Przykładowa Maszyna Cyfrowa I

W naszym serwisie jest kilka osobnych artykułów zajmujących się bitami i ich zastosowaniami:

• Bit w zastosowaniach
• Kodowanie liczb
• Algorytmy i struktury danych
• Technika cyfrowa
• Układy cyfrowe

W informatyce pojęcie informacji jest niedefiniowalnym pojęciem pierwotnym. Nie da się zdefiniować informacji bez odwołania do niej samej - powstałoby więc błędne koło. Można natomiast zdefiniować jej jednostki. To tak jak np. z polem magnetycznym - nikt naprawdę nie wie czym ono jest w swojej istocie, ale potrafimy je obserwować, mierzyć i znamy jego różne własności, co wystarcza do opisu tego pola.

Pierwszą i najbardziej podstawową jednostką informacji jest 1 bit. Czym jest bit? Oto krótka definicja:

Czy ta definicja jest zrozumiała dla ciebie? Chyba nie. Zwykle nie jest. Postaram się wyjaśnić o co tutaj tak naprawdę chodzi. Jeśli to zrozumiesz, to bity przestaną być dla ciebie tajemnicze. Zaczynamy...

Przyjrzyjmy się, w jaki sposób informacja jest przekazywana pomiędzy nadawcą i odbiorcą. Obrazuje to  rysunek powyżej. Nadawca N (niekoniecznie człowiek) wysyła we wspólnym ośrodku sygnał do odbiorcy O. Sygnał jest nośnikiem informacji. Dzięki niemu informacja może być przekazana. Sygnał może przyjmować różne formy: fala akustyczna dla mowy; język migowy, gdzie poszczególne gesty nadawcy są dla odbiorcy sygnałem przekazującym informacje; pismo; fale świetlne (np. sygnały alfabetu Morse'a przekazywane w nocy pomiędzy statkami chcącymi utrzymać ciszę radiową); fale radiowe; prąd elektryczny; strumień cząstek, itp.  Aby odbiorca (niekoniecznie człowiek) zrozumiał przekazywaną informację, musi on znać sposób umieszczenia jej w sygnale (czyli jej zakodowanie). Weźmy dla przykładu naszą mowę. Znaczenia poszczególnych słów (czyli sygnałów) uczymy się już w dzieciństwie, a później używamy wyuczonej mowy przez całe życie osiągając wysoki stopień automatyzmu. Co jednak się stanie, gdy zostaniemy skonfrontowani z obcokrajowcem, który posługuje się innym sposobem kodowania informacji w dźwiękach mowy. Przestaniemy cokolwiek rozumieć (o ile nie znamy języka ojczystego tego obcokrajowca). Jest to oczywiste, ponieważ nie znamy sposobu kodowania informacji w docierających do nas sygnałach, to nie możemy jej z nich wydobyć. Z drugiej strony mowę można zapisać za pomocą znaków graficznych, czyli pisma. Ta sama informacja będzie teraz przedstawiona przy pomocy innych sygnałów - zmieniliśmy jej sposób kodowania. Odczytanie pisma również wymaga znajomości sposobu kodowania dźwięków za pomocą liter, a istnieją języki, gdzie każde słowo ma swój własny znak, niekoniecznie wiążący się z wymową tego słowa, lecz z jego znaczeniem. Np. język chiński:

Powyżej widnieje pewien symbol z alfabetu języka chińskiego. Na pierwszy rzut oka jest on dla nas zupełnie niezrozumiały. Spróbujmy go wyjaśnić. Prostokąt oznacza Ziemię, czyli Świat. Kreska pionowa przebiega przez środek prostokąta, oznacza więc Środek. Jeśli złożymy to razem, to otrzymamy Środek Świata. Oczywiście znak ten oznacza Chiny, czyli Państwo Środka Świata. Właśnie wyjaśniliśmy sposób kodowania informacji w symbolu Chi-na. Teraz jest to dla nas zupełnie proste. Poznanie sposobu kodowania informacji w docierającym do nas sygnale pozwala na jej wydobycie.

Jeden z wielkich astronomów zeszłej ery twierdził, iż gwiazdy będą zawsze poza zasięgiem naszych badań i nigdy się nic o nich nie dowiemy. Wychodził on z założenia, iż nie można zbadać czegoś, czego nie można dotknąć. Czy rzeczywiście nie możemy dotknąć gwiazd? A może to one dotykają nas? Robią to co noc, świecąc nad naszymi głowami. Światło, które widzimy w postaci jasnych punkcików na nocnym niebie, powstało we wnętrzu gwiazd i niesie w sobie informacje o ich budowie. Informację tę trzeba tylko wydobyć z docierającego do Ziemi sygnału. Dokonuje tego nauka zwana analizą spektralną. Badając długość docierających do nas fal świetlnych możemy odkryć, z jakich pierwiastków zbudowane są gwiazdy - a nawet czy dana gwiazda porusza się w naszym kierunku, czy też oddala się od nas - i oszacować tę prędkość. Nasz astronom bardzo by się zdziwił...

Z języka chińskiego i gwiazd wróćmy jednak do naszych bitów. Co mają bity wspólnego z informacją. Mają, jeśli potraktujemy je jako sygnały, które przenoszą zakodowaną informację. Każdy bit może przyjmować jeden z dwóch dostępnych mu stanów. Stany te mogą być reprezentowane na różne sposoby:

• w piśmie oznacza się je zwykle albo cyframi 0 i 1, albo literkami L (stan niski - ang. Low) i H (stan wysoki - ang. High).
• w elektronice bit o stanie niskim reprezentowany jest przez napięcie 0,8 V, a bit o stanie wysokim przez 2,4 V
• w transmisji modemowej (przez sieć teleinformatyczną) bit może być reprezentowany przez częstotliwość, amplitudę lub fazę sygnału.

Postać bitu jest pojęciem technicznym i zmartwieniem dla inzynierów. Nas bardziej interesuje, jak przy jego pomocy można przekazywać informację. Cała sztuka polega na kodowaniu (identycznie jak w przypadku mowy i pisma, gdzie określonym dźwiękom, czy znakom przypisuje się odpowiednie znaczenie). Jeden bit może przyjmować dwa różne stany (np. 0 i 1), więc mamy do dyspozycji dwa słowa. Słowom tym musimy nadać znaczenie, np. takie:

Załóżmy, iż bit taki przekazuje nam czujnik umieszczony w jakimś pomieszczeniu, które ma chronić przed pożarem. Jeśli otrzymany bit ma wartość 0, to możemy być spokojni - nic tam się nie dzieje. Jeśli jednak odebrany bit będzie miał stan 1, to już jest powód do zdenerwowania - w chronionym pomieszczeniu wybuchł pożar. Ale, ale.. Nikt nam przecież o tym nie powiedział. Odczytaliśmy informację przekazaną przez bit. Stąd wniosek, iż bity, podobnie jak mowa i pismo, również nadają się do przekazywania informacji. Potraktujmy je po prostu jako słowa w pewnym języku. Jeśli wyglądają dla nas dziwnie i niezrozumiale, to przypomnijmy sobie pismo chińskie, które jest równie niezrozumiałe, dopóki nie poznamy jego tajników.

Powyższy przykład był bardzo prosty. Zdefiniowaliśmy język prostego czujnika przeciwpożarowego. W języku tym potrzebne były tylko dwa słowa. Dlatego mogliśmy je przekazać za pomocą bitu. Techniczny sposób realizacji takiego bitu, to już inna sprawa. Dla mowy odpowiada to doborowi mówcy o przyjemnym i przekonywującym głosie, którego z przyjemnością wysłuchają słuchacze i oczywiście wszystko zrozumieją i zapamiętają. Czujnik (nadawca) może być połączony z systemem alarmowym (odbiorcą) np. za pomocą przewodu elektrycznego. Brak prądu w tym przewodzie może odpowiadać bitowi o stanie 0, a więc sytuacji nie awaryjnej. Jeśli w przewodzie pojawi się prąd, to będzie to odpowiadało bitowi o wartości 1, oznacza więc pożar. Po odebraniu takiego sygnału alarmowego system powinien włączyć syreny i zawiadomić straż pożarną (a może również włączyć prysznic wodny w chronionym pomieszczeniu, który ugasi pożar).

Niestety, otaczający nas świat nie jest taki prosty. Co zrobić jeśli musimy kodować więcej niż dwie informacje? Odpowiedź jest prosta. Zamiast jednego bitu weźmy ich kilka i tak utworzoną grupę potraktujmy jako sygnał złożony. Np. dla dwóch bitów otrzymamy następujące słowa binarne:

Otrzymaliśmy cztery słówka do wykorzystania: 00, 01, 10 i 11. Każdemu z tych słów można przypisać (zakodować) jedną informację. Np, taką:

Tym razem mamy czujnik chroniący pomieszczenie przed włamaniem. Jeśli zostaną otwarte drzwi lub okno, to system alarmowy otrzymując słowa 01, 10 i 11 może podjąć odpowiednie działanie. Dwa bity umożliwiają przekazanie 4 słów. Zobaczmy, jak przedstawia się to dla trzech bitów:

Trzy bity udostępniają 8 słów: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Każdemu z tych słów możemy przypisać jedną wiadomość (zakodować informację). Grupa trzech bitów pozwala na przesłanie 8 informacji. Zapiszmy to następująco:

1 bit - 2 wiadomości
2 bity - 4 wiadomości
3 bity - 8 wiadomości

Liczba wiadomości tworzy ciąg geometryczny - każdy następny wyraz jest dwukrotnie większy od swojego poprzednika. Musi tak być, ponieważ dodanie każdego następnego bitu podwaja liczbę ich kombinacji - stan nowego bitu "0" ze wszystkimi poprzednimi stanami bitów oraz stan "1" nowego bitu ze wszystkimi poprzednimi kombinacjami - dwa razy więcej. Gdy już to zauważymy, to możemy  podać prosty wzór na liczbę dostępnych słów dla n bitów:

Postępowanie to prowadzi nas do otrzymania słów binarnych. Jeśli chcemy je teraz wykorzystać, to musimy każdemu z otrzymanych słów przypisać (zakodować) jedną wiadomość. Od tego momentu słowo takie będzie przenosiło tę wiadomość i odbiorca odczyta ją.

Na pytanie typu "jakie to są wiadomości?" odpowiem od razu - takie, jakie potrzebujemy. Mając słowa mamy nośnik informacji, który możemy wykorzystać w dowolny sposób.

Przykład

Mamy do dyspozycji słowa kodowe o długości 8 bitów. Ile różnych wiadomości można przesłać przy ich pomocy?

Odpowiedź: liczba wiadomości wynosi 2⁸, czyli 256.

Pozostaje do omówienia jeszcze jeden problem. Mamy n wybranych wiadomości, które chcielibyśmy kodować przy pomocy bitów. Ile bitów potrzebujemy (jak długie bitowo muszą być słowa)? Odpowiedź wynika bezpośrednio z podanego przez nas wzoru. Tzn. musimy znaleźć taką najmniejszą liczbę m, aby spełniona była nierówność:

Aby otrzymać oszacowanie wielkości m, logarytmujemy obustronnie powyższą nierówność (logarytm przy podstawie 2) i otrzymujemy:

log₂(n) <= log₂(2^m), co po uproszczeniu da w wyniku:
log₂(n) <= m, a po odwróceniu stron mamy ostatecznie wzór na m:

Przykład

Chcemy kodować 17 różnych wiadomości. Ile bitów musimy przeznaczyć na słowa kodowe?

n = 17, m = ?

Stosujemy nasz wzór:

m >= log₂(17),  ponieważ log₂(17) = 4,0874628412503394082540660108104..., to

m >= 4,0874628412503394082540660108104...

Oczywiście m musi być liczbą całkowitą, więc wystarczy przyjąć

m = 5,

aby powyższa nierówność była spełniona.

Odpowiedź będzie brzmiała: Do zakodowania 17 różnych wiadomości potrzebne nam są słowa kodowe o długości 5 bitów.

Jak łatwo możemy się przekonać, 5 bitów daje 2⁵, czyli 32 słowa, a wiadomości mamy tylko 17. Wynika z tego, że 15 słów kodowych nie będzie wykorzystane. Czy nie jest to marnotrawstwo? Oczywiście, że jest (i znaleziono na to rozwiązanie o nazwie kompresja danych), ale dla nas bardziej istotne jest, aby mieć wystarczająco dużo słów. To, że pewne słowa nie będą wykorzystywane, nic nie szkodzi. Przecież z liter naszego alfabetu też można utworzyć słowa bez znaczenia: gzlowfkp - a czy tym się ktoś przejmuje?

Kodowanie grafiki

Czy przy pomocy bitów można przekazywać informacje o obrazach? Oczywiście, należy tylko znaleźć sposób kodowania takiej informacji. Weźmy dla przykładu taki obrazek:

Na pierwszy rzut oka sprawa wygląda beznadziejnie. Jak przypisać słowom bitowym coś takiego jak kształt graficzny. No cóż, weźmy lupę i przyjrzyjmy się temu obrazkowi jeszcze raz w dużym powiększeniu:

Przede wszystkim zwróćmy uwagę na fakt, iż obrazek nie jest ciągły i przy dużym powiększeniu ujawnia swą wewnętrzną strukturę (w celu zwiększenia czytelności zastosowałem małe niebieskie kropeczki, których na oryginalnym obrazku nie ma). Zbudowano go z kwadratów (kafelek) dwojakiego rodzaju: białych i czarnych. Wiadomościami będą więc kolory kwadratów tworzących obrazek. Kwadrat biały to jedna wiadomość, a kwadrat czarny to druga.  Mamy dwie wiadomości, musimy teraz przypisać im odpowiednie słowa bitowe. Dla dwóch wiadomości będą one miały długość:

log₂(2) = 1 bit

Kwadrat biały to słowo bitowe 0, kwadrat czarny to słowo bitowe 1. Po określeniu sposobu kodowania naszego obrazka możemy teraz przedstawić go w postaci bitów:

Odbiorca znając znaczenie bitów oraz wiedząc jaki jest rozmiar obrazka, może z łatwością go odtworzyć z otrzymanych bitów. Dokonaliśmy więc zakodowania obrazka w słowa bitowe. Zwróćcie uwagę, iż zwiększenie kolorów na obrazku polega jedynie na zastosowaniu kwadratów (nazywamy je pikselami) o większej liczbie kolorów. W tym wypadku wzrośnie nam liczba wiadomości, a co za tym idzie, będziemy musieli zastosować więcej bitów do zakodowania koloru kwadratu. Np. kodowanie kolorów na dwóch bitach daje nam 2² możliwych kolorów, czyli cztery. Dla 8 bitów mamy do dyspozycji 256 różnych kolorów. Oto przykładowy obrazek zbudowany z pikseli o 256 różnych kolorach oraz jego powiększony fragment, który ukazuje strukturę wewnętrzną:

Kodowanie liter

Wbrew pozorom kodowanie znaków pisarskich jest podobne do kodowania koloru pikseli. Tutaj nie interesuje nas faktyczny kształt danej litery, tylko jej rodzaj - tzn. czy jest to na przykład literka "A" lub literka "B". Zastanówmy się, ile literek chcielibyśmy kodować. Możemy wypisać je wszystkie w tabelce po lewej stronie. Wybraliśmy 50 literek. Oczywiście nie stanowią one wszystkich znaków, wiele jeszcze brakuje, ale to tylko przykład. Mamy więc 50 znaków - cyfry, litery oraz kilka znaków interpunkcji. Ostatni znak, to tzw. znak spacji, czyli odstęp. 50 znaków tworzy 50 wiadomości. Każdą wiadomość (znak) będziemy przedstawiać przy pomocy odpowiedniego słowa bitowego. Ile w takim razie potrzebujemy bitów w każdym słowie?

Dla n=50 wiadomości potrzebne jest m >= log₂(50) bitów, czyli m = 6

Gdy znamy już liczbę bitów, utworzymy tabelkę z przypisanymi poszczególnym znakom kodami bitowymi. Oto ona:

Mając taką tabelkę możemy przystąpić do kodowania znaków. Zakodujmy np. słowo CONAN. Zrobimy to tak:

Zwróć uwagę, iż napis CONAN stał się nieczytelny dla nas, ale możliwy do rozszyfrowania. Aby to sprawdzić, spróbujmy rozszyfrować napis zawarty w następujących bitach:

010101011011010010011101100001011010001010100100101001010111001010

W pierwszym kroku wydzielamy poszczególne słowa kodowe, które mają długość po 6 bitów:

010101  011011  010010  011101  100001  011010  001010  100100  101001  010111  001010

Zgodne z tabelą kodu zamieniamy teraz poszczególne słówka kodowe na odpowiadające im literki:

Udało się. Chociaż zadanie to wydaje się żmudne, to musimy pamiętać o tym, iż zwykle nie będą go wykonywać ludzie, lecz maszyny. Ponieważ potrafiliśmy zakodować znaki przy pomocy bitów oraz odtworzyć znaki z słów bitowych, to wynika stąd oczywisty wniosek, iż bity nadają się do kodowania wiadomości tekstowych. Dla potrzeb naszego przykładu wymyśliliśmy prosty kod 6 bitowy. W praktyce sposób kodowania znaków został ujednolicony na całym świecie pod standardem ASCII (American Standard Code for Information Interchange - Amerykański Standard Narodowy do Wymiany Informacji), w którym znaki kodowane są na 8 bitach. Dzięki niemu komputery mogą wymieniać ze sobą dane tekstowe poprzez sieci teleinformatyczne.

Problem kodowania znaków dotyka nas bezpośrednio. Ponieważ język polski stosuje dodatkowe znaki dla głosek Ą, Ć, Ę, itp., więc znaki te muszą posiadać odpowiednio przydzielone kody, aby były rozpoznawane (np. przez drukarkę). Sposobów przydzielenia takich kodów jest bardzo wiele (w czasach królowania systemu DOS panował w tej dziedzinie niezły bałagan). Użytkownicy systemu operacyjnego Windows są skazani na standard wymyślony przez Microsoft o nazwie Windows CP 1250. W innych systemach (np. Linux) powszechnie stosuje się standard ISO 8859-2 będący faktycznie międzynarodową normą kodowania polskich znaków diakrytycznych. Standardy Microsoftu i ISO 8859-2 różnią się między sobą kodami dla polskich literek narodowych, więc teksty kodowane w ISO 8859-2 zostaną niepoprawnie odczytywane w systemie Windows (i na odwrót). Widzimy więc, jak ważne jest ujednolicenie standardów kodowania informacji.

Więcej przykładów zastosowania bitów znajdziemy w rozdziale III, poświęconym pozycyjnym systemom liczbowym.

Jak zobaczyliśmy w poprzednich podrozdziałach, bit jest jednostką bardzo małą. W praktyce występuje potrzeba stosowania grup bitów do zakodowania użytecznych informacji. Dlatego przyjęto odpowiednie jednostki oparte na bicie, jako ich podstawie. W poniższej tabeli przedstawiamy najczęściej stosowane wielokrotności bitu.

Jednostki w informatyce opierają się na podstawie 2, a nie 10. Dlatego 1KB = 2¹⁰B = 1024B, a nie 1000B. W celu odróżnienia przedrostków informatycznych kilo, mega, giga i tera od zwykłych przedrostków fizycznych zapisuje się je dużą literą - 1KB, 1MB, 1GB i 1TB.

Gdy konstruowano pierwsze maszyny liczące, wcale nie był oczywistym fakt, iż muszą one pracować z bitami. Nie istniał wtedy jeszcze żaden wzorzec, na którym można by się oprzeć. Szukano w różnych kierunkach. Np. pierwszy komputer elektroniczny ENIAC, powstały w roku 1945, pracował na liczbach w systemie dziesiętnym, tzn. przetwarzał sygnały, które mogły przyjmować 10 różnych stanów, poziomów. Oczywiście prowadziło to do wielu problemów technicznych. Pierwszym komputerem binarnym (i do tego pracującym w binarnym systemie zmiennoprzecinkowym) stała się maszyna Z1 zbudowana przez genialnego konstruktora niemieckiego Konrada Zuse, którego obecnie uważa się za ojca komputerów. Komputer ten powstał w Niemczech w roku 1936, a więc przed ENIAC'iem.

Możemy wymienić kilka podstawowych powodów zwrócenia się w stronę bitów (jednak jeśli interesuje cię przyszłość maszyn liczących, to poszukaj w Internecie hasła - komputer kwantowy):

1. Bity są proste - mogą przyjmować tylko jeden z dwóch stanów 0 lub 1. Dlatego układy operujące na bitach są dużo prostsze niż dla innych możliwych jednostek. Inżynierowie mają duże doświadczenie w projektowaniu i konstruowaniu układów dwustanowych.
2. Za pomocą bitów można dobrze kodować dowolną informację, więc przetwarzanie informacji można wykonywać przy pomocy układów operujących na bitach.
3. Bity są odporne na zakłócenia - w czasie przekazu należy wykryć tylko dwa poziomy, wysoki H - 1 i niski L - 0. Brak wartości pośrednich. W przypadku innych jednostek sygnał musi mieć więcej poziomów, a więc jest bardziej podatny na przekłamania w trakcie transmisji.
4. Binarny system pozycyjny da się bezpośrednio zakodować w postaci bitów - każdej cyfrze binarnej odpowiada jeden bit. Dzięki temu na bitach można wykonywać dowolne operacje arytmetyczne, a więc liczyć.