rzeczywiste
ε  - dokładność porównania z zerem

 

Dane wyjściowe:

x  - wartość niewiadomej, która spełnia równanie
lub napis "BRAK X", jeśli współczynnik a  jest równy zero z dokładnością do ε.
 

Lista kroków:

K01: Czytaj a,b
K02: Jeśli |a| ≤ ε, to idź do K06
K03: obrazek
K04: Pisz x
K05: Zakończ
K06: Pisz "BRAK X"
K07: Zakończ

 

Schemat blokowy:

obrazek

 

Program:

Ćwiczenie na lekcji

 

Układ równań liniowych

Dany jest układ dwóch równań liniowych:

 

obrazek

a,b,c,d,e,f - współczynniki rzeczywiste
x,y - poszukiwane niewiadome

 

W tym przypadku rozwiązaniem układu równań są dwie takie liczby x i y, iż obie nierówności są jednocześnie spełnione. Istnieje kilka metod rozwiązywania układów równań liniowych (zainteresowanych odsyłam do artykułu o Algorytmach Wyszukiwania). Ponieważ nasz układ równań jest bardzo prosty, wyliczymy x  i y  metodami algebraicznych przekształceń:

Z pierwszego równania wyprowadzamy wzór na x, który będzie zależny od wartości niewiadomej y:

obrazek

 

Teraz w drugim równaniu w miejscu x  wstawiamy otrzymany wzór na x  i wyliczamy niewiadomą y:

obrazek

 

W otrzymanym wzorze mamy dzielenie przez ae-db. Zatem różnica ta musi być różna od 0, aby istniało rozwiązanie układu równań. Jeśli teraz wstawimy do wzoru na x  w miejsce y  wyprowadzony wzór, to:

obrazek

Zwróć uwagę, iż we wzorze na x  również mamy dzielenie przez  ae-db. Wynika z tego, iż układ równań będzie posiadał rozwiązanie, jeśli ta różnica jest różna od 0.

 

Dane wejściowe:

a,b,c,d,e,f  - współczynniki rzeczywiste
ε  - dokładność porównania z zerem

 

Dane wyjściowe:

x,y  - wartości niewiadomych, która spełniają układ równań
lub napis "BRAK X I Y", jeśli różnica ae-db  jest równa zero z dokładnością do ε.
 

Lista kroków:

K01: Czytaj a,b,c,d,e,f
K02: w ← ae - db
K03: Jeśli |w| ≤ ε, to idź do K08
K04: obrazek
K05: obrazek
K06: Pisz x,y
K07: Zakończ
K08: Pisz "BRAK X i Y"
K09: Zakończ

 

Schemat blokowy:

obrazek

 

Program:

Ćwiczenie na lekcji

 

Równanie kwadratowe

Dane jest równanie kwadratowe:
 

obrazek

a,b,c - współczynniki rzeczywiste
x - poszukiwana niewiadoma

 

Jeśli współczynnik a  jest równy 0 z dokładnością do ε , to równanie redukuje się do równania liniowego:

obrazek

i, o ile współczynnik b  jest różny od 0 z dokładnością do ε, rozwiązanie wyliczamy ze wzoru:

obrazek

 

W przeciwnym razie wyliczamy tzw. wyróżnik Δ:

obrazek

Teraz w zależności od wartości wyróżnika Δ mamy trzy przypadki (kolejność ich rozpatrywania jest bardzo ważna dla algorytmu!):

  1. |Δ| ≤ ε - istnieje pierwiastek podwójny:
    obrazek

  2. Δ < 0 - brak pierwiastków rzeczywistych (istnieją pierwiastki zespolone, ale liczby zespolone nie są nauczane w liceum). Zwróć uwagę, iż pierwszy przypadek eliminuje konieczność sprawdzania z otoczeniem zera.

  3. Δ > 0 - dwa pierwiastki:
    obrazek

 

Dane wejściowe:

a,b,c  - współczynniki rzeczywiste
ε  - dokładność porównania z zerem

 

Dane wyjściowe:

x  - jeśli równanie posiada jeden pierwiastek (podwójny)
x1,x2 - jeśli równanie posiada dwa pierwiastki rzeczywiste
lub napis "BRAK X", jeśli równanie nie ma rozwiązania
 

Lista kroków:

K01: Czytaj a,b,c
K02: Jeśli |a| ≤ ε, to idź do K13
K03: Δ ← b2 - 4ac
K04: Jeśli |Δ| ≤ ε, to idź do K10
K05: Jeśli Δ < 0, to idź do K16
K06: obrazek
K07: obrazek
K08: Pisz x1,x2
K09: Zakończ
K10: obrazek
K11: Pisz x
K12: Zakończ
K13 Jeśli |b| ≤ ε, to idź do K16
K14: obrazek
K15: Idź do K11
K16: Pisz "BRAK X"
K17: Zakończ

 

Schemat blokowy:

Ćwiczenie na lekcji

 

Program:

Ćwiczenie na lekcji

 


   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2021 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,
zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe